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1、兩點(diǎn)邊值問題地有限差分法偏微分方程數(shù)值解課程實(shí)驗(yàn)報(bào)告
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兩點(diǎn)邊值問題地有限差分法偏微分方程數(shù)值解課程實(shí)驗(yàn)報(bào)告
學(xué)
生
實(shí)
驗(yàn)
報(bào)
告
實(shí)驗(yàn)課程名稱
偏微分方程數(shù)值解
開課實(shí)驗(yàn)室
數(shù)統(tǒng)學(xué)院
學(xué)
院
數(shù)統(tǒng)
年級
2013 專業(yè)班
信計(jì) 2 2 班
學(xué)
生
姓
名
學(xué)
號
開
2、
課
時(shí)
間
2015 至
2016 學(xué)年第
2
學(xué)期
總
成
績
教師簽名
數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院制
開課學(xué)院、實(shí)驗(yàn)室：
數(shù)統(tǒng)學(xué)院
實(shí)驗(yàn)時(shí)間
：
6 2016 年
月
日
實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目
名
稱
兩點(diǎn)邊值問題的有限差分法
實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目類型
驗(yàn)證
演示
綜合
設(shè)計(jì)
其
3、他
指導(dǎo)教師
曾芳
成
績
是
一．實(shí)驗(yàn)?zāi)康?
通過該實(shí)驗(yàn)，要求學(xué)生掌握求解兩點(diǎn)問題的有限差分法，并能通過計(jì)算機(jī)語言編程實(shí)現(xiàn)。
二．實(shí)驗(yàn)容
考慮如下的初值問題：
( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) , ,du x du x dLu p x r x q x u x f x x a bdx dx dx - + + =
(1) ( ) ( ) , u a u b a b = =
(2) 其中 ( ) [ ]1, p x C a
4、b ， ( ) ( ) ( ) [ ] , , , r x q x f x C a b ， ( )min0 p x p > ， ( ) 0 q x ， , a b 是給定常數(shù)。
將區(qū)間 N 等分，設(shè)b ahN-= ，網(wǎng)點(diǎn) , 0,1,...,ix a ih i N = + = 。
1．在第三部分寫出問題（1）和（2）的差分格式，并給出該格式的局部截?cái)嗾`差。
2．根據(jù)你寫出的差分格式，編寫一個(gè)有限差分法程序。將所寫程序放到第四部分。
3．給定參數(shù) 0, 1 a b = = ， 3, 1, 2 p r q = = = ， 0 a = ， 1
5、b = ，問題(1)的精確解 ( )2 1 -=xu x x e ，其 中 將 ( )2 1 -=xu x x e 及 1, 2, 3 = = = p r q 帶 入 方 程 (1) 可 得 ( ) f x 。
分 別 取10,20,40,80,160 N = ，用所編寫的程序計(jì)算問題(1)和(2)。將數(shù)值解記為iu ，1,..., 1 i N = - ，網(wǎng)點(diǎn)處精確解記為 [ ] i u ， 1,..., 1 i N = - 。然后計(jì)算相應(yīng)的誤差
[ ]0maxNiici Ne u u< <= - ， [ ]1201NNiiie h u u-== -及收斂階( )2ln
6、ln2N Ne e，將計(jì)算結(jié)果填入第五部分的表格，并對表格中的結(jié)果進(jìn)行解釋？ 4.將數(shù)值解和精確解畫圖顯示，每種網(wǎng)格上的解畫在一圖。
三．實(shí)驗(yàn)原理、方法（算法）、步驟
1.差分格式：
錯(cuò)誤!未找到引用源。= =- - 1/h^2(錯(cuò)誤!未找到引用源。- -( (錯(cuò)誤!未找到引用源。) )錯(cuò)誤!未找到引用源。+ +錯(cuò)誤!未找到引用源。
)+錯(cuò)誤!未找到引用源。( (錯(cuò)誤!未找到引用源。
)/2h+錯(cuò)誤!未找到引用源。= =錯(cuò)誤!未找到引用源。
錯(cuò)誤!未找到引用源。
A,錯(cuò)誤!未找到引用源。
2.局部
7、階段誤差：
錯(cuò)誤!未找到引用源。
(u)=O(h^2)
3.程序
clear all
N=10;
a=0;b=1;
p=(x) 1;
r=(x) 2;
q=(x) 3;
alpha=0;beta=1;
f=(x) (4*x^2-2)*exp(x-1);
h=(b-a)/N;
H=zeros(N-1,N-1);g=zeros(N-1,1); %
for i=1
H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+
8、(i-1/2)*h))/h+2*h*q(a+i*h);
H(i,i+1)=-(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h));
g(i)=2*h*f(a+i*h)+(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h))*alpha;
end
for i=2:N-2
H(i,i-1)=-(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h));
H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1/2)*h))/h+2*h*q(a+i*h);
H(i,i+1)=-(2*p(a+(i
9、+1/2)*h)/h-r(a+i*h));
g(i)=2*h*f(a+i*h);
end
for i=N-1
H(i,i-1)=-(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h));
H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1/2)*h))/h+2*h*q(a+i*h);
g(i)=2*h*f(a+i*h)+(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h))*beta;
end
u=H\g;
u=[alpha;u;beta];
x=a
10、:h:b;
y=(x.^2).*exp(x-1);
plot(x,u);
hold on
plot(x,y);
y=y"
z=y-u
四．實(shí)驗(yàn)環(huán)境（所用軟件、硬件等）及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)文件
Matlab
五．實(shí)驗(yàn)結(jié)果及實(shí)例分析
N Nce
收斂階 0Ne
收斂階 10 0.00104256 …… 0.00073524 …… 20 0.00026168 1.9341 0.00018348 1.4530 40 0.00006541 2.0001 0.000045
11、85 2.0000 80 0.00001636 1.9993 0.00001146 2.0000 160 0.00000409 2.0000 0.00000287 2.0000
N N 越大
只會使絕對誤差變小，方法沒變，所以收斂階一致。
圖示為：( ( 綠線為解析解，藍(lán)線為計(jì)算解) )
N=10
N=20
N=40
N=80
N=160
教師簽名
年
月
日
兩點(diǎn)邊值問題地有限差分法偏微分方程數(shù)值解課程實(shí)驗(yàn)報(bào)告
