《微積分基本定理》PPT課件.ppt

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1、bxxxxxa nn 1210 , 1 iii xx 任取 n i i xf 1 )(做和式： 常數(shù)）且有， (/))((lim 10 Anabf n i in 復(fù)習(xí)： 1、 定積分是怎樣定義？ 設(shè)函數(shù) f（ x）在 a， b上連續(xù)，在 a， b中任意插入 n-1個(gè)分點(diǎn)： 把區(qū)間 a,b等分成 n個(gè)小區(qū)間， , 1 ii xx 在每個(gè)小區(qū)間 ./))(( 1 nabf n i i ba dxxf )( 則，這個(gè)常數(shù) A稱為 f(x)在 a， b上的 定積分 (簡稱積分 ) 記作 nfdxxf n i i b a /a)-b)(lim)(A 10n （即

2、xfS ii )( 被 積 函 數(shù) 被 積 表 達(dá) 式 積 分 變 量 積分區(qū)間, ba 積分上限 積分下限 nfdxxf n i i b a /a)-b)(lim)(A 1 0n （即 積分和 1、 如果函數(shù) f（ x）在 a， b上連續(xù)且 f（ x） 0時(shí)，那么： 定積分 就表示以 y=f（ x）為曲邊的曲邊梯形面積 。 b a dxxf )( 2、 定積分 的數(shù)值在幾何上都可以用曲邊梯 形面積的代數(shù)和來表示。 b a dxxf )( 1S 2S 3S 321 SSSdxxf b a )( 復(fù)習(xí)： 2、定積分的幾何意義是什么？

3、 ,0)( xf ba Adxxf )( 曲邊梯形的面積 ,0)( xf ba Adxxf )( 曲邊梯形的面積的負(fù)值 4321)( AAAAdxxf b a 說明： 1A 2A 3A 4A 定積分的簡單性質(zhì) ( 1 ) ( ) ( ) ( )bbaak f x d x k f x d x k 為 常 數(shù) 1 2 1 2( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a af x f x d x f x d x f x d x ( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( a < c < b )b c ba a cf x d x f x d x f x

4、 d x 題型 1： 定積分的簡單性質(zhì)的應(yīng)用 2008200710 21 32 )()()()(1 dxxfdxxfdxxfdxxf 、化簡 4 81,9, 2 9,32 3 0 33 0 23 0 3 0 dxxdxxx dxdx、已知， ?)1512218()2( ?)86341 2 3 0 3 23 3 0 dxxxx dxxxx（）（ 求： 點(diǎn)評(píng)： 運(yùn)用定積分的性質(zhì)可以化簡定積分計(jì)算，也可以 把一個(gè)函數(shù)的定積分化成幾個(gè)簡單函數(shù)定積分的和或差 題型 2： 定積分的幾何意義的應(yīng)用 ？、 3 1 41 dx ？、 a x d x 0 2 ？、 dxx 3

5、0 293 8 2 2 1 a 問題 1： 你能求出下列格式的值嗎？不妨試試。 4 9 問題 2： 一個(gè)作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī) 律 S S(t)。由導(dǎo)數(shù)的概念可以知道，它在任意 時(shí)刻 t的速度 v(t) S（ t)。設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間段 a， b 內(nèi)的位移為 S，你能分別用 S(t)， v(t) 來表示 S嗎？ 從中你能發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)和定積分的內(nèi)在 聯(lián)系嗎？ 另一方面，從 導(dǎo)數(shù) 角度來看： 如果已知該變速直 線運(yùn)動(dòng)的路程函數(shù)為 s=s(t)，則在時(shí)間區(qū)間 a,b內(nèi)物 體的位移為 s(b)s(a)， 所以又有 ).()(d)( asbsttvb a 由于 ，即 s(t

6、)是 v(t)的原函數(shù)，這就是說， 定積分 等于被積函數(shù) v(t)的原函數(shù) s(t)在區(qū)間 a,b上的增量 s(b)s(a). )()( tvts ba ttv d)( 從 定積分 角度來看： 如果物體運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)為 v=v(t)，那么在時(shí)間區(qū)間 a,b內(nèi)物體的位移 s可以用定 積分表示為 .d)( b a ttvs 探究新知： tO y tyy B ni SSSSS 21 a ay b S a(t )0 t1 it1 it nb(t )nt1t2 S1 S2 iS nS 1h 2h ih nh A by aybyS ttvS ii 1

7、 嗎？表示，你能分別用內(nèi)的位移為時(shí)間段 設(shè)這個(gè)物體在的速度為時(shí)刻的概念可知，它在任意 由導(dǎo)數(shù)是運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖：一個(gè)作變速直線 S,, , , tvtySba tytvt tyy 1 ityn ab tty i 1 aybyS b a dtty tyy ay by ni SSSSS 21 111 iiii tyn abttyttvS ttytD P ChS iii 1t a n ttvS n i in 1 1lim n i in tty 1 1 l i m dttvb a ayb

8、ydttyS b a 微積分基本定理： 設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間 a,b上連續(xù)，并且 F(x) f（ x)，則， ba aFbFxxf )()(d)( 這個(gè)結(jié)論叫 微積分基本定理 （ fundamental theorem of calculus)，又叫 牛頓萊布尼茨公式 （ Newton-Leibniz Formula). ).()()(d)( aFbFxFxxf baba 或記作 說明： 牛頓萊布尼茨公式 提供了計(jì)算定積分的簡便 的基本方法，即求定積分的值， 只要求出被積 函數(shù) f(x)的一個(gè)原函數(shù) F(x)，然后 計(jì)算原函數(shù) 在區(qū)間 a,b上的增量 F(b)F(a)即可

9、.該公式把 計(jì)算定積分歸結(jié)為求原函數(shù)的問題。 例 1 計(jì)算下列定積分 解 （） ( ) ( ) | ( ) ( )b ba a f x d x F x F b F a 找出 f(x)的原 函數(shù)是關(guān)鍵 dx x 2 1 11 31 22 x d x xx 1ln 2ln1ln2lnln1 2121 xdxx abxdxx baba lnlnln11 ：公式 81322 223131 2 xx d x 練習(xí) 1: _ _ _ _4 _ _ _ _3 _ _ _ _2 _ _ _ _11 2 1 3 1 0 3 1 0 1 0

10、 dxx dxx x d x dx 1 2 1 4 1 4 15 b a n b a n n x dxx 1 2 1 ：公式 例計(jì)算定積分 解 : dx x x 3 1 2 2 13 2 23 11,3 xx xx dx x dxxdx x dxx 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1313原式 3 76 1 1 3 1131 333 1 3 1 3 x x 達(dá)標(biāo)練習(xí)： _ _ _14 _ _ _1233 _ _ _ 1 2 _ _ _231 2 1 2 1 2 2

11、 1 1 0 2 dxe dxxx dx x x dtt x 1 2ln23 9 12 ee 初等函數(shù) 微積分基本定理 )()()( aFbFdxxfba 三、小結(jié) b a nb a n n xdxx 1 2 1 ：公式 abxdx x b a b a lnlnln11 ：公式 |bacx 11 | 1 nb axn + + c o s |bax- si n |bax 定積分公式 6 ) ( )xx b x a e d xee 7 ) ( ) l n a x bx xa d xa a a 15 ) ( l n ) 1b a x x dx

12、 x 1 ) ( ) b a c x c c d x 12) b nnn a x n x dxx 3 ) ( s i n ) c o s c o sb a xdxxx 4 ) ( c o s ) s i n s i nb a xdxxx ln | | |bax |xbae | ln x b a a a 牛頓 牛頓，是英國偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、 天文學(xué)家和自然哲學(xué)家。 1642年 12月 25日 生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的沃爾索 普村 ,1727年 3月 20日在倫敦病逝。 牛頓 1661年入英國劍橋大學(xué)三一學(xué)院， 1665年獲文學(xué)士學(xué)位。隨后兩年在家鄉(xiāng)躲 避瘟

13、疫。這兩年里，他制定了一生大多數(shù) 重要科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖。 1667年回劍橋后當(dāng) 選為三一學(xué)院院委，次年獲碩士學(xué)位。 1669年任盧卡斯教授直到 1701年。 1696年 任皇家造幣廠監(jiān)督，并移居倫敦。 1703年 任英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)長。 1706年受女王安娜 封爵。他晚年潛心于自然哲學(xué)與神學(xué)。 牛頓在科學(xué)上最卓越的貢獻(xiàn)是微積分 和經(jīng)典力學(xué)的創(chuàng)建。 返回 萊布尼茲 萊布尼茲，德國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，和牛頓 同為微積分的創(chuàng)始人； 1646年 7月 1日生于 萊比錫， 1716年 11月 14日卒于德國的漢諾 威。他父親是萊比錫大學(xué)倫理學(xué)教授，家 庭豐富的藏書引起他廣泛的興趣。 1661年

14、 入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，又曾到耶拿大學(xué) 學(xué)習(xí)幾何， 1666年在紐倫堡阿爾特多夫取得法學(xué)博士學(xué)位。 他當(dāng)時(shí)寫的論文 論組合的技巧 已含有數(shù)理邏 輯的早期思想，后來的工作使他成為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人。 1667年他投身外交界，曾到歐洲各國游歷。 1676年到漢 諾威，任腓特烈公爵顧問及圖書館的館長，并常居漢諾威， 直到去世。萊布尼茲的多才多藝在歷史上很少有 人能和他相比，他的著作包括數(shù)學(xué)、歷史、語言、生物 、地質(zhì)、機(jī)械、物理、法律、外交等各個(gè)方面。 返回 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 1 1 . ( ) , ( ) 0 ; 2 . ( ) , ( ) ; 3 . ( ) sin ,

15、 ( ) c o s ; 4 . ( ) c o s , ( ) sin ; 5 . ( ) , ( ) l n ( 0 ) ; 6 . ( ) , ( ) ; 1 7 . ( ) l o g , ( ) ( 0 , 1 ) ; ln 8. nn xx xx a f x c f x f x x f x n x f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a xa 公 式 若 則 公 式 若 則 公 式 若 則 公 式 若 則 公 式 若 則 公 式 若 則 公 式 若 則 且 公

16、式 若 1 ( ) l n , ( ) ;f x x f x x 則 返回 nx 1nnx 1 x 1 lnxa sin x cos x sin x cos x xexa lnxaa xe c 0 函數(shù) f(x) 導(dǎo)函數(shù) f(x) 回顧：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 log a x lnx 被積 函數(shù) f(x) 一個(gè)原 函數(shù) F(x) 新知：基本初等函數(shù)的原函數(shù)公式 c cx nx 11 1 nx n sin x cos x sin x cos x xa ln xa a xe xe 1 x .x dxs i n,dxxs i n,dxxs i n :2 2 0 2 0 計(jì)算下列

17、定積分例 00 |xc o sdxxs i n,xs i nxc o s 因?yàn)榻? ;20c o sc o s 22 |xc o sdxxs i n ;2c o s2c o s 202 |xc o sdxxs i n 0 .00c o s2c o s 問題： 通過計(jì)算下列定積分，進(jìn)一步說明其定 積分的幾何意義。 通過計(jì)算結(jié)果能發(fā)現(xiàn)什么結(jié) 論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示發(fā)現(xiàn)的結(jié)論 2 s in x d x 2 0 s in x d x 我們發(fā)現(xiàn)： （）定積分的值可取正值也可取負(fù)值，還可以是 0； （ 2）當(dāng)曲邊梯形位于 x軸上方時(shí)，定積

18、分的值取正值； （ 3）當(dāng)曲邊梯形位于 x軸下方時(shí)，定積分的值取負(fù)值； （ 4）當(dāng)曲邊梯形位于 x軸上方的面積等于位于 x軸下方 的面積時(shí)，定積分的值為 0 得到定積分的幾何意義： 曲邊梯形面積的 代數(shù)和 。 的解析式求 且點(diǎn)是一次函數(shù)，其圖象過、已知 )(,1)( ),4,3()(1 1 0 xfdxxf xf 微積分與其他函數(shù)知識(shí)綜合舉例： 的最大值。求、已知 )(,)2()(2 1 0 22 afdxxaaxaf 練一練： 已知 f(x)=ax+bx+c,且 f(-1)=2,f(0)=0, 的值求 cbadxxf ,,,2)(1 0 例 1 求 .)1s i nco s2(20 dxxx 原式 20( 2 s i n c o s ) |x x x .23 例 2 設(shè) , 求 . 215 102)( x xxxf 20 )( dxxf 解 解 10 2120 )()()( dxxfdxxfdxxf 在 2,1 上規(guī)定當(dāng) 1x 時(shí)， 5)( xf , 10 21 52 dxx d x原式 .6 x y o 1 2