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1、第二章 多元函數(shù)積分學(xué) 正確理解黎曼積分的概念和性質(zhì) 。 正確理解二 、 三重積分的概念 。 正確理解對弧長的曲線積分的概念 。 正確理解對面積的曲面積分的概念 。 本節(jié)教學(xué)要求： 中 )3( nR n第六節(jié) 黎曼積分的概念 重積分 對弧長的曲線積分 對面積的曲面積分 曲頂柱體 本節(jié)關(guān)鍵概念和理論 第六節(jié) 黎曼積分的概念 中 )3( nR n 的黎曼積分 )3( nR n 空間中與 分割 -近似 -求和 -取極限 有關(guān)的一類數(shù)學(xué)模型 非均勻分布時 “ 直線段 ” 質(zhì)量問題 d)(I Xf b a xxf d)( 定積分 Rba , 非均勻分布時平面薄板質(zhì)量問題 D d),( yxf d)(I
2、Xf D dd),( yxyxf d)(I Xf 直 角 坐 標(biāo) 系 二重積分 2D R 非均勻分布時 “ 立體 ” 質(zhì)量問題 d)(I Xf vzyxf d),( d)(I Xf zyxzyxf ddd),( 直角坐標(biāo)系 三重積分 3R 非均勻分布時 “ 曲線段 ” 質(zhì)量問題 d)(I Xf L syxf d),( 對弧長的曲線積分 2RLL d)(I Xf L syxf d),( L 為封 閉曲線 平面曲線 非均勻分布時 “ 曲線段 ” 質(zhì)量問題 d)(I Xf szyxf d),( 對弧長的曲線積分 3R d)(I Xf szyxf d),( 為封 閉曲線 空間曲線 非均勻分布時 “ 曲
3、面 ” 質(zhì)量問題 d)(I Xf Szyxf d),( 對面積的曲面積分 3R d)(I Xf Szyxf d),( 為 封閉 曲面 以上討論的幾個問題的共同點： 對自變量的取值范圍作任意分割 . 形式相同的和式： n i Q 1 (函數(shù)在某點的值 ) (小幾何體的度量值 ) 形式相同的極限： Q0limI m ax 分割后小幾何體的度量值 具有任意性 看成均勻變化時，所求量可表示為兩個量的乘積 . 所求量對區(qū)域具有可加性 . 設(shè) 為空間 nR )3( n 中可度量的幾何形體 , )( Xf 是定義在 上的有界函數(shù) , 將 任意分割 為 m 個可度量的小幾何形體 i ,),2,1( mi 它
4、們的度量值記為 。i 記 。m a x1 imi ii ,),2,1( mi 作和式 ,)( 1 m i iif 稱此和式為函數(shù) )( Xf 在 上的黎曼和。 若極限 m i iif 10 )(limI 存在 , 且與對 的分割方式及點 i 的選擇方式無關(guān) , 則稱此極限 黎曼積分的定義 此時稱函數(shù)在 上是黎曼可積的 , 記為 值 I 為函數(shù) )(Xf 在 上的黎曼積分 , 記為 )(limd)(I 10 m i iifXf )()( RXf 其中 , 積分號； )(Xf 被積函數(shù)； 積分區(qū)域； d 積分元素。 什么樣的函數(shù)可積 (黎曼可積 ) 根據(jù)黎曼積分的定義可以得出： 若 ,)()( C
5、Xf 則 。)()( RXf 若 )( Xf 在 內(nèi)有界 , 且在除去 中 有限個低于 所在空間維數(shù)的幾何形 體外連續(xù) , 則 。)()( RXf 設(shè) 為 R3 中的可度量的幾何形體， ,)()( RXf 則 )(limd)( 10 n i iifXf 黎曼積分應(yīng)具有一些極限所具有的性質(zhì) 這就是說， 黎曼積分的性質(zhì) 性質(zhì) 1 若 ,1)( XXf 則 ,|d)( Xf 其中， | 為區(qū)域 的度量值。 回想上節(jié)課講的質(zhì)量計算以及在均勻變化時 質(zhì)量 = 密度 幾何形體的度量值 就可以理解這個性質(zhì)。 定積分 abxba d (區(qū)間 a, b的長度 ) 二重積分 |D|d D (平面區(qū)域 D 的面積
6、) (R3 中立體 的體積 ) |d v 三重積分 曲線積分 |d Ls L (平面曲線 L 的弧長 ) 曲面積分 |d S (曲面 的面積 ) 例 二重積分：相當(dāng)于以 D 為底，高為 1 的 平頂柱體體積 V= | D |。 (線性性質(zhì) ) 若 ,)(Xf ,)()( RXg 、 為實數(shù)， 則 ,)()()( RXGXf 且 d)()( XgXf d)(d)( XgXf 該性質(zhì)可以推廣至有限個函數(shù)的線性組合情形 性質(zhì) 2 設(shè) ,)()( RXf 將 任意分成可度量的 兩個部分： ,21 1 與 2 除邊界外無其它公共部分，則 ,)()( 1 RXf ,)()( 2 RXf 且 21 d)(d
7、)(d)( XfXfXf 性質(zhì) 3 (對積分區(qū)域的可加性 ) 1 2 想一想： 行！ 行不行？與分成下面的將 21 可以將性質(zhì) 3中的 任意分成有限個相互 間只有公共邊界的部分： 21 n n XfXfXf d)(d)(d)( 1 (保號性 ) 性質(zhì) 4 . 0d)( Xf , , 0)( , )()( 則若設(shè) XXfRXf 性質(zhì) 4的推論 1 設(shè) ,)()(,)( RxgXh d)(d)( XgXh ,)()( XgXh ,X 則 若 d|)(|d)(| XfXf 性質(zhì) 4的推論 2 (積分中值定理 ) 若 ,)()( CXf 是有界閉區(qū)域， 則至少存在一點 , 使得 |)(d)(d)( f
8、fXf 現(xiàn)在看這里 如果 ,0)( f 會有什么結(jié)果出現(xiàn)？ 0|)(d)( fXf 性質(zhì) 5 性質(zhì) 5的推論 1 若 ,)()( CXf 是有界閉區(qū)域， 且有 ,0)( Xf ,X 但 ,0)( Xf / 則 . 0d)( Xf 你能根據(jù)剛才的分析證明這個推論嗎？ 現(xiàn)在由這個推論反過去想 : 如果函數(shù) 在 的任意一個小區(qū)域上的積分均為零， 則函數(shù)在 上應(yīng)是什么形式？ 0)( Xf ?。?性質(zhì) 6的推論 2 設(shè) 。)()( CXf 若 , 有 0d)( Xf 則 ,0)( Xf 。X 運用反證法：設(shè) ,0)( Xf / 則至少有一點 X0， 使 ,)0(0)( 0 Xf 由推論 1 便可得出矛盾。 實踐出真知 課后自己做 性質(zhì) 6的推論 2 設(shè) 。)()( CXf 若 , 有 0d)( Xf 則 ,0)( Xf 。X 運用反證法：設(shè) ,0)( Xf / 則至少有一點 X0， 使 ,)0(0)( 0 Xf 由推論 1 便可得出矛盾。 實踐出真知 課后自己做 什么結(jié)果？ )()()( XgXXf 令 性質(zhì) 6的推論 3 設(shè) 。)()(,)( CXgXf 若 , 有 , 0d)()( XgXf 則 ,)()( XgXf 。X
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