考研數(shù)學模擬試題(數(shù)學一)

考研數(shù)學模擬試題(數(shù)學一) 參照答案 一、選擇題(本題共８小題，每題4分,滿分3２分,每題給出的四個選項中,只有一項符合題目規(guī)定,把所選項的字母填在題后的括號內(nèi)） 1．設在內(nèi)是可導的奇函數(shù),則下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（）. （A）（Ｂ）(C)（D) 解 　選擇B. 由題設知，為偶函數(shù),故為奇函數(shù). 2.設 則是的（). （A)可去間斷點（B)跳躍間斷點(Ｃ）第二類間斷點（D）持續(xù)點 解　 選擇B. ，，故是的跳躍間斷點. 3.若函數(shù)與在內(nèi)可導，且，則必有(）. （A）　　 (B) （Ｃ) (D） 解　　選擇C． 由函數(shù)與在內(nèi)可導知， 與在內(nèi)持續(xù)，，，而，故. ４.已知級數(shù)和分別收斂于，則級數(shù)(）．【C】 (Ａ)不一定收斂 　　 (B) 必收斂，和為 (C)必收斂，和為 (D） 必收斂,和為 解 選擇D． 由級數(shù)收斂知,， 設， 的前項和分別為,則, ， 故，, 因此，級數(shù)收斂，和為. 5.設矩陣與相似，則（）． (A)3 (B) ４　 （C） 5 (D) 6 解　　選擇A. 矩陣與相似,則與相似， 故. 6.設3階方陣的特性值是,它們所相應的特性向量依次為,令,則（）. (Ａ）（B) (C）(D) 解 　由于分別為的相應特性值的特性向量,故． 7. 設隨機變量服從上的均勻分布,則與（)． (A）不有關 　 　?。˙）有關 　 （C)獨立 　（Ｄ）有關且不獨立 解　 選擇A. 經(jīng)計算得,,． 8. 設是取自正態(tài)總體一種簡樸隨機樣本,則下列結(jié)論中錯誤的是（).　 (A)（B)(C）(Ｄ） 解 　選擇D. 由一種正態(tài)總體的抽樣分布知A，B,C都對的,，但是它們不獨立,不能推出. 二、填空題(本題共６小題,每題４分,滿分２４分,把答案填在題中橫線上） 9.設函數(shù)具有持續(xù)偏導數(shù)，且，,則 　. 解　 答案為.　方程兩邊對求導,得 ， 令，得，故. 10.微分方程的通解為　 　 . 解 答案為.　 . 11.設，則 　 ． 解 　答案為. 12.設為錐面外側(cè),則 ． 解　 答案為. 有關面反向?qū)ΨQ,有關為偶函數(shù)，故　. 13.設為階矩陣，其隨著矩陣的元素全為1，則齊次方程組的通解為 . 解 答案為，為任意常數(shù).　由題設知，，，且，故的列向量是的基本解系. 14.設隨機變量與互相獨立,且都服從正態(tài)分布,則 　 　　.解 　答案為. . 三、解答題(本題共9小題,滿分9４分。解答應寫出文字闡明、證明過程或演算環(huán)節(jié)） 1５. （本題滿分9分）設，而是由方程所擬定的隱函數(shù),其中具有持續(xù)偏導數(shù),而具有持續(xù)導數(shù)，求. 解 　取全微分,， 故. 1６. （本題滿分１0分) 設在上持續(xù),且． ⑴求;⑵ 設,求級數(shù)的和． 解　　⑴令，則， 故，即, 上式兩邊對求導,得， 即. ⑵ ，級數(shù)， . 17.?。ū绢}滿分1０分)設球體的各點密度與坐標原點到該點的距離成反比(比例系數(shù))，求球體的質(zhì)量及球體繞軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量. 解 　由題設知，球體上任一點的密度， 球體的質(zhì)量 . 轉(zhuǎn)動慣量 . １8. (本題滿分11分）設函數(shù)在上持續(xù),在內(nèi)可導,且，證明：存在，使得． 證 　令，則, 由積分中值定理知,存在,使得 ,即, 由羅爾定理知,存在，使得,即，即. 19. (本題滿分10分） （數(shù)學一）證明:在右半平面上，曲線積分與途徑無關，并求一種二元函數(shù)，使得． 證 　, ， ， 在右半平面上,，故曲線積分與途徑無關. 解 所求函數(shù)， 取積分途徑為到，再到的折線段,則 . 20.?。ū绢}滿分１1分） 設二維隨機向量聯(lián)合概率密度為 求⑴條件概率密度;⑵概率密度. 解 畫出聯(lián)合概率密度的非零區(qū)域. ⑴有關的邊沿密度 條件概率密度 ⑵的取值范疇為 當時，, 當時， ２1.(本題滿分11分) 設是取自總體一種簡樸隨機樣本,的概率密度為 ， ⑴求未知參數(shù)的矩估計量； ⑵求未知參數(shù)的最大似然估計量. 解 ⑴，令， 因此的矩估計為． ⑵似然函數(shù), ，解得,, 因此的最大似然估計為. ２2.(11分)已知兩個向量組與． ⑴為什么值時，兩個向量組等價? ⑵兩個向量組等價時,求出它們之間的線性表達式. 解 ⑴對矩陣作初等行變換，得 , 當時，，,可由線性表達，且, ，　可由線性表達，即兩個向量組等價. ⑵兩個向量組等價時， , 故，. ２3．（1１分)已知二維向量不是二階方陣的特性向量. ⑴證明線性無關； ⑵若，求的所有特性值,并判斷能否與對角矩陣相似. ⑴證　　設,則,否則，是的特性向量,與題設矛盾，將代入，得，又,故,因此線性無關; ⑵解 　 或者， ，又,故有一種特性值為,從而有一種特性值為，同理,有一種特性值為,從而有一種特性值為，故的特性值為和. 由于二階方陣有兩個不同的特性值,故能與對角矩陣相似.