高數(shù)第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分

《高數(shù)第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高數(shù)第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分（44頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三章　一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分 【字體：大 中 小】【打印】 3.1　導(dǎo)數(shù)概念 　　一、問題的提出 　　1.切線問題 　　割線的極限位置——切線位置 　　 　　如圖，如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線. 　　極限位置即 　　 　　 　　切線MT的斜率為 　　2.自由落體運(yùn)動的瞬時(shí)速度問題 　　二、導(dǎo)數(shù)的定義 　　設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在處取得增量Δx（點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y取得增量；如果Δy與Δx之比當(dāng)Δx→0時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱這個(gè)

2、極限為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為 　　即 　　 　　其它形式 　　 　　 　　關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明： 　　在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn)處的變化率，它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度。 　　如果函數(shù)y=f（x）在開區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)f（x）在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)。 　　對于任一，都對應(yīng)著f（x）的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，這個(gè)函數(shù)叫做原來函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，記作 　　 　　 　　注意： 　　 　　2.導(dǎo)函數(shù)（瞬時(shí)變化率）是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù). 　　導(dǎo)數(shù)定義例題： 　　例1、115頁8 　　設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=a可導(dǎo)，求： 　　（1） 　　【

3、答疑編號11030101：針對該題提問】 　　（2） 　　【答疑編號11030102：針對該題提問】 　　三、單側(cè)導(dǎo)數(shù) 　　1.左導(dǎo)數(shù)： 　　 　　2.右導(dǎo)數(shù)： 　　 　　函數(shù)f（x）在點(diǎn)處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等. 　　例2、討論函數(shù)f（x）=|x|在x=0處的可導(dǎo)性。 　　【答疑編號11030103：針對該題提問】 　　解 　　閉區(qū)間上可導(dǎo)的定義：如果f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且及都存在，就說f（x）在閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo). 　　由定義求導(dǎo)數(shù) 　　步驟： 　　 　　 　　 　　例3、求函數(shù)f（x）=C（C為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)

4、。 　　【答疑編號11030104：針對該題提問】 　　解 　　 　　 　　例4、設(shè)函數(shù) 　　【答疑編號11030105：針對該題提問】 　　解 　　 　　 　　 　　同理可以得到　 　　　 　　例5、求 　　例6、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 　　【答疑編號11030106：針對該題提問】 　　解 　　 　　 　　 　　　 　　　 　　例7、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 　　【答疑編號11030107：針對該題提問】 　　解 　　 　　 　　 　　 　　 　　四、常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 　　　　　　　　 　　　　

5、 　　　　　 　　五、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 　　表示曲線y=f（x）在點(diǎn)處的切線的斜率，即 　　 　　切線方程為 　　法線方程為 　　例8、求雙曲線處的切線的斜率，并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程。 　　【答疑編號11030108：針對該題提問】 　　解 　　由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為 　　 　　所求切線方程為 　　法線方程為 　　六、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 　　1.定理 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù). 　　注意：該定理的逆定理不成立，即：連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)。 　　我們有：不連續(xù)一定不可導(dǎo) 　　極限存在、連續(xù)、可導(dǎo)之間的關(guān)系。 　　2.連續(xù)函數(shù)不存在

6、導(dǎo)數(shù)舉例 　　例9、討論函數(shù)在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。 　　【答疑編號11030109：針對該題提問】 　　解： 　　例10、 P115第10題 　　設(shè)，α在什么條件下可使f（x）在點(diǎn)x=0處。 　?。?）連續(xù)；（2）可導(dǎo)。 　　【答疑編號11030110：針對該題提問】 　　解：（1） 　?。?） 　　七、小結(jié) 　　1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)：增量比的極限； 　　2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線的斜率； 　　3.函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)； 　　4. 　　5.求導(dǎo)數(shù)最基本的方法：由定義求導(dǎo)數(shù). 　　6.判斷可導(dǎo)性 　　 3.2　求導(dǎo)法則

7、3.3　基本求導(dǎo)公式 　　一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則 　　1.定理： 　　如果函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商（分母不為零）在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，并且 　　 　　推論 　　 　　 　　 　　2.例題分析 　　例1、求的導(dǎo)數(shù)。 　　【答疑編號11030201：針對該題提問】 　　解　 　　例2、求的導(dǎo)數(shù)。 　　【答疑編號11030202：針對該題提問】 　　解 　　例3、求y=tanx的導(dǎo)數(shù)。 　　【答疑編號11030203：針對該題提問】 　　解 　　同理可得 　　 　　例4、求y=secx的導(dǎo)數(shù)。 　　【答疑編號1103020

8、4：針對該題提問】 　　解 　　同理可得 　　 　　例5、131頁例2 　　設(shè)，求. 　　【答疑編號11030205：針對該題提問】 　　二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 　　1.定理： 　　如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且，那么它的反函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且有 　　即　反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). 　　2.例題分析 　　例6、求函數(shù)y=arcsinx的導(dǎo)數(shù) 　　【答疑編號11030206：針對該題提問】 　　解 　　 　　 　　 　　同理可得 　　 　　 　　 　　例7、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 　　【答疑編號11030207：針對該題提問】 　　解

9、 　　 　　 　　 　　特別地 　　 　　 　　三、小結(jié)：初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 　　1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 　　　 　　　　 　　　 　　2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 　　設(shè) 　　u=u（x），v=v（x）可導(dǎo)，則 　　 　　例8、127頁1題（6）（14）（15） 　?。?）1題（6）小題 　　【答疑編號11030208：針對該題提問】 　　解： 　?。?）1題（14）小題 　　【答疑編號11030209：針對該題提問】 　　解： 　?。?）1題（15）小題 　　【答疑編號11030210：針對該題提問】 　　解：

10、 　　例9、115頁3 　　若一直線運(yùn)動的運(yùn)動方程為，求在t=3時(shí)運(yùn)動的瞬時(shí)速度。 　　【答疑編號11030211：針對該題提問】 　　解： 　　例10、115頁5 　　求曲線的與直線y=5x的平行的切線。 　　【答疑編號11030212：針對該題提問】 　　另一條求出來是 　　 　　四、分段函數(shù)的求導(dǎo)問題 　　1.114頁定理：設(shè) 　?。?）如果函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且當(dāng)時(shí)，則 　　（2）如果函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且當(dāng)時(shí)，則 　　2.分段函數(shù)的求導(dǎo)問題舉例 　　例11、 116頁11 求下列分段函數(shù)f（x）的： 　?。?） 　　【答疑編號1

11、1030213：針對該題提問】 　　解： 　　五、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 　　1.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 　　定理　 　　如果函數(shù)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，而y=f（u）在點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 　　 　　即 因變量對自變量求導(dǎo)，等于因變量對中間變量求導(dǎo)，乘以中間變量對自變量求導(dǎo)。（鏈?zhǔn)椒▌t） 　　推廣　設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 　　2.例題分析 　　例1.求函數(shù)y=lnsinx的導(dǎo)數(shù)。 　　【答疑編號11030301：針對該題提問】 　　解　∵y=lnu，u=sinx. 　　 　　例2.已知y=（2x2-3x+5）100，求。 　　【答疑編號1

12、1030302：針對該題提問】 　　例3.求y=sin5x的導(dǎo)數(shù) 　　【答疑編號11030303：針對該題提問】 　　例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 　　【答疑編號11030304：針對該題提問】 　　解 　　 　　例5.（教材133頁習(xí)題3.3，1題（2）小題）求的導(dǎo)數(shù) 　　【答疑編號11030305：針對該題提問】 　　例6.求的導(dǎo)數(shù) 　　【答疑編號11030306：針對該題提問】 　　例7.求的導(dǎo)數(shù)（a>0） 　　【答疑編號11030307：針對該題提問】 　　例8.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 　　【答疑編號11030308：針對該題提問】

13、　　解　 　　 　　例9.（教材128頁習(xí)題3.2，3題（5）小題）求的導(dǎo)數(shù) 　　【答疑編號11030309：針對該題提問】 　　例10.（教材128頁習(xí)題3.2，3題（7）小題）求y=（sinnx）（cosnx）的導(dǎo)數(shù) 　　【答疑編號11030310：針對該題提問】 　　例11.求的導(dǎo)數(shù) 　　【答疑編號11030311：針對該題提問】 　　例12.求的導(dǎo)數(shù) 　　【答疑編號11030312：針對該題提問】 　　例13.求的導(dǎo)數(shù) 　　【答疑編號11030313：針對該題提問】 　　例14.求的導(dǎo)數(shù) 　　【答疑編號11030314：針對該題提問】

14、 　　例15.（教材習(xí)題3.2，8題）已知在點(diǎn)x＝1可導(dǎo)，求a，b。 　　【答疑編號11030315：針對該題提問】 　　冪指函數(shù)、抽象的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)例題 　　 　　一、冪指函數(shù)求導(dǎo) 　　例1： xx 　　【答疑編號11030401：針對該題提問】 　　例2： y=（sinx）cosx求y＇ 　　【答疑編號11030402：針對該題提問】 　　 　　二、抽象的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 　　例3：設(shè)f（u）可導(dǎo)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 　?。?）f（lnx）+lnf（x） 　　【答疑編號11030403：針對該題提問】 　　解： 　　（2）y=f（e-x

15、） 　　【答疑編號11030404：針對該題提問】 　　解： 　?。?）y= ef（x） 　　【答疑編號11030405：針對該題提問】 　?。?） 　　【答疑編號11030406：針對該題提問】 　?。?） 　　【答疑編號11030407：針對該題提問】 3.4　高階導(dǎo)數(shù) 　　 　　一、高階導(dǎo)數(shù)的定義 　　問題:變速直線運(yùn)動的加速度。 　　設(shè)s=f（t），則瞬時(shí)速度為v（t）=f＇（t） 　　∵加速度α是速度v對時(shí)間t的變化率 　　∴a（t）=v＇（t）=[f＇（t）]＇ 　　定義　如果函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f＇（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，即 　

16、　存在，則稱（f＇（x））＇為在點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù)。 　　記作。 　　二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),。 　　三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),。 　　例4：y=3x2+sinx 　　【答疑編號11030408：針對該題提問】 　　一般地，函數(shù)f（x）的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)f（x）的n階導(dǎo)數(shù)，記作 　　 　　相應(yīng)地，f（x）稱為零階導(dǎo)數(shù)；f＇（x）稱為一階導(dǎo)數(shù)。 　　例5：求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)： 　　（1）y=ax+b 　　【答疑編號11030409：針對該題提問】 　?。?）y=cos nx； 　　【答疑編號11030410：針對該題提問】 　?。?）y=e

17、sinx 　　【答疑編號11030411：針對該題提問】 　　 　　二、對于某些特殊的導(dǎo)數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)是有規(guī)律的。 　　例6：求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù) 　　（1）y=ex 　　【答疑編號11030412：針對該題提問】 　?。?）y=x5 　　【答疑編號11030413：針對該題提問】 　　例7：設(shè)y=xμ求y（n） 　　解： 　　用數(shù)學(xué)歸納法可以證明： 　　 　　特別，當(dāng)μ=n時(shí)，即y=xn，其n階導(dǎo)數(shù) 　　y（n）= （x n）（n）=n! 　　【答疑編號11030414：針對該題提問】 　　例8： 　　【答疑編號11030415：針對該題提問】

18、 　　例9：設(shè)y=（x2+1）10（x9+x3+1），求y（30） 　　【答疑編號11030416：針對該題提問】 　　例10：設(shè)y=sinx，求y（n）。 　　【答疑編號11030417：針對該題提問】 　　解　 　　 　　 　　…… 　　 　　同理可得 　　注意：求n階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出1——3或4階后,不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出n階導(dǎo)數(shù).（數(shù)學(xué)歸納法證明） 　　例11：設(shè)f（x）的n-2階導(dǎo)數(shù)，求f（n）（x）。 　　【答疑編號11030418：針對該題提問】 3.5　函數(shù)的微分 　　 　　問題的提出 　　實(shí)例:正方形金屬薄片受熱后面積

19、的改變量. 　　設(shè)邊長由x0變到x0+△x， 　　∵正方形面積 　　∴ 　　 　　 　　是△x的線性函數(shù)且為△A的主要部分， 　　是△x的高階無窮小，當(dāng)|△x|很小時(shí)可忽略。 　　微分的定義 　　定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+△x在這區(qū)間內(nèi)，如果 　　 　　成立（其中A是與△x無關(guān)的常數(shù)），則稱函數(shù) 　　y=f（x）在點(diǎn)x0可微，并且稱A△x為函數(shù) 　　y=f（x）在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量△x的微分， 　　記作 　　微分dy叫做函數(shù)增量△y的線性主部。（微分的實(shí)質(zhì)） 　　可微的條件 　　定理：函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0可微的充要條件是函數(shù)f（

20、x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且 　　通常把自變量x的增量△x稱為自變量的微分，記作dx，即dx=△x 　　 　　即函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)也叫“微商”。 　　微分的幾何意義 　　幾何意義:（如圖） 　　 　　當(dāng)△y是曲線的縱坐標(biāo)增量時(shí)，dy就是切線縱坐標(biāo)對應(yīng)的增量，當(dāng)|△x |很小時(shí)，在點(diǎn)M的附近，切線段MP可近似代替曲線段MN。 　　微分的求法 　　 　　求法: 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分。 　　1.基本初等函數(shù)的微分公式 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　　　 　　2.函數(shù)和

21、、差、積、商的微分法則 　　　 　　　 　　例1：設(shè)，求dy。 　　【答疑編號11030501：針對該題提問】 　　例2：，求dy。 　　【答疑編號11030502：針對該題提問】 　　例3：，求dy。 　　【答疑編號11030503：針對該題提問】 　　微分形式的不變性 　　設(shè)函數(shù)y=f（x）有導(dǎo)數(shù)f＇（x） 　?。?）若x是自變量時(shí)，dy= f＇（x）dx 　?。?）若x是中間變量時(shí)，同樣有 　　結(jié)論：無論x是自變量還是中間變量，函數(shù)y=f（x）的微分形式總是，這就是微分形式的不變性 　　例4：　設(shè)y=sin（2x+1），求dy。 　　【答

22、疑編號11030504：針對該題提問】 　　解法一： 　　解法二：∵y=sinu,u=2x+1 　　∴dy=cosudu=cos（2x+1）d（2x+1） 　　=cos（2x+1）2dx=2cos（2x+1）dx 　　例5（P144、例6（1））: 　　設(shè)函數(shù)f（u）可微，求函數(shù)y=f（lnx）的微分： 　　【答疑編號11030505：針對該題提問】 　　解： 　　例6：求 　　【答疑編號11030506：針對該題提問】 　　例7（P144、例7）：求 　　【答疑編號11030507：針對該題提問】 　　利用微分計(jì)算函數(shù)的近似值 　　求f（x）在點(diǎn)x=x0附近的近似值； 　　 　　 　　例8：計(jì)算的近似值。 　　【答疑編號11030508：針對該題提問】 　　解： 　　3.6　導(dǎo)數(shù)和微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡單應(yīng)用，由于知識體系的關(guān)聯(lián)性，我們把本節(jié)放到第四章后面講。