三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及記憶方法

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1、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式 目錄 誘導(dǎo)公式的本質(zhì) 常用的誘導(dǎo)公式 其他三角函數(shù)知識(shí) 公式推導(dǎo)過(guò)程同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法 1. 兩角和差公式 2. 二倍角的正弦、余弦和正切公式 3. 半角的正弦、余弦和正切公式 4. 萬(wàn)能公式 5. 三倍角的正弦、余弦和正切公式 6. 三角函數(shù)的和差化積公式 7. 三角函數(shù)的積化和差公式 誘導(dǎo)公式的本質(zhì) 常用的誘導(dǎo)公式 其他三角函數(shù)知識(shí) 公式推導(dǎo)過(guò)程 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 1. 同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法 2. 兩角和差公式 3. 二倍角的正弦、余弦和正切公式

2、 4. 半角的正弦、余弦和正切公式 5. 萬(wàn)能公式 6. 三倍角的正弦、余弦和正切公式 7. 三角函數(shù)的和差化積公式 8. 三角函數(shù)的積化和差公式 誘導(dǎo)公式的本質(zhì) 　　所謂三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，就是將角n(π/2)α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角α的三角函數(shù)。 常用的誘導(dǎo)公式 　　公式一： 設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： 　　sin（2kπ+α）=sinα k∈z 　　cos（2kπ+α）=cosα k∈z 　　tan（2kπ+α）=tanα k∈z 　　cot（2kπ+α）=cotα k∈z 　　sec（2kπ+α）=secα k∈z

3、 　　csc（2kπ+α）=cscα k∈z 　　公式二： 設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： 　　sin（π+α）=－sinα 　　cos（π+α）=－cosα 　　tan（π+α）=tanα 　　cot（π+α）=cotα 　　sec(π+α)=-secα 　　csc(π+α)=-cscα 　　公式三： 任意角α與 -α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： 　　sin（－α）=－sinα 　　cos（－α）=cosα 　　tan（－α）=－tanα 　　cot（－α）=－cotα 　　sec(-α)=secα 　　cs

4、c(-α)=-cscα 　　公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： 　　sin（π－α）=sinα 　　cos（π－α）=－cosα 　　tan（π－α）=－tanα 　　cot（π－α）=－cotα 　　sec(π-α)=-secα 　　csc(π-α)=cscα 　　公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： 　　sin（2π－α）=－sinα 　　cos（2π－α）=cosα 　　tan（2π－α）=－tanα 　　cot（2π－α）=－cotα 　　sec(2π-α)=se

5、cα 　　csc(2π-α)=-cscα 　　公式六： π/2α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： 　　sin（π/2+α）=cosα 　　cos（π/2+α）=－sinα 　　tan（π/2+α）=－cotα 　　cot（π/2+α）=－tanα 　　sec(π/2+α)=-cscα 　　csc(π/2+α)=secα 　　sin（π/2－α）=cosα 　　cos（π/2－α）=sinα 　　tan（π/2－α）=cotα 　　cot（π/2－α）=tanα 　　sec(π/2-α)=cscα 　　csc(π/2-α)=secα 　　推

6、算公式：3π/2α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： 　　sin（3π/2+α）=－cosα 　　cos（3π/2+α）=sinα 　　tan（3π/2+α）=－cotα 　　cot（3π/2+α）=－tanα 　　sec(3π/2+α)=cscα 　　csc(3π/2+α)=-secα 　　sin（3π/2－α）=－cosα 　　cos（3π/2－α）=－sinα 　　tan（3π/2－α）=cotα 　　cot（3π/2－α）=tanα 　　sec(3π/2-α)=-cscα 　　csc(3π/2-α)=-secα[1] 　　誘導(dǎo)公式記憶口訣：

7、“奇變偶不變，符號(hào)看象限”?！? 　　“奇、偶”指的是π/2的倍數(shù)的奇偶，“變與不變”指的是三角函數(shù)的名稱的變化：“變”是指正弦變余弦，正切變余切。（反之亦然成立）“符號(hào)看象限”的含義是：把角α看做銳角，不考慮α角所在象限，看n(π/2)α是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)?！? 　　符號(hào)判斷口訣： 　　“一全正；二正弦；三兩切；四余弦”。這十二字口訣的意思就是說(shuō)： 第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“+”； 第二象限內(nèi)只有正弦是“+”，其余全部是“－”； 第三象限內(nèi)只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”； 第四象限內(nèi)只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 　　“A

8、SCT”反Z。意即為“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照將字母Z反過(guò)來(lái)寫所占的象限對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)為正值。 其他三角函數(shù)知識(shí) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 　　倒數(shù)關(guān)系　 　　tanα cotα=1 　　sinα cscα=1 　　cosα secα=1 　　商的關(guān)系 　　sinα/cosα=tanα=secα/cscα 　　cosα/sinα=cotα=cscα/secα 　　平方關(guān)系 　　sin^2(α)+cos^2(α)=1 　　1+tan^2(α)=sec^2(α) 　　1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角

9、函數(shù)關(guān)系六角形記憶法 　　構(gòu)造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。 　　倒數(shù)關(guān)系 　　對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)； 　　商數(shù)關(guān)系 　　六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積，下面4個(gè)也存在這種關(guān)系。）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。 　　平方關(guān)系 　　在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。 兩角和差公式 　　sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ 　　sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ 　　c

10、os（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ 　　cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ 　　tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα tanβ) 　　tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 　　sin2α=2sinαcosα 　　cos2α=cos^2(α)－sin^2(α)=2cos^2(α)－1=1－2sin^2(α) 　　tan2α=2tanα/(1－tan^2(α)) 半角的正弦、余弦和正切公式 　　sin^2(α/2)=(1－cosα)/2 　　co

11、s^2(α/2)=(1+cosα)/2 　　tan^2(α/2)=(1－cosα)/(1+cosα) 　　tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/1+cosα 萬(wàn)能公式 　　sinα=2tan(α/2)/(1+tan^2(α/2)) 　　cosα=(1－tan^2(α/2))/(1+tan^2(α/2)) 　　tanα=(2tan(α/2))/(1－tan^2(α/2)) 三倍角的正弦、余弦和正切公式 　　sin3α=3sinα－4sin^3(α)　 　　cos3α=4cos^3(α)－3cosα　 　　tan3α=(3tanα－tan^3(

12、α))/(1－3tan^2(α)) 三角函數(shù)的和差化積公式 　　sinα+sinβ=2sin((α+β)/2) cos((α－β)/2) 　　sinα－sinβ=2cos((α+β)/2) sin((α－β)/2) 　　cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)cos((α－β)/2) 　　cosα－cosβ=－2sin((α+β)/2)sin((α－β)/2) 三角函數(shù)的積化和差公式 　　sinαcosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α－β)] 　　cosαsinβ=0.5[sin(α+β)－sin(α－β)] 　　cosαcosβ=0.5[cos(

13、α+β)+cos(α－β)] 　　sinαsinβ=－ 0.5[cos(α+β)－cos(α－β)] 公式推導(dǎo)過(guò)程 　　萬(wàn)能公式推導(dǎo) 　　sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*， 　　（因?yàn)閏os^2(α)+sin^2(α)=1） 　　再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α)) 　　然后用α/2代替α即可。 　　同理可推導(dǎo)余弦的萬(wàn)能公式。正切的萬(wàn)能公式可通過(guò)正弦比余弦得到。 　　三倍角公式推導(dǎo) 　　tan3α=sin3α/cos3α 　　=(

14、sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα) 　　=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα) 　　上下同除以cos^3(α)，得： 　　tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α)) 　　sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα 　　=2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα 　　=2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α)

15、 　　=3sinα－4sin^3(α) 　　cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα 　　=(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α) 　　=2cos^3(α)－cosα+(2cosα－2cos^3(α)) 　　=4cos^3(α)－3cosα 　　即 　　sin3α=3sinα－4sin^3(α) 　　cos3α=4cos^3(α)－3cosα 　　和差化積公式推導(dǎo) 　　首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 　　

16、我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 　　所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 　　同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 　　同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 　　所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 　　所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 　　同理,兩式

17、相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 　　這樣,我們就得到了積化和差的四個(gè)公式: 　　sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 　　cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 　　cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 　　sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 　　好,有了積化和差的四個(gè)公式以后,我們只需一個(gè)變形,就可以得到和差化積的四個(gè)公式. 　　我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 　　把a(bǔ),b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式: 　　sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) 　　sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) 　　cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) 　　cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)