[高考復(fù)習(xí)]2015年全國卷1文科數(shù)學(xué)高考真題6附答案高三升學(xué)考試題

2015 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo) 1 卷）文數(shù) 一、選擇題：每小題 5 分,共 60 分 1、已知集合 A = {x x = 3n + 2, n N}, B = {6,8,10,12,14} ，則集合 A B 中的元素個(gè)數(shù)為 （A） 5 （B）4 （C）3 （D）2 2、已知點(diǎn) A(0,1), B(3, 2) ，向量 AC = (-4, -3) ，則向量 BC = （A） (-7, -4) （B） (7, 4) （C） (-1, 4) （D） (1, 4) 3、已知復(fù)數(shù) z 滿足 (z -1)i = 1 + i ，則 z = （ ） （A） -2 - i （B） -2 + i （C） 2 - i （D） 2 + i 4、如果 3 個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長，則稱這 3 個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1, 2, 3, 4,5 中任取 3 個(gè)不 同的數(shù)，則這 3 個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為（ ） （A） 3 （B） 1 （C） 1 （D） 1 10 10 20 5 1 5、已知橢圓 E 的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為 ，E 的右焦點(diǎn)與拋物線 C : y2 = 8x 的焦點(diǎn)重合， A, B 是 C 的準(zhǔn)線與 2 E 的兩個(gè)交點(diǎn)，則 AB = （A） 3 （B） 6 （C） 9 （D）12 6、《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依 垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問”積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如 圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為 8 尺，米堆的高為 5 尺，問米堆 的體積和堆放的米各為多少？”已知 1 斛米的體積約為 1.62 立方尺，圓周率約為 3，估 算出堆放的米約有（ ） （A）14 斛 （B） 22 斛 （C） 36 斛 （D） 66 斛 7、已知{an } 是公差為 1 的等差數(shù)列， Sn 為{an }的前 n 項(xiàng)和，若 S8 = 4S4 ，則 a10 = （ ） （A） 17 （B） 19 （C）10 （D）12 2 2 8、函數(shù) f (x) = cos(wx +j) 的部分圖像如圖所示，則 f (x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ） （A） (kp - 1 , kp + 3 ), k Z 4 4 （B） (2kp - 1 , 2kp + 3 ), k Z 4 4 1 （C） (k - 1 , k + 3 ), k Z 4 4 9、執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的 t = 0.01，則輸出的 n = （ ） （A） 5 （B） 6 （C）7 （D）8 2x-1 - 2, x 1 10、已知函數(shù) f (x) = ， -log2 (x +1), x >1 且 f (a) = -3 ，則 f (6 - a) = （A） - 74 （B） - 54 （C） - 34 （D） - 14 11、圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為 r ）組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如 圖所示，若該幾何體的表面積為16 + 20p ，則 r = ( ) （A）1 （B） 2 （C） 4 2 （D） 8 12、設(shè)函數(shù) y = f (x) 的圖像與 y = 2x+a 的圖像關(guān)于直線 y = -x 對稱，且 f (-2) + f (-4) = 1 ，則 a =( ) （A） -1 （B）1 （C） 2 （D） 4 二、填空題：本大題共 4 小題,每小題 5 分 13、數(shù)列{an }中 a1 = 2, an+1 = 2an , Sn 為{an }的前 n 項(xiàng)和，若 Sn = 126 ，則 n = . 14.已知函數(shù) f ( ) ( ( )) ( 2, 7 ) ，則 a = x = ax3 + x +1 的圖像在點(diǎn) 1, f 1 的處的切線過點(diǎn) . x + y - 2 0 15. 若 x,y 滿足約束條件 x - 2 y +1 0 ,則 z=3x+y 的最大值為 ． 2x - y + 2 0 16.已知 F 是雙曲線 C : x2 - y2 =1 的右焦點(diǎn)，P 是 C 左支上一點(diǎn)， A (0, 6 6 ) ，當(dāng) DAPF 周長最小時(shí)，該三角形 8 的面積為 ． 三、解答題 17. （本小題滿分 12 分）已知 a, b, c 分別是 DABC 內(nèi)角 A, B, C 的對邊， sin2 B = 2sin A sin C . （I）若 a = b ，求 cos B; （II）若 B = 90 ，且 a = 2, 求 DABC 的面積. 18. （本小題滿分 12 分）如圖四邊形 ABCD 為菱形，G 為 AC 與 BD 交點(diǎn)， BE ^ 平面ABCD ， （I）證明：平面 AEC ^ 平面 BED ； （II）若 ABC = 120 ， AE ^ EC, 三棱錐 E - ACD 的體積為 36 ，求該三棱錐的側(cè)面積. 3 19. （本小題滿分 12 分）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi) x（單位：千元）對年銷售量 y（單位：t）和年利潤 z（單位：千元）的影響，對近 8 年的宣傳費(fèi) xi 和年銷售量 yi (i =1, 2, ,8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值. （I）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y = a + bx 與 y = c + d x ，哪一個(gè)適宜作為年銷售量 y 關(guān)于年宣傳費(fèi) x 的回歸方程類型（給 出判斷即可，不必說明理由）； （II）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立 y 關(guān)于 x 的回歸方程； （III）已知這種產(chǎn)品的年利潤 z 與 x，y 的關(guān)系為 z = 0.2 y - x ，根據(jù)（II）的結(jié)果回答下列問題： （i）當(dāng)年宣傳費(fèi) x =49 時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值時(shí)多少？ （ii）當(dāng)年宣傳費(fèi) x 為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？ 4 20. （本小題滿分 12 分）已知過點(diǎn) A(1, 0)且斜率為 k 的直線 l 與圓 C： (x - 2)2 + ( y - 3)2 = 1交于 M，N 兩點(diǎn). （I）求 k 的取值范圍； （II）若 OM ON =12 ，其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求 MN . 21. （本小題滿分 12 分）設(shè)函數(shù) f (x) = e2 x - a ln x . （I）討論 f (x)的導(dǎo)函數(shù) f (x) 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)； 2 請考生在 22、23、24 題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分,做答時(shí)請寫清題號 22. （本小題滿分 10 分）選修 4-1：幾何證明選講 如圖 AB 是 O 直徑，AC 是 O 切線，BC 交 O 與點(diǎn) E. 5 （I）若 D 為 AC 中點(diǎn)，證明：DE 是 O 切線； （II）若 OA = 3CE ，求 ACB 的大小. 23. （本小題滿分 10 分）選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 C1 : x = -2 ，圓 C2 : (x -1)2 + ( y - 2)2 = 1 ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. （I）求 C1 , C2 的極坐標(biāo)方程. （II）若直線 C3 的極坐標(biāo)方程為q = π (r R ) ，設(shè) C2 , C3 的交點(diǎn)為 M , N ，求 DC2 MN 的面積. 4 24. （本小題滿分 10 分）選修 4-5：不等式選講已知函數(shù) f (x) = x +1 - 2 x - a , a > 0 . （I）當(dāng) a =1 時(shí)求不等式 f (x) >1 的解集； （II）若 f (x)的圖像與 x 軸圍成的三角形面積大于 6，求 a 的取值范圍. 2015 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo) 1 卷）文 答案 一、選擇題 （1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B （7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C 二、填空題 （13）6 （14）1 （15）4 （16）12 6 三、解答題 17、解： （I）由題設(shè)及正弦定理可得 b2 =2ac. 又 a=b，可得 cosB= a 2 + c2 - b2 = 1 ……6 分 2ac 4 （II）由（I）知 b2 =2ac. 因?yàn)?B= 90o ，由勾股定理得 a 2 + c2 =b2 . 故 a 2 + c2 =2ac ，的 c=a= 2 . 所以△ABC 的面積為 1. ……12 分 18、解： 7 6） ！ （I）因?yàn)樗倪呅?ABCD 為菱形，所以 AC⊥BD. 因?yàn)?BE⊥平面 ABCD,所以 AC⊥BE,故 AC⊥平面 BED. 又 AC 平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 BED. ……5 分 （II）設(shè) AB= x ，在菱形 ABCD 中，又∠ABC=120o ，可得 AG=GC= 23 x ，GB=GD= 2x . 因?yàn)?AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中，可的 EG= 23 x . 由 BE⊥平面 ABCD,知△EBG 為直角三角形，可得 BE= 22 x . 由已知得，三棱錐 E-ACD 的體積VE - ACD = 13 12 ACGDBE= 246 x3 = 36 . 故 x =2 ……9 分 從而可得 AE=EC=ED= 6 . 所以△EAC 的面積為 3，△EAD 的面積與 △ECD 的面積均為 5 . 故三棱錐 E-ACD 的側(cè)面積為 3+2 5 . ……12 分 19、解： （I）由散點(diǎn)圖可以判斷，y=c+d x 適宜作為年銷售量 y 關(guān)于年宣傳費(fèi) x 的回歸方程式類型.（II）令 w = x ，先建立 y 關(guān)于 w 的線性回歸方程式.由于 8 (wi - w )( yi - y ) 108.8 d= i =1 = = 68 , 8 2 1.6 (wi - w) i =1 563 68 6.8 100.6 c = y - d w = - = ， 所以 y 關(guān)于 w 的線性回歸方程為 y=100.6 + 68w ,因此 y 關(guān)于 x 的回歸方程為 y =100.6 + 68x （Ⅲ）（i）由（II）知，當(dāng) x =49 時(shí)，年銷售量 y 的預(yù)報(bào)值 8 y =100.6 + 6849=576.6 ， 年利潤 z 的預(yù)報(bào)值 z=576.6 0.2 - 49 = 66.32 ……9 分 （ii）根據(jù)（II）的結(jié)果知，年利潤 z 的預(yù)報(bào)值 z=0.2(100.6+68x)-x=-x +13.6 x +20.12 . 所以當(dāng) x = 132.6 =6.8 ，即 x =46.24 時(shí)， z 取得最大值. 故年宣傳費(fèi)為 46.24 千元時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大. ……12 分 20、解： （I）由題設(shè)，可知直線 l 的方程為 y = kx +1 . 因?yàn)?l 與 C 交于兩點(diǎn)，所以 2k - 3 +1 1 . 1 + k 2 4 - k 4 + . 解得 7 7 3 3 4 - , 4 + ) . 所以 k 的取值范圍為 ( 7 7 ……5 分 3 3 （II）設(shè) M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 ) . 將 y = kx +1代入方程 (x - 2)2 + ( y - 3)2 =1 ，整理得 (1 + k 2 ) x2 - 4(1 + k) x + 7 = 0 . 所以 x + x = 4(1 + k) , x x = 7 . 1 + k 2 1 + k 2 1 2 1 2 OM ON = c1x2 + y1 y2 = (1+ k 2 )x1x2 + k (x1 + x2 )+1 = 4k (1 + k ) + 8 . 1 + k 2 由題設(shè)可得 = 4k (1 + k ) + 8 =12，解得 k=1，所以 l的方程是 y=x+1. 1 + k 2 故圓心 C 在 l上，所以 MN = 2 . ……12 分 9 21、解： （I） f (x )的定義域?yàn)?(0, +), f (x ) = 2e2 x - ax ( x0) . 當(dāng) a ≤0 時(shí)， f (x )0，f (x ) 沒有零點(diǎn)； 當(dāng) a0 時(shí)，因?yàn)?e2 x 單調(diào)遞增， - ax 單調(diào)遞減，所以 f (x ) 在 (0, +)單調(diào)遞增，又 f (a )0 ， 當(dāng) b 滿足 0＜b＜ a4 且 b＜ 14 時(shí)， f (b)0 ，故當(dāng) a ＜0 時(shí) f (x ) 存在唯一零點(diǎn). ……6 分 （II）由（I），可設(shè) f (x ) 在 (0, +)的唯一零點(diǎn)為 x0 ，當(dāng) x (0，x0 )時(shí)， f (x ) ＜0； 當(dāng) x (x0，+ )時(shí)， f (x ) ＞0. 故 f (x ) 在 (0，+ ) 單調(diào)遞減，在 (x0，+ ) 單調(diào)遞增，所以 x = x0 時(shí)， f (x ) 取得最小值，最小值為 f (x0 ). 由于 2e2 x0 - a = 0 ，所以 f (x0 ) = a + 2ax0 + a1n 2 2a + a1n 2 . x 2x a a 0 0 故當(dāng) a0 時(shí)， f (x ) 2a + a1n 2 . ……12 分 a 22、解： （I）連接 AE，由已知得，AE⊥BC,AC⊥AB. 在 Rt△AEC 中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 連結(jié) OE，則∠OBE=∠OEB. 又∠OED+∠ABC= 90o ，所以∠DEC+∠OEB= 90o ，故∠OED= 90o ，DE 是 O 的切線. ……5 分 （II）設(shè) CE=1，AE= x ，由已知得 AB= 23 ，BE= 12 - x2 .由射影定理可得， AE 2 = CE BE ，所以 x2 = 12 - x2 ，即 x4 + x2 -12 = 0 .可得 x = 3 ，所以∠ACB= 60o . 10 ……10 分 23、解： （I）因?yàn)?x = r cosq , y = r sinq ，所以 C1 的極坐標(biāo)方程為 r cosq = -2 ， C2 的極坐標(biāo)方程為 r 2 - 2r cosq - 4r sinq + 4 = 0 . ……5 分 （II）將q = p 代入 r 2 - 2r cosq - 4r sinq + 4 = 0 ，得 r 2 - 3 r + 4 = 0 ，解得 2 4 r1 = 2 2, r2 = 2 .故 r1 - r2 = 2 ，即 MN = 2 由于 C2 的半徑為 1，所以 DC2 MN 的面積為 1 . ……10 分 2 24、解： （I）當(dāng) a =1 時(shí)， f (x) >1 化為 x +1 - 2 x -1 -1＞0 . 當(dāng) x -1時(shí)，不等式化為 x - 4＞0 ，無解； 當(dāng) -1＜x＜1 時(shí)，不等式化為 3x - 2＞0 ，解得 23 ＜x＜1； 當(dāng) x 1，不等式化為- x +2＞0，解得 1≤ x ＜2. 2 所以 f (x) >1 的解集為 x︱ ＜x＜2 . ……5 分 3 x -12a, x＜-1 （II）由題設(shè)可得， f (x ) = 3x +1- 2a, -1 x a, -x +1+ 2a, x＜a. 所以函數(shù) f (x)的圖像與 x 軸圍成的三角形的三個(gè)丁點(diǎn)分別為 2a -1 2 2 A , 0 , B (2a +1, 0 ),C (a, a +1) ,△ABC 的面積為 (a +1) . 3 3 由題設(shè)得 2 (a +1)2 ＞6，故 a ＞2. 3 所以 a 的取值范圍為 (2，+ ) . ……10 分 11