北師大版數(shù)學(xué)選修44模塊檢測(cè)B

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1、 模塊檢測(cè) B (時(shí)間： 120 分鐘 滿分： 150 分) 一、選擇題 (每小題 5 分，共 50 分) 1.下列有關(guān)坐標(biāo)系的說法中，錯(cuò)誤的是 ( ) A.在直角坐標(biāo)系中，通過伸縮變換可以把圓變成橢圓 B.在直角坐標(biāo)系中，平移變換不會(huì)改變圖形的形狀和大小 C.任何一個(gè)參數(shù)方程都可以轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程 D.同一條曲線可以有不同的參數(shù)方程 解析 直角坐標(biāo)系是最基本的坐標(biāo)系，在直角坐標(biāo)系中，伸縮變換可以改變圖 形的形狀，但是必須是相近的圖形可以進(jìn)行伸縮變化得到，例如圓可以變成橢 圓

2、，橢圓也可以變成圓是一樣的，而平移變換不改變圖形的形狀和大小而只改 變圖形的位置；對(duì)于參數(shù)方程，有些比較復(fù)雜的是不能化成普通方程的，同一 條曲線根據(jù)參數(shù)的選取的不同可以有不同的參數(shù)方程 . 答案 C 2.曲線的參數(shù)方程為 x＝3t2＋ 2， (t 為參數(shù) )，則曲線是 () y＝t2－1 A.線段 B. 雙曲線的一支 C.圓 D. 射線 解析 消去參數(shù) t，得到方程 x＝3y＋5. 又因?yàn)?x＝3t 2＋2≥2，所以方程為 x＝3y＋5 (x≥ 2). 所以

3、曲線應(yīng)為射線 . 答案 D 3.一條光線從點(diǎn) (－ 2，－ 3)射出，經(jīng) y 軸反射后與圓 (x＋ 3)2＋(y－ 2)2＝ 1 相切， 則反射光線所在直線的斜率為 ( ) 5 3 3 2 A.－ 3或－ 5 B. －2或－ 3 第 1 頁 5 4 4 3 C.－ 4或－ 5 D. －3或－ 4 解析 由已知，得點(diǎn) (－ 2，－ 3)關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 (2，－3)，由入射光線與反 射光線的對(duì)稱性，知反射光線一定過點(diǎn) (2，－ 3).設(shè)反射光線所在直線的斜率為 k，則反射

4、光線所在直線的方程為 y＋3＝k(x－2)，即 kx－y－2k－ 3＝ 0.由反射光 |－ 3k－2－2k－ 3| 4 3 線與圓相切，則有 d＝ 2 ＝1，解得 k＝－ 3或 k＝－ 4，故選 D. k ＋1 答案 D 2 ) 極坐標(biāo)方程 ρ－ρ(2＋sin θ)＋ 2sin θ＝0 表示的圖形為 ( 4. A.一個(gè)圓與一條直線 B. 一個(gè)圓

5、 C.兩個(gè)圓 D. 兩條直線 解析 將所給方程進(jìn)行分解，可得 (ρ－2) (ρ－sin θ)＝0，即 ρ＝2 或 ρ＝sin θ， 化成直角坐標(biāo)方程分別是 x2＋y2＝ 4 和 x2＋ y2－y＝ 0，可知分別表示兩個(gè)圓 . 答案 C 5.在參數(shù)方程 x＝a＋tcos θ， y＝b＋tsin θ (t 為參數(shù) )所表示的曲線上有 B， C 兩點(diǎn)，它們對(duì) 應(yīng)的參數(shù)值分別為 t1，t2，則線段 BC 的中點(diǎn) M 對(duì)

6、應(yīng)的參數(shù)值是 ( ) t1－ t2 t1＋ t2 A. 2 B. 2 |t1－ t2| D. |t1＋t2 | C. 2 2 解析 將參數(shù)值代入方程，分別得到 B， C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，而 M 點(diǎn)為 BC 中點(diǎn)， xB＋xC t1＋ t2 M ＝ 2 ，可得 M 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值為 2 . 則有 x 答案

7、B 6.極坐標(biāo)方程 ρcos 2θ＝0 表示的曲線為 ( ) A.極點(diǎn) B. 極軸 C.一條直線 D. 兩條相交直線 第 2 頁 解析 π ρcos 2θ＝0，cos 2θ＝0，θ＝kπ，為兩條相交直線 . 4 答案 D 已知 π π π 點(diǎn)的柱坐標(biāo)是 2， ，1 ，點(diǎn) Q

8、 的球面坐標(biāo)為 1， ， ，根據(jù)空間坐標(biāo) 7. P 4 2 4 系中兩點(diǎn) A(x1，y1，z1)，B(x2， y2，z2)之間的距離公式 |AB|＝ （x1－ x2）2＋（ y1－y2） 2＋（ z1－z2）2，可知 P、Q 之間的距離為 ( ) 2 A. 3 B. 2 C. 5 D. 2 解析 首先根據(jù)柱坐標(biāo)和空間直角坐標(biāo)之間的關(guān)系，把 P 點(diǎn)的柱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為空 間直角坐標(biāo) ( 2， 2，1)，再根據(jù)球面

9、坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)之間的關(guān)系把 Q 點(diǎn) 的球坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為空間直角坐標(biāo) 2 2 ，代入兩點(diǎn)之間的距離公式即可得 2 ， 2 ， 0 到距離為 2. 答案 B x＝tan θ， 8.雙曲線 2 (θ為參數(shù) )的漸近線方程為 () y＝cos θ A.x2y＝0 B. x4y＝0 C.2xy＝0 D.4xy＝ 0 解析 將雙曲線方程化為普通方程為 y2 2 4 －x ＝1，

10、 則 a＝ 2， b＝ 1， ∴ 漸近線方程為 y＝ 2x，應(yīng)選 C. 答案 C x＝4cos3 θ， 9.已知曲線的方程是 y＝4sin3 θ (θ為參數(shù) )，則該曲線 ( ) A.關(guān)于原點(diǎn)、 x 軸、 y 軸都對(duì)稱 B.僅關(guān)于 x 軸對(duì)稱 C.僅關(guān)于 y 軸對(duì)稱 第 3 頁 D.僅關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 答案 A x＝ a＋ tcos θ， (t 為參數(shù) )所表示的曲線上有 B，C 兩點(diǎn)，它們對(duì) 10.在參數(shù)方程 y＝ b＋ tsin

11、θ 應(yīng)的參數(shù)值分別為 t1，t2，則線段 BC 的中點(diǎn) M 對(duì)應(yīng)的參數(shù)值是 () t1－ t2 t1＋ t2 A. 2 B. 2 |t1－ t2| D. |t1＋t2 | C. 2 2 x ＝a＋t cos θ， 1 1 解析 當(dāng) t＝t1 時(shí)， y1＝b＋t1 sin θ， x2＝ a＋t2cos θ， t＝t2 時(shí)， y2＝ b＋t2sin θ， ∴ 中點(diǎn)坐標(biāo)為 x1＋x2 a＋t 1cos θ＋

12、a＋t2cos θ t1＋ t2 2 ＝ 2 ＝ a＋ 2 cos θ， y1＋y2 b＋t 1sin θ＋ b＋ t2sin θ t1＋t2 2 ＝ 2 ＝b＋ 2 sin θ， t1＋t2 ∴ 中點(diǎn) M 對(duì)應(yīng)的參數(shù)值是 2 . 答案 B 二、填空題 (每小題 5 分，共 25 分) x＝2＋t， 11.已知直線 l 的參數(shù)方程為 (t 為參數(shù) )，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正y＝3＋t 半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 ρsin2θ－4cos θ＝ 0(ρ≥ 0， 0≤θ<2π)，則直線 l 與曲線 C

13、的公共點(diǎn)的極徑 ρ＝________. x＝ 2＋ t， 解析 參數(shù)方程 化為普通方程為 y＝ x＋ 1.由 ρsin2θ－ 4cos θ＝0，得 y＝ 3＋ t 2 2 2 ＝ ，即 2 由 ρ θ－4ρcos θ＝0，其對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為 y － 4x y ＝ 4x. sin 0 第 4 頁 y＝x＋1， x＝1，

14、 可得 故直線和拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (1，2)，故交點(diǎn)的極徑為 y2＝4x y＝2， 12＋ 22＝ 5. 答案 5 x＝2pt， M1M2 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是 12.若曲線 2 (t 為參數(shù) )上異于原點(diǎn)的不同兩點(diǎn) y＝2pt

15、 t1、t2，則弦 M1M2 所在直線的斜率是 ________. 解析 設(shè) M1 1＋ 2 2 2 1 ， 2，2 ， (2pt 2pt ) M (2pt 2pt ) ∴k＝ 2pt12－ 2pt22 t12－t22 1＋ 2 ＝ ＝ 2pt1－ 2pt2 t1

16、－t2 t t . 答案 t1＋t2 在極坐標(biāo)系中， 曲線 C1 和 C 的方程分別為 ρsin2θ＝ cos θ和 ρ θ＝ 以極點(diǎn) 13. 2 sin 1. 為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲 線 C1 和 C2 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 ________.

17、 解析 2 2 2 θ，所以曲 因?yàn)?x＝ ρcos θ，y＝ρsin θ，由 ρsin θ＝ cos θ，得 ρ θ＝ρ sin cos 線 C1 的普通方程為 y2＝ x. 由 ρsin θ＝1，得曲線 C2 的普通方程為 y＝1.由 y2 ＝x， x＝1， 故曲線 C1 與曲 y＝1 得 y＝1，

18、 線 C2 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 (1，1). 答案 (1，1) 14.在以 O 為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓 ρ＝ 4sin θ和直線 ρsin θ＝ a 相交于 A，B 兩 點(diǎn) .若△ AOB 是等邊三角形，則 a 的值為 ________. 解析 由 ρ＝4sin θ可得 x2＋ y 2＝ 4y ，即 2＋ (y － 2) 2＝ 4. 由 ρ x sin θ＝a 可得 y＝ a. 設(shè)圓的圓心

19、為 O′，y＝ a 與 x2＋(y－ 2)2＝ 4 的兩交點(diǎn) A，B 與 O 構(gòu)成等邊三角形，如圖所示 .由對(duì)稱性知 ∠O′OB＝30，OD＝a.在 Rt△ DOB 中， 第 5 頁 3 易求 DB＝ 3 a， ∴B 點(diǎn)的坐標(biāo)為 3 3 a，a . 又∵ B 在 x2＋ y2 －4y＝ 0 上， 3 2 2 4 2 ∴ 3 a ＋a －4a＝ 0，即 3a －4a＝0，解得 a＝0(舍去 )或 a＝3. 答案 3 點(diǎn) ， 是橢圓 2x 2＋3y

20、2＝12 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 則 x＋2y 的最大值為 ________. 15. P(x y) x2 y2 解析 橢圓為 6 ＋ 4 ＝ 1，設(shè) P( 6cos θ，2sin θ)， x＋ 2y＝ 6cos θ＋4sin θ＝ 22sin(θ＋ φ)≤ 22. 答案 22 三、解答題 (共 6 題，共 75 分) 16.(12 分)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極 π 坐標(biāo)系，半圓 C 的極坐標(biāo)方程為 ρ＝ 2cos θ，θ∈

21、0，2 . (1)求 C 的參數(shù)方程； (2)設(shè)點(diǎn) D 在 C 上，C 在 D 處的切線與直線 l：y＝ 3x＋2 垂直，根據(jù) (1)中你得 到的參數(shù)方程，確定 D 的坐標(biāo) . 解 (1)C 的普通方程為 (x－ 1)2＋ y2＝1(0≤y≤1).可得 C 的參數(shù)方程為 x＝ 1＋ cos t， (t 為參數(shù)， 0≤ t≤π ). y＝ sin t (2)設(shè) D(1＋ cos t，sin t)，由 (1)知 C 是以 G(1，0)為圓心， 1 為半徑的上半圓 .因 為 C 在點(diǎn) D 處的切線與 l 垂直，所以直線 GD 與 l 的斜率相同， ta

22、n t＝ 3，t＝ π π π 3， 3 故 的直角坐標(biāo)為 1＋cos ，sin ，即 D 3 3 2 2 . 3. x＝1＋2t， 17.(12 分)求直線 (t 為參數(shù) )被圓 x2＋ y2＝9 截得的弦長 . 第 6 頁 x＝1＋2t， x＝1＋ 5t 2 ， ? 5 解 1 y＝2＋t y＝2＋ 5t 5 把直線 x＝1＋2t代入 x2＋ y2＝9， y＝2＋t

23、 得 (1＋ 2t)2 ＋(2＋t)2 ＝9，5t2＋ 8t－4＝0. 2 － 8 2 16 12 12 |t 1－t2 ＝ （ 1＋t2） －4t1 2＝ 5 ＋ 5 ＝ 5 ，弦長為 5|t1－t2 ＝ 5 5. |t t | 18.(12 分 過點(diǎn) ， 的直線 l 與拋物線 y 2＝8x 交于 M、N 兩點(diǎn)，求線段 MN 的 ) A(1 0) 中點(diǎn)的軌跡方程 . x＝8

24、t2， 解 設(shè)拋物線的參數(shù)方程為 (t 為參數(shù) )，y＝8t 可設(shè) M(8t21，8t1)，N(8t22，8t2)， 8t2－ 8t1 1 則 kMN＝ 8t22－ 8t12＝t1＋t2. 又設(shè) MN 的中點(diǎn)為 P(x，y)， x＝ 8t12＋8t22 2 ， 4（t1＋t2） 則 8t1＋8t2 ∴kAP＝4（t12＋t22）－ 1， y＝ 2 . 1 x＝ 4（ t21＋t22）， 由 kMN＝ kAP 知 t1t2＝－ 8，又 y＝ 4（ t1＋t2），則 y2＝16(t21＋ t2

25、2＋2t1t2)＝16 x4－ 14 ＝4(x－1). ∴所求軌跡方程為 y2＝4(x－1). x2 y2 19.(12 分)已知 A、 B 是橢圓 9 ＋ 4 ＝1 與坐標(biāo)軸正半軸的兩交點(diǎn)，在第一象限的 橢圓弧上求一點(diǎn) P，使四邊形 OAPB 的面積最大 . x＝ 3cos θ， 解 橢圓的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù) ). y＝ 2sin θ π 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (3cos θ，2sin θ)，其中 0＜θ＜2， 第 7 頁 ∵SOAPB＝S△ APB＋ S△ AOB，其中 S△AOB 為定值，故只需 S△

26、 APB 最大即可 .又 AB 為定長，故只需點(diǎn) P 到 AB 的距離最大即可 . AB 的方程為 2x＋3y－ 6＝ 0， 點(diǎn) P 到 AB 的距離為 d＝|6cos θ＋ 6sin θ－6|＝ 6 2sin θ＋ π 4 －1 . 13 13 π 3 2 . ∴當(dāng) θ＝ 時(shí)，d 取最大值，從而 S APB 取最大值， 這時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ， 2 4 △ 2 3

27、 x＝ 5＋ 2 t， 20.(13 分)已知直線 l： (t 為參數(shù) ).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半 1 y＝ 3＋ 2t 軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 ρ＝2cos θ. (1)將曲線 C 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點(diǎn) M 的直角坐標(biāo)為 (5， 3)，直線 l 與曲線 C 的交點(diǎn)為 A，B，求 |MA| |MB| 的值 . 2 2 2 2 2 解 (1)ρ＝2cos θ等價(jià)于 ρ＝ 2ρcos θ.將 ρ＝x ＋y ， ρcos θ＝x 代入 ρ＝ 2ρcos θ 得曲線 C 的直角坐標(biāo)

28、方程為 x2＋ y2－2x＝ 0. 3 x＝5＋ 2 t， 3t＋18＝ 0.設(shè)這個(gè) (2)將 (t 為參數(shù) )代入 x2＋ y2－2x＝0，得 t2＋5 1 y＝ 3＋ 2t 方程的兩個(gè)實(shí)根分別為 t1， t2，則由參數(shù) t 的幾何意義知， |MA| |MB|＝ |t1 2 ＝ t | 18. 21.(14 分)將圓 x2＋ y2＝1 上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼? 2 倍， 得曲線 C.

29、 (1)寫出 C 的參數(shù)方程； (2)設(shè)直線 l：2x＋y－2＝0 與 C 的交點(diǎn)為 P 1 ，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸正半 軸為極軸建立極坐標(biāo)系， 求過線段 P1 2 的中點(diǎn)且與 l 垂直的直線的極坐標(biāo)方程 . P 解 (1)設(shè) (x1，y1 ) 為圓上的點(diǎn)， 在已知變換下變?yōu)榍€ C 上的點(diǎn) ， ，依題意， (x y) x＝x1， y 2 得 y＝2y1. 由 x12

30、＋y12＝ 1 得 x2＋ 2 ＝1， 2 x＝cos t， 即曲線 C 的方程為 x2＋ y ＝1.故 C 的參數(shù)方程為 (t 為參數(shù) ). 4 y＝2sin t 第 8 頁 x2＋y 2 ＝1， x＝1， x＝0， (2)由 4 解得 y＝0 或 2x＋y－2＝0， y＝2. 1 不妨設(shè) P1(1，0)，P2 (0，2)，則線段 P1P

31、2 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 2，1 ，所求直線斜率為 1 y－1＝ 1 1 ，化為極坐標(biāo)方程， 并整理得 2ρcos θ k＝2，于是所求直線方程為 2 x－2 3 － 4ρsin θ＝－ 3，即 ρ＝ . 4sin θ－2cos θ 第 9 頁