直線與雙曲線位置關(guān)系典例精析

直線和雙曲線的位置關(guān)系 一、要點(diǎn)精講 1．直線和雙曲線的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離. 2．弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線交雙曲線于，， 則， 或． 二、基礎(chǔ)自測(cè) 1．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（ ） (A) 4條 (B) 3條 (C) 2條 (D) 1條 2．直線y= kx與雙曲線不可能（ ） （A）相交 （B）只有一個(gè)交點(diǎn) （C）相離 （D）有兩個(gè)公共點(diǎn) 3．過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與雙曲線的實(shí)軸垂直的弦叫做雙曲線的通徑，則雙曲線的通徑長(zhǎng)是 (A) (B) (C) (D) 4．若一直線平行于雙曲線的一條漸近線，則與雙曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ． 解：與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，應(yīng)注意直線與雙曲線不是相切 5．經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為2的直線被雙曲線截得的線段的長(zhǎng)是 ． 6．直線在雙曲線上截得的弦長(zhǎng)為4，且的斜率為2，求直線的方程． 三、典例精析 題型一：直線與雙曲線的位置關(guān)系 1. 如果直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，求的取值范圍．有兩個(gè)公共點(diǎn)呢？ 解，所以△=， 所以，，故選D. 2．(2010安徽)若直線y＝kx＋2與雙曲線x2－y2＝6的右支交于不同的兩點(diǎn)，則k的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 解：由得(1－k2)x2－4kx－10＝0，∴，解得－<k<－1. 3、過(guò)點(diǎn)與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條，分別求出它們的方程。 題型二：直線與雙曲線的相交弦問(wèn)題 4. 過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，作傾斜角為的弦，求⑴；⑵的周長(zhǎng)（為雙曲線的右焦點(diǎn)）。 5. 已知雙曲線方程為，求以定點(diǎn)A(2,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程． 解圓錐曲線與直線相交所得的中點(diǎn)弦問(wèn)題，一般不求直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，而是利用根與系數(shù)的關(guān)系或“平方差法”求解．此時(shí)，若已知點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部，則中點(diǎn)弦一定存在，所求出的直線可不檢驗(yàn)，若已知點(diǎn)在雙曲線的外部，中點(diǎn)弦可能存在，也可能不存在，因而對(duì)所求直線必須進(jìn)行檢驗(yàn)，以免增解，若用待定系數(shù)法時(shí)，只需求出k值對(duì)判別式△>0進(jìn)行驗(yàn)證即可． 6. 雙曲線方程為. 問(wèn)：以定點(diǎn)B(1,1)為中點(diǎn)的弦存在嗎？若存在，求出其所在直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 7、已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸上，離心率為的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) （Ⅰ）求雙曲線的方程； （Ⅱ）動(dòng)直線經(jīng)過(guò)的重心，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線使平分線段。試證明你的結(jié)論。 題型三： 求雙曲線方程 8. 已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線上一點(diǎn)，到雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別為4和8，直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 9、設(shè)雙曲線與直線相交于不同的點(diǎn)A、B. ⑴求雙曲線的離心率的取值范圍； ⑵設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，且，求的值。 解：(1)將y＝－x＋1代入雙曲線－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0 ① 由題設(shè)條件知， ，解得0<a<且a≠1， 又雙曲線的離心率e＝＝， ∵0<a<且a≠1，∴e>且e≠. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)． ∵＝， ∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．∴x1＝x2， ∵x1、x2是方程①的兩根，且1－a2≠0， ∴x2＝－，x＝－， 消去x2得，－＝， ∵a>0，∴a＝. 10. 已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，過(guò)且斜率為的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，若 (其中為原點(diǎn)），，求雙曲線方程。 11. 雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)垂直于的直線分別交于兩點(diǎn)．已知成等差數(shù)列，且與同向． （Ⅰ）求雙曲線的離心率； （Ⅱ）設(shè)被雙曲線所截得的線段的長(zhǎng)為4，求雙曲線的方程． 解：（Ⅰ）設(shè)，， 由勾股定理可得： 得：，， 由倍角公式，解得,則離心率． （Ⅱ）過(guò)直線方程為,與雙曲線方程聯(lián)立，將，代入， 化簡(jiǎn)有 將數(shù)值代入，有, 解得 故所求的雙曲線方程為。 12、已知雙曲線－＝1(b>a>0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e＝2，點(diǎn)M(，)在雙曲線上． (1) 求雙曲線的方程；(2) 若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且.求＋的值． 解： (1)∵e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，雙曲線方程為－＝1，即3x2－y2＝3a2. ∵點(diǎn)M(，)在雙曲線上，∴15－3＝3a2.∴a2＝4. ∴所求雙曲線的方程為－＝1. (2)設(shè)直線OP的方程為y＝kx(k≠0)，聯(lián)立－＝1，得 ∴|OP|2＝x2＋y2＝. 則OQ的方程為y＝－x， 同理有|OQ|2＝＝， ∴＋＝＝＝. 13．(2012上海)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C1：2x2－y2＝1. (1)過(guò)C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積； (2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點(diǎn)．若l與圓x2＋y2＝1相切，求證：OP⊥OQ； (3)設(shè)橢圓C2：4x2＋y2＝1.若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值． 解：(1)雙曲線C1：，左頂點(diǎn)A，漸近線方程為：y＝x. 過(guò)點(diǎn)A與漸近線y＝x平行的直線方程為，即y＝x＋1. 解方程組，得. ∴所求三角形的面積為S＝|OA||y|＝. (2)證明：設(shè)直線PQ的方程是y＝x＋b，∵直線PQ與已知圓相切，∴＝1，即b2＝2. 由得x2－2bx－b2－1＝0. 設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則 又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)， ∴＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0. 故OP⊥OQ. (3)證明：當(dāng)直線ON垂直于x軸時(shí)，|ON|＝1，|OM|＝，則O到直線MN的距離為. 當(dāng)直線ON不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線ON的方程為y＝kx(顯然)， 則直線OM的方程為y＝－x. 由得 ∴|ON|2＝.同理|OM|2＝. 設(shè)O到直線MN的距離為d. ∵(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2， ∴＝＋＝＝3，即d＝. 綜上，O到直線MN的距離是定值． 五、能力提升 1．若不論k為何值，直線y=k(x-2)+b與雙曲線總有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（ ） (A) (B) (C) (D) 2．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則這樣的直線有（ ） (A)1條 (B)2條 (C)3條 (D)4條 3．過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且這個(gè)公共點(diǎn)恰是雙曲線的左頂點(diǎn)，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)等于（ ） (A)2 (B)4 (C) 1或2 (D) 2或4 4. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（ ） (A) (1，2] (B)（1，2) (C) [2，+∞) (D) (2，+∞) 6．直線與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn)，則k的取值范圍是 ． 7. 已知傾斜角為的直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)，求直線的方程． 8. 設(shè)直線與雙曲線于相交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為． (1)求的值；(2)求雙曲線離心率． 9. 已知雙曲線的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、，左準(zhǔn)線為，能否在雙曲線的左支上找到一點(diǎn)P，使得是P到的距離與的等比中項(xiàng)？