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1、1 課 堂 練習(xí) 如何定義加 減法運算 思考 2 引入 有關(guān)概念 本課小結(jié) 空間向量及其運算 ( 一 ) 2008-11-03 2 這 是 什么 ? 空間向量及其運算 ( 一 ) 向量 如 : 力、位移等 . O A B C 正東 正北 向上 如圖 : 已知 OA=6 米 , AB =6 米 ,BC=3 米 , 那么 OC= ? 問題 1 : 再 比 如 課本 90P 問題 3 已知 F1=2000N, F2=2000N, F1 F2 F3 F3=2000N, 空間量的概念 問題 2 : 課本 90P 問題 這三個力兩兩之間 的夾角都為 60度 , 它們的合力的大小 為多少 N? 這需要進一步
2、來認識空間中的向量 4 一、空間向量的有關(guān)概念： 空間向量： 在空間中 , 具有大小和方向的量 . 空間向量及其運算 ( 一 ) 常用 、 、a b c 等 小寫字母 來表示 . a b c 1. 向量 a 的大小叫做 向量的長度或模 , 記為 a . 2. 可用一條 有向線段 AB 來表示 向量 , 向量 AB 的模又記為 AB 就是線段 AB 的長度 . A B 起點 終點 類似于平面向量 , 為了研究的 方便起見 , 我們規(guī)定 : 零向量 、 單位向量 、 相等向量 、 相反向量 、 平行 向量 、 共面向量 等概念。（ 你認為應(yīng) 該 怎 樣 規(guī) 定 ? ） 5 空間向量的加減法運算 平
3、面向量 空間向量 概念 定義 : 具有大小、方向的量 , 表示法、相等向量 . 加法 減法 運算 加法 : 三角形法則或 平行四邊形法則 減法 : 三角形法則 運 算 律 加法交換律 a b b a 加法結(jié)合律 : ( ) ( )a b c a b c 平面向量加減法 空間向量加減法 a b b a 加法交換律 加法 :三角形法則或 平行四邊形法則 減法 :三角形法則 加法結(jié)合律 ( ) ( )a b c a b c 成立嗎？ 6 平面向量的加法、減法運算圖示意義 : 向量加法的三角形法則 a b 向量加法的平行四邊形法則 b a 向量減法的三角形法則 a b 減向量 終點指向被減向量 終點
4、7 推廣 : （ 1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起點指向末尾向量的終點的向量； 1 2 2 3 3 4 1 1n n nA A A A A A A A A A （ 2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖 形，則它們的和為零向量。 1 2 2 3 3 4 1 0nA A A A A A A A 返回 8 a b a b + O A B C O B O A A B C A O A O C 空間向量的加減法 9 a b O A B b a 結(jié)論：空間任意兩個向量都是共面向量，所以 它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。 因此凡是只涉及空間任意兩個向量的問題，平 面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用
5、于它們。 返回 10 空間中 a b c O B C a b c O B C b c + (平面向量 ) 向量加法結(jié)合律在空間中仍成立嗎 ? A A ( a + b )+ c = a +( b + c ) 11 a b c O A B C a b c O A B C b c + (空間向量 ) ( a + b )+ c = a +( b + c ) 向量加法結(jié)合律： 推廣 12 數(shù)乘空間向量的運算法則 例如 : a 3 a 3a 與平面向量一樣 , 實數(shù) 與空間向量 a 的乘積 a 仍然是一個向量 . 當 0 時 , a 與向量 a 的方向相同 ; 當 0 時 , a 與向量 a 的方向相反
6、; 當 0 時 , a 是零向量 . 定義 : 13 顯然 ,空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律 及結(jié)合律 () ( ) ( ) a b a b a a a aa 即 ： （ ） F E D C B A 96 1 2 31P （）、（）、（） 練習(xí) 14 平行六面體 思考 2 思考 1:已知 平行六面體 ABCD-A1B1C1D1，化簡下列向量 表達式，并標出化簡結(jié)果的向量 .(如圖 ) 1 1 1 ( 1 ) ( 2 ) 1 ( 3 ) ( ) 3 1 ( 4 ) 2 A B B C A B A D A A A B A D A A A B A D C C ( 1 ) ;AB BC AC解 ： 1
7、1 1 1( 2 ) A B A D A A A C A A A C C C A C A B C D A1 B1 C1 D1 G M 1 11( 3 ) ( ) 33A B A D A A A C A G 1( 4) .A B A D C C A M 1+ 2 15 A B C D A1 B1 C1 D1 a 平行六面體：平行四邊形 ABCD按向量 平移 到 A1B1C1D1的軌跡所形成的幾何體 . a 記做 ABCD-A1B1C1D1 注 :始點相同的三個不共面向量之和，等于以這三個向量 為棱的平行六面體的以公共始點為始點的 對角線所示向量 16 思考 2：已知平行六面體 ABCD-A1B1
8、C1D1， 求滿足下列各式的 x的值。 A B C D A1 B1 C1 D1 1 1 1 1 1 1 ( 2 ) 2 ( 3 ) A D B D x A C A C A B A D x A C 1 1 1 1( 1 ) A B A D C C x A C 17 例 2：已知平行六面體 ABCD-A1B1C1D1， 求滿足下列各式的 x的值。 A B C D A1 B1 C1 D1 1 1 1 1( 1 ) A B A D C C解 1 1 1 1 1. AB B C C C AC x 1 1 1 1 1 1 ( 2 ) 2 ( 3 ) A D B D x A C A C A B A D x
9、A C 1 1 1 1( 1 ) A B A D C C x A C 18 例 2：已知平行六面體 ABCD-A1B1C1D1， 求滿足下列各式的 x的值。 A B C D A1 B1 C1 D1 11( 2 ) 2 A D B D 1 1 1A D A D B D 1 1 1()A D B C B D 1 1 1A D D C 1AC 1 1 1( 2 ) 2 A D B D x A C 1.x 1 1 1( 3 ) A C A B A D x A C 19 例 2：已知平行六面體 ABCD-A1B1C1D1， 求滿足下列各式的 x的值。 A B C D A1 B1 C1 D1 11( 3
10、) A C A B A D 11( ) ( ) ( )A D A B A A A B A A A D 12 ( )A D A B A A 12 AC 1 1 1( 3 ) A C A B A D x A C .2 x 向 量 的 平 行 20 思考 (2) 向 量 的 平 行 與 重 合 a c b 定義 : 表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或 重合 , 則稱這些向量叫 共線向量 .( 或平行向量 ) 思考 : 對空間任意兩個向量 a 與 b , 如果 ab , 那 么 a 與 b 有什么關(guān)系 ? 反過來呢 ? 類似于平面 , 對于 空間任意兩個向量 a , b ( 0b ) , a / b R , ab . 21 思考 : 如圖 , l 為經(jīng)過已知點 A 且平行非零向量 a 的直線 , 那么 如何 表示 直線 l 上的任一點 P ? l A P a 注 : 非零向量 a 叫做 直線 l 的 方向向量 . 22 A M C G D B 1 ) 2 a b c（ 1 ) 3 abc（ 課外思考題 : 如圖 , 已 知 空 間 四 邊 形 ABCD 中 , 向量 AB a , AC b , AD c , 若 M 為 BC 的中點 , G 為 BCD 的重心 , 試用 a b c、 、 表示下列向量 : DM AG
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