（江蘇專用）2020高考數(shù)學二輪復習 綜合仿真練（一） 理

綜合仿真練(一)(理獨) 1．本題包括A、B、C三個小題，請任選二個作答 A．[選修4－2：矩陣與變換] (2019江蘇高考)已知矩陣A＝. (1)求A2； (2)求矩陣A的特征值． 解：(1)因為A＝， 所以A2＝ ＝＝. (2)矩陣A的特征多項式為 f(λ)＝＝λ2－5λ＋4. 令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝4. B．[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程] 在極坐標系中，已知圓C的圓心在極軸上，且過極點和點，求圓C的極坐標方程． 解：法一：因為圓心C在極軸上且過極點， 所以設圓C的極坐標方程為ρ＝acos θ， 又因為點在圓C上， 所以3＝acos ，解得a＝6. 所以圓C的極坐標方程為ρ＝6cos θ. 法二：點的直角坐標為(3,3)， 因為圓C過點(0,0)，(3,3)， 所以圓心C在直線為x＋y－3＝0上． 又圓心C在極軸上， 所以圓C的直角坐標方程為(x－3)2＋y2＝9. 所以圓C的極坐標方程為ρ＝6cos θ. C．[選修4－5：不等式選講] (2019南通等七市一模)柯西不等式 已知實數(shù)a，b，c滿足a2＋b2＋c2≤1，求證：＋＋≥. 證明：由柯西不等式，得[(a2＋1)＋(b2＋1)＋(c2＋1)]≥＋＋2＝9， 所以＋＋≥≥＝. 2．(2019揚州期末)已知直線x＝－2上有一動點Q，過點Q作直線l1垂直于y軸，動點P在l1上，且滿足＝0(O為坐標原點)，記點P的軌跡為C. (1)求曲線C的方程； (2)已知定點M，N，A為曲線C上一點，直線AM交曲線C于另一點B，且點A在線段MB上，直線AN交曲線C于另一點D，求△MBD的內(nèi)切圓半徑r的取值范圍． 解：(1)設點P(x，y)，則Q(－2，y)，∴＝(x，y)，＝(－2，y)， ∵＝0，∴＝－2x＋y2＝0，即y2＝2x. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，直線BD與x軸的交點為E，△MBD內(nèi)切圓與MB的切點為T. 設直線AM的方程為y＝k，聯(lián)立方程，得得k2x2＋(k2－2)x＋＝0，Δ＝4－4k2>0， ∴x1,2＝， ∴x1x2＝且0<x1<x2，∴x1<<x2， ∴直線AN的方程為y＝， 與方程y2＝2x聯(lián)立并整理得yx2－y＋2x－2x1＋x＋y＝0， 化簡得2x1x2－x＋x1＝0， 解得x＝或x＝x1，∴x3＝＝x2， ∴直線BD⊥x軸， 設△MBD的內(nèi)切圓圓心為H，連接HT，則H在x軸上且HT⊥AB. 法一：∴S△MBD＝|2y2|， 且△MBD的周長為2＋2|y2|， ∴S△MBD＝r＝|2y2|， ∴r＝ ＝ ＝. 令t＝x2＋，則t>1， ∴r＝在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， 則r>，即r的取值范圍為(－1，＋∞)． 法二：∴H(x2－r,0)，直線BD的方程為x＝x2， 直線AM的方程為y＝， 即y2x－y＋y2＝0，且點H與點O在直線AB的同側(cè)， 不妨設點B在x軸上方， ∴r＝＝，解得r＝＝. 令t＝x2＋，則t>1， ∴r＝在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， 則r>，即r的取值范圍為(－1，＋∞)． 法三：∴△MTH∽△MEB，∴＝，即＝， 解得r＝ ＝＝. 令t＝x2＋，則t>1， ∴r＝在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， 則r>，即r的取值范圍為(－1，＋∞)． 3．一條直路上依次有2n＋1棵樹，分別為T1，T2，…，T2n＋1(n為給定的正整數(shù))，一個醉漢從中間位置的樹Tn＋1出發(fā)，并按以下規(guī)律在這些樹之間隨機游走n分鐘：當他某一分鐘末在樹Ti(2≤i≤2n)位置時，下一分鐘末他分別有，，的概率到達Ti－1，Ti，Ti＋1的位置． (1)求該醉漢第n分鐘末處在樹Ti(1≤i≤2n＋1)位置的概率； (2)設相鄰2棵樹之間的距離為1個單位長度，試求該醉漢第n分鐘末所在位置與起始位置(即樹Tn＋1)之間的距離的數(shù)學期望(用關(guān)于n的最簡形式表示)． 解：(1)不妨假設2n＋1棵樹T1，T2，…，T2n＋1從左向右排列，每2棵樹的間距為1個單位長度． 因為該醉漢下一分鐘末分別有，，的概率到達Ti－1，Ti，Ti＋1的位置， 所以該醉漢將以的概率向左或向右走． 我們規(guī)定，事件“以的概率向左或向右走0.5個單位長度”為一次“隨機游走”， 故原問題等價于求該醉漢從樹Tn＋1位置出發(fā)，經(jīng)過2n次隨機游走后處在樹Ti位置的概率為Pi. 對某個i(1≤i≤2n＋1)，設從Tn＋1出發(fā)，經(jīng)過2n次隨機游走到達Ti的全過程中，向右走0.5個單位長度和向左走0.5個單位長度分別有k次和2n－k次， 則n＋1＋＝i，解得k＝i－1，即在2n次中有i－1次向右游走，2n－(i－1)次向左游走，而這樣的情形共C種，故所求的概率Pi＝(1≤i≤2n＋1)． (2)對i＝1,2，…，2n＋1，樹Ti與Tn＋1相距|n＋1－i|個單位長度，而該醉漢到樹Ti的概率為Pi，故所求的數(shù)學期望E＝n＋1－i|. 而n＋1－i|C＝n－j|C ＝2(n－j)C＝2C－2C ＝2n－2nC ＝2n(C＋)－4n ＝n(C＋22n)－4n ＝n(C＋22n)－2n22n－1＝nC， 因此E＝. 5