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1、《數(shù)學思想方法》復習題三
1.為什么說《幾何原本》是一個封閉的演繹體系?
①因為在《幾何原本》中,除了推導時所需要的邏輯規(guī)則外,每個定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公理或前面已經(jīng)證明過的定理,并且引入的概念(除原始概念)也基本上是符合邏輯上對概念下定義的要求,原則上不再依賴其它東西。因此《幾何原本》是一個封閉的演繹體系。②另外,《幾何原本》的理論體系回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實生活有關(guān)的應(yīng)用問題,因此對于社會生活的各個領(lǐng)域來說,它也是封閉的。③所以,《幾何原本》是一個封閉的演繹體系。
2.為什么說最早使用數(shù)學模型方法的是中國人?
:①因為在中國漢代的古算書《九章算術(shù)》中就已經(jīng)系統(tǒng)地使用了數(shù)學
2、模型?!毒耪滤阈g(shù)》將246個題目歸結(jié)為九類,即九種不同的數(shù)學模型,分列為九章。②它在每一章中所設(shè)置的問題,都是從大量的實際問題中選擇具有典型意義的現(xiàn)實原型,然后再通過“術(shù)”(即算法)轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型。其中有些章就是專門探討某種數(shù)學模型的應(yīng)用,③例如“勾股”、“方程”等章。這在世界數(shù)學史上是最早的。因此,我們說最早使用數(shù)學模型方法的是中國人。
3.什么是類比猜想?并舉一個例子說明。
①人們運用類比法,根據(jù)一類事物所具有的某種屬性,得出與其類似的事物也具有這種屬性的一種推測性的判斷,即猜想,這種思想方法稱為類比猜想。②例如,分式與分數(shù)非常相似,只不過是用字母替代數(shù)而已。因此,我們可以猜想,分式與
3、分數(shù)在定義、基本性質(zhì)、約分、通分、四則運算等方面都是對應(yīng)相似的。
4.簡述表層類比,并用舉例說明。
:①表層類比是根據(jù)兩個被比較對象的表面形式或結(jié)構(gòu)上的相似所進行的類比。這種類比可靠性較差,結(jié)論具有很大的或然性。②例如,從類比出是錯誤的,而類比出在數(shù)列極限存在的條件下是正確的。③又如,由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì),類比得到三角形外角平分線性質(zhì),就是一種結(jié)構(gòu)上的類比。
5.數(shù)學思想方法教學為什么要遵循循序漸進原則?試舉例說明。
:①數(shù)學思想方法的形成難于知識的理解和一般技能的掌握,它需要學生深入理解事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。②學生對每種數(shù)學思想方法的認識都是在反復理解和運用中形成的,是從個別到一般,
4、從具體到抽象,從感性到理性,從低級到高級的沿著螺旋式方向上升的。③例如,學生理解數(shù)形結(jié)合方法可從小學的畫示意圖找數(shù)量關(guān)系著手孕育;在學習數(shù)軸時,要求學生會借助數(shù)軸來表示相反數(shù)、絕對值、比較有理數(shù)的大小等。在數(shù)列極限存在的條件下是正確的。③又如,由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì),類比得到三角形外角平分線性質(zhì),就是一種結(jié)構(gòu)上的類比。
1.為什么說數(shù)學模型方法是一種迂回式化歸?
正確答案:①運用數(shù)學模型方法解決問題時,不是直接求出實際問題的解,因為這樣做往往是行不通的或者花費過分昂貴。②而是先將實際問題化歸為一個合適的數(shù)學模型,然后通過求數(shù)學模型的解間接求出原實際問題的解,走的是一條迂回的道路。③因此,我
5、們說數(shù)學模型方法是一種迂回式化歸。
2.特殊化在數(shù)學教學中的作用有哪些?
正確答案:①利用特殊值(圖形)解選擇題。②利用特殊化探求問題結(jié)論。③利用特例檢驗一般結(jié)果。④利用特殊化探索解題思路。
3.為什么數(shù)形結(jié)合方法在數(shù)學中有著非常廣泛的應(yīng)用?
正確答案:①數(shù)學研究的是現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式,而現(xiàn)實世界本身是同時兼?zhèn)鋽?shù)與形兩種屬性的,既不存在有數(shù)無形的客觀對象,也不存在有形無數(shù)的客觀對象。②因此,在數(shù)學發(fā)展的進程中,數(shù)和形常常結(jié)合在一起,在內(nèi)容上互相聯(lián)系,在方法上互相滲透,在一定條件下互相轉(zhuǎn)化。③充分運用數(shù)形結(jié)合方法解決數(shù)學問題,對于溝通代數(shù)、三角、幾何各分支之間的聯(lián)系,提高分析問
6、題、解決問題的能力具有重要作用。
4.什么是公理方法和公理體系?
正確答案:簡要地說就是從初始概念和公理出發(fā),按照一定的規(guī)律定義出其他所有的概念,推導出其他一切命題的一種演繹方法(5分)。公里體系由初始命題、公理、邏輯規(guī)則、定理等構(gòu)成(5分)。
5.簡述數(shù)學思想方法教學的幾個主要階段。
正確答案:
① 潛意識階段——在這個階段學生只注意數(shù)學知識的學習,注意知識積累,而未曾注意到對這些知識起到橫向聯(lián)系和固定作用的思想方法,或者只是處于一種“朦朦朧朧”、“若有所悟”的狀況;(3分)
②明朗化階段——隨著運用同一種數(shù)學思想方法解決不同的數(shù)學問題的實踐機會的增多,隱藏在數(shù)學知識后面的思想方
7、法就會逐漸引起學生的注意和思考,直至產(chǎn)生某種程度的領(lǐng)悟。當經(jīng)驗和領(lǐng)悟積累到一定程度時,這種事實上已經(jīng)被應(yīng)用多次的思想方法就會凸現(xiàn)出來,學生開始理解解題過程中所使用的方法與策略,并且概括總結(jié)出這一思想方法;(3分)
③深刻理解階段——在這個階段,學生基本上能正確運用某種數(shù)學思想方法進行探索和思考,以求得問題的解決。同時,在解決問題的實踐過程中,學生又將加深了對數(shù)學思想方法的理解,并養(yǎng)成了有意識地、自覺地運用數(shù)學思想方法解決問題的思維習慣。(4分)
1.模型化的方法、開放性的歸納體系及算法化的內(nèi)容之間的關(guān)系
正確答案:模型化的方法與開放性的歸納體系及算法化的內(nèi)容之間是互相適應(yīng)并且互相促進的。
8、(2分)雖然,各個數(shù)學模型之間也有一定的聯(lián)系,但是它們更具有相對獨立性。一個數(shù)學模型的建立與其它數(shù)學模型之間并不存在邏輯依賴關(guān)系。正因為如此,所以可以根據(jù)需要隨時從社會實踐中提煉出新的數(shù)學模型(3分)。另一方面,由于運用模型化的方法研究數(shù)學,新的數(shù)學模型從何產(chǎn)生?只有尋找現(xiàn)實原型、立足于現(xiàn)實問題的研究,這就不可能產(chǎn)生封閉式的演繹體系(2分)。解決實際問題還提出了這樣的要求:對由模型化方法求得的結(jié)果必須能夠檢驗其正確性和合理性,為了能夠求得實際可用的結(jié)果,于是算法化的內(nèi)容也就應(yīng)運而生(3分)。
2.算術(shù)與代數(shù)的解題方法基本思想有何區(qū)別?
正確答案:區(qū)別在于算術(shù)解題參與的量必須是已知的量,而代
9、數(shù)解題允許未知的量參與運算(5分);算術(shù)方法的關(guān)鍵之處是列算式,而代數(shù)方法的關(guān)鍵之處列方程(5分)。
3.簡單說明社會科學數(shù)學化的主要原因?
正確答案:第一,社會管理需要精確化的定量依據(jù)(2.5分);第二,社會科學理論體系的發(fā)展需要精確化(2.5分);第三,出現(xiàn)了一些適合研究社會歷史現(xiàn)象的新的數(shù)學分支(2.5分);第四,電子計算機的發(fā)展與應(yīng)用(2.5分)。
4.第一次數(shù)學危機最終如何解決了?
正確答案:第一次數(shù)學危機并沒有輕易地很快解決。最后約在公元前370年,才由柏拉圖的學生歐多克斯解決了(5分)。他創(chuàng)立了新的比例理論,微妙地處理了可公度和不可公度。他處理不可公度的方法,被歐幾里得《
10、幾何原本》第二卷(比例論)收錄。這個問題到19世紀戴德金及康托爾等人建立了現(xiàn)代實數(shù)理論才算徹底解決(5分)。
5.何謂化歸方法?它遵循哪三個原則?
正確答案:所謂化歸方法,就是將一個問題進行變形,使其歸結(jié)為另一已能解決的問題,既然已可解決,那么也就解決了(5分)。化歸方法遵循三個原則:簡單化原則、熟悉化原則、和諧化原則(5分)。
1.我國數(shù)學教育存在哪些問題?
正確答案:①數(shù)學教學重結(jié)果,輕過程;重解題訓練,輕智力、情感開發(fā);不重視創(chuàng)新能力培養(yǎng),雖然學生考試分數(shù)高,但是學習能力低下;②重模仿,輕探索,學習缺少主動性,缺乏判斷力和獨立思考能力;③學生學業(yè)負擔過重。原因是課堂教學效益不高,
11、教學圍繞升學考試指揮棒轉(zhuǎn),不斷重復訓練各種題型和模擬考試,不少教師心存以量求質(zhì)的想法,造成學生學業(yè)負擔過重。
2.《幾何原本》貫徹哪兩條邏輯要求?
正確答案:《幾何原本》貫徹了兩條邏輯要求。①第一,公理必須是明顯的,因而是無需加以證明的,其是否真實應(yīng)受推出的結(jié)果的檢驗,但它仍是不加證明而采用的命題;初始概念必須是直接可以理解的,因而無需加以定義。②第二,由公理證明定理時,必須遵守邏輯規(guī)律與邏輯規(guī)則;同樣,通過初始概念以直接或間接方式對派生概念下定義時,必須遵守下定義的邏輯規(guī)則。
3.簡述數(shù)學抽象的特征。
正確答案:數(shù)學抽象有以下特征:①數(shù)學抽象具有無物質(zhì)性;②數(shù)學抽象具有層次性;③數(shù)學
12、抽象過程要憑借分析或直覺;④數(shù)學的抽象不僅有概念抽象還有方法抽象
4.什么是算法的有限性特點?試舉一個不符合算法有限性特點的例子。
①算法得有限性是指一個算法必須在有限步之內(nèi)終止。②例如,對初始數(shù)據(jù)20和3,計算過程無論怎樣延續(xù)這個過程都不能結(jié)束,同時也不會出現(xiàn)中斷。如果在某一處中斷過程,我們只能得到一個近似的、不準確的結(jié)果。而且如果在某一步中斷計算過程已經(jīng)不是執(zhí)行原來的算法??梢?,十進小數(shù)除法對于20和3這組數(shù)不符合算法的“有限性”特點。
5.簡述將“化隱為顯”列為數(shù)學思想方法教學的一條原則的理由。
正確答案:①由于數(shù)學思想方法往往隱含在知識的背后,知識教學雖然蘊含著思想方法,但是如
13、果不是有意識地把數(shù)學思想方法作為教學對象,在數(shù)學學習時,學生常常只注意到處于表層的數(shù)學知識,而注意不到處于深層的思想方法。②因此,進行數(shù)學思想方法教學時必須以數(shù)學知識為載體,把隱藏在知識背后的思想方法顯示出來,使之明朗化,才能通過知識教學過程達到思想方法教學之目的。
1、簡述《國家數(shù)學課程標準》的幾個主要特點。
答: 2001年6月教育部推行了試用的九年義務(wù)教育階段《國家數(shù)學課程標準》(實驗稿),充分體現(xiàn)了數(shù)學課程改革與發(fā)展的內(nèi)涵、特點和具體目標,并呈現(xiàn)下列八個特點: 1)、把“現(xiàn)實數(shù)學”作為數(shù)學課程的一項內(nèi)容。即為學生準備的數(shù)學應(yīng)該是與現(xiàn)實世界密切聯(lián)系的數(shù)學,且能夠在實際中得到應(yīng)用的數(shù)學
14、。 2)、把“數(shù)學化”作為數(shù)學課程的一個目標。學生學習數(shù)學化的過程是將學生的現(xiàn)實數(shù)學進一步提高、抽象的過程。 3)、把“再創(chuàng)造”作為數(shù)學教育的一條原則。把“已完成的數(shù)學”當成是“未完成的數(shù)學”來教,給學生提供“再創(chuàng)造”的機會。 4)、把“問題解決”作為數(shù)學教學的一種模式?!稊?shù)學課程標準》在“學段目標”中的“解決問題”方面的具體闡述,實際上提出了“問題解決”的教學模式,即:情境—問題—探索—結(jié)論—反思。 5)、把“數(shù)學思想方法”作為課程體系的一條主線。要求學生掌握基本的數(shù)學思想方法。 6)、把“數(shù)學活動”作為數(shù)學課程的一個方面。強調(diào)學生的數(shù)學活動,注重“向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動的機會”,幫助他
15、們“獲得廣泛的數(shù)學活動的經(jīng)驗”。 7)、把“合作交流”看成學生學習數(shù)學的一種方式。要讓學生在解決問題的過程中“學會與他人合作”,并能“與他人交流思維的過程和結(jié)果”。 8)、把“現(xiàn)代信息技術(shù)”作為學生學習數(shù)學的一種工具。
1、 論述社會科學數(shù)學化的主要原因。
答:從整個科學發(fā)展趨勢來看,社會科學的數(shù)學化也是必 然的趨勢,其主要原因可以歸結(jié)為有下面四個方面: 第一,社會管理需要精確化的定量依據(jù),這是促使社會科學 數(shù)學化的最根本的因素。 第二,社會科學的各分支逐步走向成熟,社會科學理論體系 的發(fā)展也需要精確化。 第三,隨著數(shù)學的進一步發(fā)展,它出現(xiàn)了一些適合研究社會 歷史現(xiàn)象的新的數(shù)學分支。 第
16、四,電子計算機的發(fā)展與應(yīng)用,使非常復雜社會現(xiàn)象經(jīng)過 量化后可以進行數(shù)值處理。
2、 論述數(shù)學的三次危機對數(shù)學發(fā)展的作用。
答:第一次數(shù)學危機促使人們?nèi)フJ識和理解無理數(shù),導致 了公理幾何與邏輯的產(chǎn)生。 第二次數(shù)學危機促使人們?nèi)ド钊胩接憣崝?shù)理論,導致了分析 基礎(chǔ)理論的完善和集合論的產(chǎn)生。 第三次數(shù)學危機促使人們研究和分析數(shù)學悖論,導致了數(shù)理 邏輯和一批現(xiàn)代數(shù)學的產(chǎn)生。 由此可見,數(shù)學危機的解決,往往給數(shù)學帶來新的內(nèi)容,新 的進展,甚至引起革命性的變革,這也反映出矛盾斗爭是事物發(fā) 展的歷史動力這一基本原理。整個數(shù)學的發(fā)展史就是矛盾斗爭的 歷史,斗爭的結(jié)果就是數(shù)學領(lǐng)域的發(fā)展
簡述公理方法歷史發(fā)
17、展的各個階段
答:公理方法經(jīng)歷了具體的公理體系、抽象的公理體系和形式化的公理體系三個階段。第一個具體的公理體系就是歐幾里得的《幾何原本》。非歐幾何是抽象的公理體系的典型代表。希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》開創(chuàng)了形式化的公理體系的先河,現(xiàn)代數(shù)學的幾乎所有理論都是用形式公理體系表述出來的,現(xiàn)代科學也盡量采用形式公理法作為研究和表述手段。
在實施數(shù)學思想方法教學時應(yīng)注意哪些問題?p205
答:(1)要把數(shù)學思想方法的學習納入教學目標,并在教案中設(shè)計好數(shù)學思想方法的教學內(nèi)容和教學過程,這就要求教師具備較高的數(shù)學修養(yǎng),具備數(shù)學方法論、數(shù)學發(fā)展史、數(shù)學思想方法的基礎(chǔ)知識,更需要教師更新教學觀念,不斷提高對教
18、學重要性的認識。 (2)重視數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的過程,認真設(shè)計數(shù)學思想方法教學的目標;(3)做好數(shù)學思想方法教學的鋪墊工作和鞏固工作; (4)不同類型的數(shù)學思想方法應(yīng)有不同的教學要求; (5)注意不同數(shù)學思想方法的綜合運用。
簡述計算機在數(shù)學方面的三種新用途。p119.3
答:(1)電子計算機把數(shù)學家從繁重的、單調(diào)的、重復性的腦力勞動中解放出來,讓他們有更多的時間從事更富創(chuàng)造性的抽象思維工作,從而更有利于數(shù)學理論的發(fā)展;
(2)借助電子計算機的計算,人們可以得到一些新的猜想,并據(jù)此進一步作出理論證明;也可以對已有的結(jié)論進行驗證;還可以用計算機來證明某些理論問題;
(3)電子計算機的發(fā)展本身也提出了許多數(shù)學理論問題。
簡述計算工具的發(fā)展。p114-116
答:計算工具的發(fā)展大致經(jīng)歷了:古代的計算工具;機械式計算工具;電動式計算機;機電式計算機;電子計算機。
33.簡述小學數(shù)學加強數(shù)學思想方法教學的重要性,具體表現(xiàn)?p185(p307)
答:(1)數(shù)學思想方法是知識向能力過渡的橋梁; (2)人的數(shù)學智能依賴于數(shù)學思想方法的掌握; (3)數(shù)學思想方法能有效地提高人的思維品質(zhì); (4)數(shù)學思想方法能有效地促進人的全面發(fā)展。