高中數學 2.3第2課時空間向量運算的坐標表示課件 北師大版選修2-1.ppt
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成才之路 · 數學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 選修2-1,空間向量與立體幾何,第二章,2.3 向量的坐標表示和空間向量基本定理 第2課時 空間向量運算的坐標表示,第二章,1.空間向量坐標運算的法則 若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則 a+b=__________________________; a-b=__________________________ ; λa=__________________________ ; 空間向量平行的坐標表示為a∥b(b≠0)?x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).,(x1+x2,y1+y2,z1+z2),(x1-x2,y1-y2,z1-z2),(λx1,λy1,λz1)(λ∈R),(x2-x1,y2-y1,z2-z1),x1x2+y1y2+z1z2,對應坐標的乘積之和,x1x2+y1y2+z1z2=0,1.設{i,j,k}為單位正交基底,即i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1),在此基底下,a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),即a=a1i+a2j+a3k,b=b1i+b2j+b3k,根據向量線性運算與數量積運算的定義及運算律,可得出a±b,λa,a·b,a⊥b,a∥b,|a|及cos〈a,b〉的坐標表示.,,2.空間向量的坐標運算類似于平面向量的坐標運算,牢記運算公式是應用的關鍵.這些公式為我們用向量的知識解決立體幾何問題提供了有力的工具. 3.運用空間向量解決立體幾何問題,先要考察原圖形是否方便建立直角坐標系,將問題中涉及的點、線(向量)、面(向量的線性組合)用坐標表示,如果容易表示則先建系,將點用坐標表示出來,然后,利用垂直、平行、共面的條件通過向量運算推證有關結論,利用向量的模、向量夾角的計算公式來求線段長度及角,最后將計算的結果轉化為幾何結論;當圖形中的點不方便用坐標表示時,可直接設出向量的基底,將各條件、結論中涉及的向量表示為基底的線性組合,再運用向量線性運算及數量積運算的規(guī)則進行推理、計算最后轉化為相應幾何結論.,4.若a·b=0,則a⊥b;若a=λb(b≠0,λ∈R),則a∥B. 解兩直線垂直或平行的問題,或利用向量證明立體幾何的問題,應先將幾何中的相關量用向量的形式表示,或建立空間直角坐標系,求出相關點的坐標,再利用向量運算求解.,已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4).求: (1)a+b; (2)a-b; (3)2a·(-b); (4)(a+b)·(a-b). [分析] 利用空間向量的運算法則坐標形式求解.,向量運算的坐標表示,[解析] (1)a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4) =(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2). (2)a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4) =(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6). (3)(2a)·(-b)=(4,-2,-4)·(0,1,-4) =4×0+(-2)×1+(-4)(-4)=14. (4)(a+b)·(a-b)=a2-b2 =4+1+4-(0+1+16)=-8. [總結反思] 進行運算時可以適當地選擇求解方法,如計算(a+b)·(a-b),可以先求a+b與a-b,再點乘,也可以用公式寫出a2-b2=|a|2-|b|2然后計算.,已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求3a+2b,a·B. [分析] 空間向量的加、減、數乘運算與平面向量的加、減、數乘運算方法類似,向量的數量積等于它們對應坐標乘積的和.,[解析] 因為a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4), 所以3a+2b=3(2,-1,-2)+2(0,-1,4)=(3×2,3×(-1),3×(-2))+(2×0,2×(-1),2×4)=(6,-3,-6)+(0,-2,8)=(6,-5,2). a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=0+1-8=-7. [總結反思] 空間向量的加、減、數乘、數量積運算是今后利用向量知識解決立體幾何知識的基礎,必須熟練掌握,并且能夠靈活地應用.,空間向量的垂直與平行的判斷,[總結反思] 已知兩個空間向量的坐標,當這兩個向量平行或垂直時,就可以根據a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0,a∥b?a1=xb1,a2=xb2,a3=xb3(x∈R)進行求解.其中,a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).,設a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),若(ka+b)∥(a-3b),則k=________________. [分析] 由向量線性運算的坐標表示可求出ka+b,a-3b,再由向量共線的坐標表示可求出k.,[分析] (1)向量的模(大小)的公式是什么? (2)計算兩個向量的夾角或其余弦值,要先計算哪些量?,數量積的應用,,[總結反思] 1.空間兩點間的距離(線段長度)的求法 空間兩點可以確定一個向量,通過求向量的?;蚋鶕牲c間的距離公式求出兩點間的距離. 2.關于兩直線夾角的求法 (1)通過建立空間直角坐標系,求出兩直線的方向向量的坐標,然后計算兩直線的方向向量的夾角. (2)空間兩條直線夾角的范圍與向量夾角的范圍不同,當所求兩向量夾角為鈍角時,則兩直線夾角是與此鈍角互補的銳角.,,[總結反思] 此類問題考查了空間向量的運算,考查了轉化與化歸的思想.值得注意的是:①要建立合適的坐標系,使運算簡便;②要在運算時別出錯.,綜合應用,[總結反思] 解題時要根據題設中關于x的方程有實根,得到t的取值范圍為3≤t≤4,而不是t∈R.,如圖,在矩形ABCD中,AB=1,AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=1,問:在BC邊上是否存在點Q,使得PQ⊥QD?說明理由.,,[分析] 可建立空間直角坐標系,轉化為空間向量來求解.,,[總結反思] 兩向量平行或兩向量同向不是等價的,同向是平行的一種情況,兩向量同向能推出兩向量平行,但反過來不成立,也就是說,“兩向量同向”是“兩向量平行”的充分不必要條件.錯解就忽視了這一點.,- 配套講稿:
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