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1、
一、數(shù)值計算，編程完成以下各題（共20分，每小題5分）
1、脈沖寬度為，周期為的矩形脈沖的傅里葉級數(shù)如下式描述：
當，，，繪制出函數(shù)的圖形。
解：
syms n t;
f=((sin(n*pi/4))/(n*pi/4))*cos(2*pi*n*t);
s=symsum(f,n,1,150);
y=(1+2*s)/4;
x=-0.5:0.01:0.5;
Y=subs(y,t,x);
plot(x,Y)
2、畫出函數(shù)在區(qū)間[3, 5]的圖形，求出該函數(shù)在區(qū)間[3, 5]中的最小值點和函數(shù)的最小值.
解：程序如下
x=3:0.05:5;
y=(sin(5*
2、x).^2).*exp(0.05*x.^2)-5*(x.^5).*cos(1.5*x)+1.5*abs(x+5.5)+x.^2.5;
mix_where=find(y==min(y));
xmin=x(mix_where);
hold on;
plot(x,y);
plot(xmin,min(y),go,linewidth,5);
str=strcat((,num2str(xmin),,,num2str(min(y)),));
text(xmin,min(y),str);
Xlabel(x)
Ylabel(f(x))
經過運行后得到的圖像截圖如下：
運行后的最小值點
3、=4.6，= -8337.8625
3、 畫出函數(shù)在[1，3]區(qū)間的圖形，并用編程求解該非線性方程的一個根，設初始點為.
解：
x=1:0.02:3;
x0=2;
y=@(x)(cos(x).^2).*exp(-0.3*x)-2.5*abs(x);
fplot(y,[1,3]);
Xlabel(x)
Ylabel(f(x))
X1=fzero((cos(x).^2).*exp(-0.3*x)-2.5*abs(x),x0)
運行后求得該方程的一個根為z=0.3256。
4、已知非線性方程組如下，編程求方程組的解，設初始點為[1
4、 0.5 -1].
解：%在新建中建立函數(shù)文件fun2_4.m
function f=fun2_4(x)
f=[x(1).^2+x(1)*sqrt(7)+2;x(1)+5*x(3).^2-3;x(2).*x(3)+3];
%非線性方程組求解主程序fxxfcz.m
x0=[1 0.5 -1];
fsolve(@fun2_4,x0)
運行后結果為：
ans =-1.3229 3.2264 -0.9298
即是 x=-1.3229 y=3.2264 z=-0.9298 .
二、控制系統(tǒng)仿真（15分）
某控制系統(tǒng)的開環(huán)
5、傳遞函數(shù)為：，要求：編制一個完整的程序完成以下各小題的要求，所繪制的圖形分別定義為四張圖。
1） 繪制出系統(tǒng)的階躍信號響應曲線（響應時間為）
2） 繪制出系統(tǒng)的脈沖信號響應曲線（響應時間為）
3） 繪制出系統(tǒng)的斜坡信號響應曲線（響應時間為）
4） 繪制出系統(tǒng)的Bode圖（要求頻率范圍為rad/sec）
解：由傳遞函數(shù)知，該傳遞函數(shù)是將其用零極點描述法描述的，將其化為用傳遞函數(shù)表述的形式為：，所以num=[0 1.08 9.72 6],den=[0.3 6.05 1 0]。
%用傳遞函數(shù)編程求解
num=[0 1.08 9.72 6];
den=[0.3
6、6.05 1 0];
sys=tf(num,den);
t1=0:0.1:30;
figure(1)
step(sys) %繪制出系統(tǒng)的階躍信號響應曲線
t2=0:0.1:20;
figure(2)
impulse(sys) %繪制出系統(tǒng)的脈沖信號響應曲線
t3=0:0.1:10;
figure(3)
ramp=t3;
lsim(sys,ramp,t3);%繪制出系統(tǒng)的斜坡信號響應曲線
figure(4)
w=10^(-2):10^2;
bode(sys,w);%
7、繪制出系統(tǒng)的Bode圖
fig(1)系統(tǒng)的階躍信號響應曲線
fig(2)系統(tǒng)的脈沖信號響應曲線
fig(3)系統(tǒng)的斜坡信號響應曲線
fig(4)系統(tǒng)的Bode圖
三、曲線擬合（15分）
已知某型號液力變矩器原始特性參數(shù)，要求用多項式擬合的方法編程完成以下各小題：
1）用二階多項式擬合出曲線；用三階多項式擬合出曲線；用三階多項式擬合出曲線。
2）用不同的顏色和不同的線型，將的原始特性參數(shù)數(shù)據點和二階擬合曲線繪制在同一張圖形中；將的原始特性參數(shù)數(shù)據點和三階擬合曲線繪制在同一張圖形中；將的原始特性參數(shù)數(shù)據
8、點和四階擬合曲線繪制在同一張圖形中。
3）運行程序，寫出曲線的二階擬合公式、曲線的三階擬合公式和曲線的四階擬合公式。
解：
% 曲線擬合（Curve fitting）
disp(Input Data--i; Output Data--k(i),\eta(i),\lambdaB(i):)
x=[0.065,0.098,0.147,0.187,0.243,0.295,0.344,0.398,0.448,0.499];
y1=[2.37,2.32,2.23,2.15,2.05,1.96,1.87,1.78,1.69,1.59];
y2=[0.154,0.227,0.327,0.40
9、3,0.497,0.576,0.644,0.707,0.757,0.795];
y3=[26.775,26.845,27.147,27.549,28.052,28.389,28.645,28.756,28.645,28.243];
figure(1)
pf1=polyfit(x,y1,2)
px1=polyval(pf1,x)
plot(x,px1,k)
grid
xlabel(轉速比i)
ylabel(變矩比K)
title(二階多項式擬合k曲線)
%
pause
figure(2)
pf2=polyfit(x,y2,3)
px2=polyval(pf2,x)
10、
plot(x,px2,b)
grid
xlabel(轉速比i)
ylabel(效率\eta)
title(三階多項式擬合\eta 曲線)
%
pause
figure(3)
pf3=polyfit(x,y3,4)
px3=polyval(pf3,x)
plot(x,px3,-r)
grid
xlabel(轉速比i)
ylabel(泵輪轉矩系數(shù)\lambdaB)
title(四階多項式擬合\lambdaB曲線 )
%
figure(4)
pf1=polyfit(x,y1,2)
px1=polyval(pf1,x)
plot(x,y1,or,x,px1,k
11、)
grid
xlabel(轉速比i)
ylabel(變矩比K)
title(二階多項式擬合k曲線)
Legend(原始數(shù)據,擬合曲線)
%將的原始特性參數(shù)數(shù)據點和二階擬合曲線繪制在同一張圖形中
pause
figure(5)
pf2=polyfit(x,y2,3)
px2=polyval(pf2,x)
plot(x,y2,*m,x,px2,b)
grid
xlabel(轉速比i)
ylabel(效率\eta)
title(三階多項式擬合\eta 曲線)
Legend(原始數(shù)據,擬合曲線,0)
%將的原始特性參數(shù)數(shù)據點和三階擬合曲線繪制在同一張圖形中
pa
12、use
figure(6)
pf3=polyfit(x,y3,4)
px3=polyval(pf3,x)
plot(x,y3,pk,x,px3,-r)
grid
xlabel(轉速比i)
ylabel(泵輪轉矩系數(shù)\lambdaB)
title(四階多項式擬合\lambdaB曲線 )
Legend(原始數(shù)據,擬合曲線,0)
%將的原始特性參數(shù)數(shù)據點和四階擬合曲線繪制在同一張圖形中
y1=poly2str(pf1,x) %曲線的二階擬合公式
y2=poly2str(pf2,x) %曲線的三階擬合公式
y3=poly2str(pf3,x) %曲線的四階擬合公式
13、運行后的結果如下：
運行后的二階，三階，四階擬合曲線函數(shù)為：
y1 = 0.01325 x^2 - 1.8035 x + 2.491
y2 =-0.12713 x^3 - 1.6598 x^2 + 2.4499 x + 0.0025474
y3 =106.7407 x^4 - 199.9852 x^3 + 95.8404 x^2 - 8.7272 x + 26.9754
四、微分方程求解。（25分）
自己選擇確定一個三階微分方程，自己設置初始條件，用ode45方法求微分方程的解。要求:（例如：，，，）
1）仿真時間t=30秒
2）結果繪制在一張圖中，包括曲線，一
14、階曲線，二階曲線，三階曲線
3）用圖例命令分別說明四條曲線為“”，“”，“” ，“”
4）定義橫坐標為“時間”，縱坐標為“輸出”，圖形標題名稱為“微分方程的解”
解：系統(tǒng)方程為 , 這是一個單變量三階常微分方程。將上式寫成一個一階方程組的形式，這是函數(shù)ode45調用規(guī)定的格式。
令：
函數(shù)文件程序：
function ydot=myfun1(t,y)
ydot=[y(2);y(3);1-8*y(1)-2*y(3)-4*y(2)];
主文件程序：
t=[0 30];
y0=[0;1;0];
[
15、tt,yy]=ode45(@myfun1,t,y0);
y=(1-yy(:,3)-2*yy(:,2)-4*yy(:,1))/8;
plot(tt,y,r,tt,yy(:,1),k,tt,yy(:,2),-g,tt,yy(:,3),-.b);
legend(y-t,yˊ-t,yˊˊ-t,yˊˊˊ-t)
title(微分方程的解)
xlabel(時間)
ylabel(輸出)
運行程序后輸出圖形如下：
五、PID設計（25分）
自己選定一個控制系統(tǒng)，（例如：某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為），設計一個PID控制器，使系統(tǒng)響應滿足較快的上升時間和過渡過程時間、較小
16、的超調量、靜態(tài)誤差盡可能小。方法要求：用Ziegler——Nichols方法對三個參數(shù)、、進行整定，并比較PID控制前后的性能，性能的比較要求編程實現(xiàn)（用未加PID控制的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)階躍響應與加PID控制后的閉環(huán)傳遞函數(shù)的階躍響應進行比較）
解：
1) 分析：用Ziegler——Nichols方法是一種經驗方法，關鍵是首先通過根軌跡圖找出Km和ωm，然后利用經驗公式求增益，微分，積分時間常數(shù)。
程序：
ng=400;dg=[1 30 200 0];
rlocus(ng,dg); %畫根軌跡圖
axis([-30 1 -20 20]);grid
[km,pole]=rlocf
17、ind(ng,dg)
wm=imag(pole(2))
kp=0.6*km
kd=kp*pi/(4*wm)
ki=kp*wm/pi
nk=[kd kp ki],dk=[1 0]
pause
nd=conv(nk,ng),dd=conv(dk,dg)
[n1,d1]=feedback(ng,dg,1,1)
[n2,d2]=feedback(nd,dd,1,1);%加PID后的閉環(huán)傳函
figure
step(n1,d1,2)
grid
hold on
pause
step(n2,d2,2)
hold off
在程序中，首先使用rlocus及rlocf
18、ind命令求出系統(tǒng)穿越增益Km=12.2961
和穿越頻率ωm=13.0220rad/s，然后使用Z—N方程求出參數(shù)。
selected_point =-0.4325 +12.9814i
kp =7.3777 kd =0.4450 ki =30.5807
為采用PID控制前后的系統(tǒng)閉環(huán)階躍響應情況比較。
圖6-1系統(tǒng)的根軌跡圖
圖6-2 PID控制前后的系統(tǒng)閉環(huán)階躍響應
三參數(shù)KP，Ki，Kd的整定
利用系統(tǒng)的等幅振蕩曲線的Ziegler——Nichols方法
控制類型
控制器的控制參數(shù)
Kp
Ki
Kd
P
0.5
19、Km
∞
0
PI
0.45Km
0.54Km/Tm
0
PID
0.6Km
1.2Km/Tm
0.072Km/Td
2) PID控制系統(tǒng)的開環(huán)傳函為：
因為式中具有積分項，故如果G(s)是n 型系統(tǒng)，加PID控制后系統(tǒng)變?yōu)閚+1型，可由下式根據給定的穩(wěn)態(tài)誤差指標確定參數(shù)Ki。
,
因為是個I型系統(tǒng)，由于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中有積分項，故為II型系統(tǒng)，假定單位斜坡輸入穩(wěn)態(tài)誤差，則可以計算出Ki。即：
已知系統(tǒng)性能指標為：系統(tǒng)相角裕量PM=80，增益穿越頻率=4rad/s，故利用這兩個參數(shù)來求Kp，Kd。程序如下：
ng=400;dg=[1 30 2
20、00 0];
ki=5;
wgc=4;pm=80;
ngv=polyval(ng,j*wgc);dgv=polyval(dg,j*wgc);
g=ngv/dgv;
thetar=(pm-180)*pi/180;
ejtheta=cos(thetar)+j*sin(thetar);
eqn=(ejtheta/g)+j*(ki/wgc);
x=imag(eqn);
r=real(eqn);
kp=r
kd=x/wgc
if ki~=0
dk=[1 0];nk=[kd kp ki];
else dk=1;nk=[kd kp];
end
pause
nd=con
21、v(nk,ng),dd=conv(dk,dg)
[n1,d1]=feedback(ng,dg,1,1)
[n2,d2]=feedback(nd,dd,1,1) %加PID控制后的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)
pause
[g1m,p1m,wpc1,wgc1]=margin(ng,dg)
[g2m,p2m,wpc2,wgc2]=margin(nd,dd)
%幅值裕度，相角裕度，相頻曲線穿越-180時的頻率，截止頻率
w=logspace(-1,2,200);
pause
figure
bode(ng,dg,w)
grid
hold on
bode(nd,dd,w)
hold off
figure
step(n1,d1,5)
grid
hold on
pause
step(n2,d2,5)
hold off
可以得到:
p2m =80.0044 wgc2 =4.0004（即：系統(tǒng)相角裕量PM=80，增益穿越頻率=4rad/s）
圖6-3 系統(tǒng)Bode圖
圖6-4 閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應
《計算機仿真技術》試題(含完整答案)
