2012高中數(shù)學(xué) 第2章2.2.2第一課時(shí)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課件 新人教A版選修.ppt

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1、2 2.2 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 第一課時(shí) 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 2理解離心率對(duì)橢圓扁平程度的影響 課前自主學(xué)案 溫故夯基 1平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1， F2的距離的和等于常 數(shù) (大于 |F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做 _____這兩個(gè)定 點(diǎn)叫做橢圓的 _____，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓 的 _____ 橢圓 焦點(diǎn) 焦距 2寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)在 x軸上時(shí)是 _________________ 焦點(diǎn)在 y軸上時(shí)是 _________________ 3到兩定點(diǎn) F1(0， 1)， F2(0,1)的距離的和等于 4的動(dòng)點(diǎn) M的軌跡方

2、程是 ___________. x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a b 0 ) y 2 a 2 x 2 b 2 1 ( a b 0 ) y 2 4 x 2 3 1 橢圓的幾何性質(zhì) 知新益能 焦點(diǎn)的位置 焦點(diǎn)在 x軸上 焦點(diǎn)在 y軸上 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 范圍 ____________ ____________ x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a b 0 ) y 2 a 2 x 2 b 2 1 ( a b 0 ) |x| a， |y| b |x| b， |y| a 焦點(diǎn)的位置 焦點(diǎn)在 x軸上 焦點(diǎn)在 y軸上 頂點(diǎn) ________

3、_________ ________________ 軸長(zhǎng) 長(zhǎng)軸 A1A2，長(zhǎng)度為 2a， 短軸 B 1B2，長(zhǎng)度為 2b 焦點(diǎn) F1( c,0)， F2(c,0) __________________ 焦距 |F1F2| 2c 對(duì)稱性 對(duì)稱軸： _______，對(duì)稱中心： ____ 離心率 橢圓的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比，即 e ___ ( a,0)， (0， b) ( b,0)， (0， a) F1(0， c)， F2(0， c) 坐標(biāo)軸 (0,0) c a 問(wèn)題探究 如圖所示橢圓中的 OF2B2，能否找出 a， b， c對(duì) 應(yīng)的線段？ 提示： a |B2F2|， b |OB2|， c

4、|OF2|. 課堂互動(dòng)講練 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 考點(diǎn)突破 已知橢圓的方程討論其性質(zhì)時(shí)，應(yīng)先把橢圓的 方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，找準(zhǔn) a與 b，才能正確地寫(xiě) 出其相關(guān)性質(zhì)在求頂點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)， 應(yīng)注意焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸 求橢圓 4x2 9y2 36的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距、焦點(diǎn) 坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率 例 1 【思路點(diǎn)撥】 化為標(biāo)準(zhǔn)形式 確定焦點(diǎn)位置 求 a ， b ， c 求橢圓幾何性質(zhì) 【解】 將橢圓方程變形為 x 2 9 y 2 4 1 ， a 3 ， b 2 ， c a 2 b 2 9 4 5 . 橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和焦距分別為 2 a 6 , 2 c

5、 2 5 ； 焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F 1 ( 5 ， 0 ) ， F 2 ( 5 ， 0 ) ；頂點(diǎn)坐標(biāo) 為 A 1 ( 3 , 0 ) ， A 2 ( 3 , 0 ) ， B 1 ( 0 ， 2 ) ， B 2 ( 0 , 2 ) ；離 心率 e c a 5 3 . 互動(dòng)探究 1 若本例中橢圓方程變?yōu)椋?“ 4x2 y2 1” ，試求解 解： 已知方程為 y 2 1 x 2 1 4 1 ，所以 a 1 ， b 1 2 ， c 1 1 4 3 2 ，因此，橢圓的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)和短軸的 長(zhǎng)分 別為 2 a 2 , 2 b 1 ，離心率 e c a 3 2 ，兩個(gè) 焦點(diǎn)分

6、別為 F 1 0 ， 3 2 ， F 2 0 ， 3 2 ，橢圓的四 個(gè)頂點(diǎn)是 A 1 ( 0 ， 1 ) ， A 2 ( 0 , 1 ) ， B 1 1 2 ， 0 ， B 2 1 2 ， 0 . (1)利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程通常采用待 定系數(shù)法 (2)根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是 “ 選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù) ” ，一般步驟是： 求出 a2， b2的值； 確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸； 寫(xiě)出標(biāo) 準(zhǔn)方程 利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ： ( 1 ) 長(zhǎng)軸長(zhǎng)是 6 ， 離心率是 2 3

7、 ； ( 2 ) 在 x 軸上的一個(gè)焦點(diǎn) ， 與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連 線互相垂直 ， 且焦距為 6. 例 2 【思路點(diǎn)撥】 因?yàn)橐蟮氖菣E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 故可以先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用待定系數(shù) 法求參數(shù) a， b， c. 【解】 ( 1 ) 設(shè)橢圓方程為 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a b 0 ) 或 y 2 a 2 x 2 b 2 1 ( a b 0 ) 由已知得 2 a 6 ， a 3. 又 e c a 2 3 ， c 2. b 2 a 2 c 2 9 4 5. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 2 9 y 2 5 1 或 y 2 9

8、 x 2 5 1. ( 2 ) 由題意知焦點(diǎn)在 x 軸上， 故可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a b 0 ) ，且兩 焦點(diǎn)為 F ( 3 , 0 ) ， F ( 3 , 0 ) 如圖所示， A 1 FA 2 為等腰直角三角形， OF 為斜邊 A 1 A 2 的中線，且 | OF | c ， | A 1 A 2 | 2 b ， c b 3. a 2 b 2 c 2 18. 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 2 18 y 2 9 1. 互動(dòng)探究 2 本例中， (1)中條件 “ 長(zhǎng)軸長(zhǎng)是 6” 改 為 “ 短軸長(zhǎng)為 8”

9、； (2)中焦距是 “6”改為 “8” 結(jié)果如何？ 解： ( 1 ) 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ( a b 0 ) 或 y 2 a 2 x 2 b 2 1 ( a b 0 ) 由已知得 e c a 2 3 ， 2 b 8 5 ， c 2 a 2 a 2 b 2 a 2 4 9 ， b 2 80 . a 2 144 . 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 2 144 y 2 80 1 或 y 2 144 x 2 80 1. (2 ) 設(shè)橢圓方程為 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) 如圖所示，

10、 A 1 FA 2 為 等腰直角三角形， OF 為斜邊 A 1 A 2 的中線 ( 高 ) ，且 | OF | c ， | A 1 A 2 | 2 b ， c b 4 ， a 2 b 2 c 2 32 ，故所求橢圓 的方程為 x 2 32 y 2 16 1. 求橢圓的離心率的常見(jiàn)思路：一是先求 a， c， 再計(jì)算 e；二是依據(jù)條件中的關(guān)系，結(jié)合有關(guān) 知識(shí)和 a、 b、 c的關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于 e的方程，再 求解注意 e的范圍： 0

11、 A. 2 2 B. 3 3 C. 1 2 D. 1 3 例 3 【 思路點(diǎn)撥 】 本題先求得 P點(diǎn)坐標(biāo) ， 再利用 直角三角形 ， 得出 a， b， c的關(guān)系 【解析】 由題意知點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( c ， b 2 a ) 或 ( c ， b 2 a ) ， F 1 PF 2 60 ， 2 c b 2 a 3 ，即 2 ac 3 b 2 3 ( a 2 c 2 ) 3 e 2 2 e 3 0 ， e 3 3 或 e 3 ( 舍去 ) 【 答案 】 B 【 名師點(diǎn)評(píng) 】 變式訓(xùn)練 3 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、 F2， A為 橢圓

12、上一點(diǎn)，且 AF1 AF2， AF2F1 60 ，求 該橢圓的離心率 解： 不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在 x軸上，畫(huà)出草圖如圖所 示 由 AF 1 AF 2 知 AF 1 F 2 為直角三角形，且 AF 2 F 1 6 0 . 由橢圓定義，知 | AF 1 | | AF 2 | 2 a ， | F 1 F 2 | 2 c . 則 在 Rt AF 1 F 2 中，由 AF 2 F 1 60 得 | AF 2 | c ， | AF 1 | 3 c ，所以 | AF 1 | | AF 2 | 2 a ( 3 1) c ， 所以離心率 e c a 3 1. 1 橢圓的幾何性質(zhì)的作用 橢圓的焦點(diǎn)決定橢圓的位置，范圍決定橢圓的大 小，離心率決定了橢圓的扁圓程度，對(duì)稱性是橢 圓的重要特征，頂點(diǎn)是橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，是 橢圓重要的特殊點(diǎn)；若已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則 根據(jù) a、 b的值可確定其性質(zhì) 2橢圓的離心率是反映橢圓的扁平程度的一個(gè) 量，其取值范圍是 0