高三數學一輪復習 8.2直線的交點坐標與距離公式課件 .ppt

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第二節(jié) 直線的交點坐標與距離公式,【知識梳理】 1.兩條直線的交點,唯一解,無解,有無數組解,2.三種距離,,【考點自測】 1.(思考)給出下列命題: ①若兩直線的方程組成的方程組有解,則兩直線相交; ②點P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為 ③直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離;,④兩平行線間的距離是一條直線上任一點到另一條直線的距離,也可以看做是兩條直線上各取一點的最短距離. 其中正確的是( ) A.①② B.②④ C.③④ D.①③,【解析】選C.①錯誤,當方程組有唯一解時兩條直線相交,若方程組有無窮多個解,則兩條直線重合. ②錯誤,應用點到直線的距離公式時必須將直線方程化為一般式,即本問題的距離為 ③正確,因為最小值就是由該點向直線所作的垂線段的長,即點到直線的距離. ④正確.兩平行線間的距離是夾在兩平行線間的公垂線段的長,即兩條直線上各取一點的最短距離.,2.點(1,1)到直線x+2y=5的距離為( ) 【解析】選D.因為直線x+2y=5可化為x+2y-5=0, 所以點(1,1)到直線x+2y=5的距離為,3.已知直線l1:3x-4y+4=0與l2:6x-8y-12=0,則直線l1與l2之間的 距離是( ) 【解析】選B.因為直線l1的方程可化為:6x-8y+8=0,且l2的方程 為:6x-8y-12=0,所以兩直線的距離為:,4.(2014·寧波模擬)直線x-2y+1=0關于直線x=1對稱的直線方程是( ) A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0,【解析】選D.方法一:設所求直線上任一點為(x,y),則它關于x=1的對稱點(2-x,y)在直線x-2y+1=0上,所以2-x-2y+1=0,化簡得x+2y-3=0. 方法二:根據直線x-2y+1=0關于直線x=1對稱的直線斜率是互為相反數得答案A或D,再根據兩直線交點在直線x=1上知選D.,5.直線l1過點(-2,0)且傾斜角為30°,直線l2過點(2,0)且與直 線l1垂直,則直線l1與直線l2的交點坐標為 . 【解析】直線l1方程為: 直線l2方程為: l1,l2方程聯(lián)立可得: 答案:,6.已知直線l1與l2:x-2y-2=0平行,且l1與l2的距離是 則直線 l1的方程為 . 【解析】因為直線l1與l2:x-2y-2=0平行,所以可設l1的方程 為:x-2y+c=0(c≠-2),又因為兩直線的距離為 所以 解得 所以直線l1的方程為 答案:,考點1 直線的交點 【典例1】(1)(2014·濱州模擬)當 時,直線l1:kx-y= k-1與直線l2:ky-x=2k的交點在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,(2)求經過直線l1:3x+4y-5=0與直線l2:2x-3y+8=0的交點M,且滿足下列條件的直線方程l. ①與直線l3:-2x+y+5=0平行; ②與直線l4:4x+3y-6=0垂直.,【解題視點】(1)可由兩直線方程,求出交點坐標,再判斷橫、縱坐標的符號即可. (2)可依據條件求出直線的交點,再利用垂直關系或平行關系,求出直線的斜率,進而求出直線的方程;也可以利用過兩直線交點的直線系設出直線方程,再利用垂直關系或平行關系求出參數值,即得直線方程.,【規(guī)范解答】(1)選B.解方程組 得兩直線的交點坐 標為 因為 所以 故交點在第二象限. (2)方法一:由 解得 所以交點M(-1,2). ①因為所求直線與-2x+y+5=0平行,所以可得所求直線斜率為 k=2,所以y-2=2(x+1),即所求的直線方程l為2x-y+4=0.,②因為所求直線與4x+3y-6=0垂直,所以可得所求直線斜率為 所以 即所求直線方程l為3x-4y+11=0. 方法二:由于l過l1,l2的交點,故l是直線系3x+4y-5+λ(2x-3y+8) =0中的一條,將其整理,得(3+2λ)x+(4-3λ)y+(-5+8λ)=0.,①由條件知所求直線斜率為2,即 解得 代入直線系方程即得l的方程為2x-y+4=0. ②由條件知所求直線斜率為 即 解得λ=24. 代入直線系方程得3x-4y+11=0.,【規(guī)律方法】 1.兩直線交點的求法 求兩直線的交點坐標,就是解由兩直線方程組成的方程組,以方程組的解為坐標的點即為交點. 2.常見的四大直線系方程 (1)過定點P(x0,y0)的直線系A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),還可以表示為y-y0=k(x-x0)(斜率不存在時可視為x=x0).,(2)與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C). (3)與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R). (4)過直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2. 提醒:利用平行直線系或垂直直線系求直線方程時,一定要注意系數及符號的變化規(guī)律.,【變式訓練】 1.(2014·紹興模擬)設點A(1,-1),B(0,1),若直線ax+by=1與線段AB(包括端點)有公共點,則a2+b2的最小值為( ),【解析】選C.因為直線ax+by=1與線段AB(包括端點)有公共點,則A,B兩點在直線ax+by=1的異側或至少有一點在直線ax+by=1上,所以(a-b-1)(b-1)≤0. 畫出可行域,如圖: 因此a2+b2的最小值應為原點到 直線a-b-1=0的距離的平方,即,2.(2013·萊蕪模擬)已知線段PQ兩端點的坐標分別為(-1,1), (2,2),若直線l:x+my+m=0與線段PQ有交點,求m的取值范圍. 【解析】方法一:直線x+my+m=0恒過點A(0,-1), 則 或 所以 且m≠0. 又m=0時,直線x+my+m=0與線段PQ有交點, 所以所求m的取值范圍是,方法二:過P,Q兩點的直線方程為 即 代入x+my+m=0, 整理得 由已知 解得 即m的取值范圍是,【加固訓練】 設直線l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實數k1,k2滿足k1k2+2=0. (1)證明l1與l2相交. (2)證明l1與l2的交點在橢圓2x2+y2=1上. 【證明】(1)假設l1與l2不相交,則l1與l2平行,有k1=k2,代入k1k2+2=0,得k12+2=0. 此與k1為實數的事實相矛盾.從而k1≠k2,即l1與l2相交.,(2)方法一:由方程組 得 得交點P的坐標(x,y)為 而 = 此即表明交點在橢圓2x2+y2=1上.,方法二:交點P的坐標(x,y)滿足 顯然x≠0,從而 代入k1k2+2=0, 得 整理得:2x2+y2=1, 所以交點P在橢圓2x2+y2=1上.,考點2 對稱問題 【典例2】(1)平面直角坐標系中直線y=2x+1關于點(1,1)對稱的直線方程是( ) A.y=2x-1 B.y=-2x+1 C.y=-2x+3 D.y=2x-3,(2)(2013·湖南高考)在等腰直角三角形 ABC中,AB=AC=4,點P是邊AB上異于A,B的 一點,光線從點P出發(fā),經BC,CA反射后又 回到原點P(如圖).若光線QR經過△ABC的 重心,則AP等于( ) A.2 B.1 C. D.,【解題視點】(1)可在直線y=2x+1上任取兩點,求出這兩點關于點(1,1)的對稱點坐標,最后求出直線方程. (2)先建立直角坐標系,求直線BC的方程,然后求出點P關于直線BC,AC的對稱點,由題意知這兩點所在直線必過三角形的重心,然后用三點共線完成解答.,【規(guī)范解答】(1)選D.在直線y=2x+1上任取兩個點A(0,1), B(1,3),則點A關于點(1,1)對稱的點M(2,1),B關于點(1,1)對稱 的點N(1,-1).由兩點式求出對稱直線MN的方程 即y=2x-3,故選D.,(2)選D.由題意,以A為原點,AB為x軸,AC 為y軸建立平面直角坐標系,設AP=m,則 P(m,0),A(0,0),B(4,0),C(0,4),直線BC 的方程為x+y=4,則點P關于直線BC的對稱 點P1的坐標為(4,4-m),點P關于直線AC的 對稱點P2的坐標為(-m,0),而三角形ABC的重心為 根據 光學性質知點P1,P2,G三點共線,則 故 解之得 故,【互動探究】在題(1)中“關于點(1,1)對稱”改為“關于直線 x-y=0對稱”,則結果如何? 【解析】在直線y=2x+1上任取兩個點A(0,1),B(1,3),則點A關 于直線x-y=0的對稱點M(1,0),B關于直線x-y=0的對稱點N(3,1). 由兩點式求出對稱直線MN的方程 即x-2y-1=0.,【規(guī)律方法】 1.中心對稱問題的兩個類型及求解方法 (1)點關于點對稱:若點M(x1,y1)及N(x,y)關于P(a,b)對稱,則 由中點坐標公式得 進而求解.,(2)直線關于點的對稱,主要求解方法是: ①在已知直線上取兩點,利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標,再由兩點式求出直線方程; ②求出一個對稱點,再利用兩對稱直線平行,由點斜式得到所求直線方程.,2.軸對稱問題的兩個類型及求解方法 (1)點關于直線的對稱:若兩點P1(x1,y1)與P2(x2,y2)關于直線 l:Ax+By+C=0對稱,由方程組 可得到點P1關于l對稱的點P2的坐標(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2). (2)直線關于直線的對稱:一般轉化為點關于直線的對稱來解決, 有兩種情況:一是已知直線與對稱軸相交;二是已知直線與對稱 軸平行.,常見的點關于特殊直線的對稱點 (1)點P(a,b)關于x軸的對稱點P′(a,-b). (2)點P(a,b)關于y軸的對稱點P′(-a,b). (3)點P(a,b)關于y=x的對稱點P′(b,a). (4)點P(a,b)關于y=-x的對稱點P′(-b,-a). (5)點P(a,b)關于x=m(m≠0)的對稱點P′(2m-a,b). (6)點P(a,b)關于y=n(n≠0)的對稱點P′(a,2n-b).,【變式訓練】 (1)(2014·嘉興模擬)若直線l1:y=k(x-4)與直線l2關于點(2,1)對稱,則直線l2恒過定點( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2),【解析】選B.由于直線l1:y=k(x-4)恒過定點(4,0),其關于點(2,1)對稱的點為(0,2),又由于直線l1:y=k(x-4)與直線l2關于點(2,1)對稱, 所以直線l2恒過定點(0,2),故應選B.,(2)(2014·石家莊模擬)若直線y=ax+8與y=- x+b的圖象關于 直線y=x對稱,則a+b= . 【解析】直線y=ax+8關于y=x對稱的直線方程為x=ay+8,所以 x=ay+8與y=- x+b為同一直線,故得 所以a+b=2. 答案:2,【加固訓練】 (1)已知直線l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直線l2與l1關于l對稱,則l2的方程是( ) A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+2y-1=0,【解析】選B.l1與l2關于l對稱,則l1上任一點關于l的對稱點 都在l2上,故l與l1的交點(1,0)在l2上,又易知(0,-2)為l1上一 點,設其關于l的對稱點為(x,y), 則 得 即(1,0),(-1,-1)為l2上兩點,可得l2方程為 x-2y-1=0.,(2)直線x-2y+1=0關于x=3對稱的直線方程為 . 【解析】設M(x,y)為所求直線上的任意一點,則其關于x=3對稱的點為(6-x,y),從而有6-x-2y+1=0,即x+2y-7=0,所以直線x-2y+1=0關于x=3對稱的直線方程為x+2y-7=0. 答案:x+2y-7=0,考點3 三種距離公式的應用 【考情】兩點間的距離、點到直線的距離、兩平行線間的距離在高考中常有所體現(xiàn),一般是以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),考查兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、兩平行線間的距離公式以及轉化與化歸思想等.,高頻考點 通 關,【典例3】(1)(2014·杭州模擬)已知點A(-1,0),B(cosα, sinα),且|AB|= 則直線AB的方程為( ),(2)(2014·安康模擬)點P到點A(1,0)和直線x=-1的距離相等, 且P到直線y=x的距離等于 這樣的點共有( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 【解題視點】(1)由|AB|可求出點B的坐標,進而得出直線方程. (2)可設P點坐標,利用待定系數法求解.,【規(guī)范解答】(1)選B.因為A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|= 所以 所以, 所以 即直線AB的方程 為 所以AB的方程為,(2)選C.設P(x,y),依題意得: 化簡得: 即 或 解得①有兩組解,②有一組解,所以點P共有3個.,【通關錦囊】,【關注題型】,【通關題組】 1.(2014·寧波模擬)已知A(1,3),B(5,-2),在x軸上有一點P,若|AP|-|BP|最大,則P點坐標為( ) A.(3.4,0) B.(13,0) C.(5,0) D.(-13,0),【解析】選B.作出A點關于x軸的對稱點A′(1,-3), 則A′B所在直線方程為x-4y-13=0. 令y=0得x=13, 所以點P的坐標為(13,0).,2.(2013·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中,設定點A(a,a), P是函數 圖象上一動點,若點P,A之間的最短距離為 則滿足條件的實數a的所有值為 .,【解析】設 由兩點間的距離公式得 令 得 若a≥2,則當t=a時, 解得 或 (舍去); 若a2,則當t=2時,|PA|min2=(2-a)2+a2-2=2a2-4a+2=8, 解得a=-1或a=3(舍去). 答案:-1,,【加固訓練】 1.(2013·金華模擬)已知兩點A(3,2)和B(-1,4)到直線mx+y+3 =0的距離相等,則m的值為( ) A. 0或 B. 或-6 C. 或 D. 0或 【解析】選B.依題意得 所以|3m+5|=|m-7|. 所以3m+5=m-7或3m+5=7-m. 所以m=-6或m= 故應選B.,2.(2014·德州模擬)過點A(1,2)且與原點距離最大的直線方程為( ) A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0 【解析】選A.所求直線與OA垂直,因為kOA=2, 所以所求直線方程為y-2=- (x-1), 即x+2y-5=0.,【巧思妙解9】巧用直線系求直線方程 【典例】(2014·福州模擬)經過直線l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y +1=0的交點,且垂直于直線l3:3x-5y+6=0的直線l的方程為 .,【解析】常規(guī)解法: 先解方程組 得l1,l2的交點(-1,2), 再由l3的斜率為 知l的斜率為 于是由直線的點斜式方程求得l: 即5x+3y-1=0. 答案:5x+3y-1=0,巧妙解法: 方法一：因為l⊥l3， 故l是直線系5x＋3y＋C＝0①中的一條，而l過l1，l2的交點 (－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1， 故l的方程為5x＋3y－1＝0.,方法二：因為l過l1，l2的交點，故l是直線系3x＋2y－1＋ λ(5x＋2y＋1)＝0中的一條，將其整理， 得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0②， 其斜率 解得 代入直線系方程即得l的 方程為5x＋3y－1＝0. 答案：5x＋3y－1＝0,【解法分析】,【小試牛刀】經過直線3x-2y+1=0和直線x+3y+4=0的交點,且平行于直線x-y+4=0的直線方程為 . 【解析】常規(guī)解法:先解方程組 得兩直線的交點(-1,-1). 又因為直線與x-y+4=0平行,故直線的斜率為1. 于是由直線的點斜式方程求得:y-(-1)=x-(-1). 即x-y=0.,巧妙解法:方法一:因為所求直線與直線x-y+4=0平行,所以可設所求直線為x-y+c=0. 又因為該直線過直線3x-2y+1=0與直線x+3y+4=0的交點(-1,-1),所以-1-(-1)+c=0,即c=0, 所以,所求直線方程為x-y=0.,方法二:因為直線經過直線3x-2y+1=0和直線x+3y+4=0的交點, 所以可設直線方程為3x-2y+1+λ(x+3y+4)=0, 即(3+λ)x-(2-3λ)y+1+4λ=0. 又因為所求直線與直線x-y+4=0平行,因此 解得 所以所求直線方程為 即x-y=0. 答案:x-y=0,