電磁學(xué)(趙凱華)答案[第2章 穩(wěn)恒磁場(chǎng)]

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1、電磁學(xué)(趙凱華)答案[第2章 穩(wěn)恒磁場(chǎng)] 1.一邊長(zhǎng)為2a的載流正方形線圈，通有電流I。試求：(1)軸線上距正方形中心為r0 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度；(2) 當(dāng)a=1.0cm , I=5.0A , r0=0 或10cm時(shí)，B等于多少特斯拉？ 解（1）沿軸向取坐標(biāo)軸OX，如圖所示。利用一段載 流直導(dǎo)線產(chǎn)生磁場(chǎng)的結(jié)果， 正方形載流線圈每邊在點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小 均為:,式 中: 由分析可知，4條邊在點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量的方向并不相同，其中AB邊在P點(diǎn)的B1方向如圖所示。由對(duì)稱性可知，點(diǎn)P上午B應(yīng)沿X軸，其大小等于B1在X軸投影 的4倍。設(shè)B1與X軸夾角為α則: 把r0=10cm

2、, a=1.0cm ,I=5.0A 帶入上式，得B=3.910-7(T)。把r0=0cm , a=1.0cm ,I=5.0A 帶入上式，得B=2.810-7(T)?？梢姡叫屋d流線圈中心的B要比軸線上的一點(diǎn)大的多。2. 將一根導(dǎo)線折成正n邊形，其外接圓半徑為a，設(shè)導(dǎo)線栽有電流為I，如圖所示。試求：(1)外接圓中心處磁感應(yīng)強(qiáng)度B0；(2) 當(dāng)n→∞時(shí)，上述結(jié)果如何？ 解: （1）設(shè)正n邊形線圈的邊長(zhǎng)為b，應(yīng)用有限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線產(chǎn)生磁場(chǎng)的公式，可知各邊在圓心處的感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，方向相同，即： 所以，n邊形線圈在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為： 因?yàn)?θ=2π/n,θ=π/n，故有：由右手法則，B0

3、方向垂直 于紙面向外。 （2）當(dāng)n→∞時(shí)，θ變的很小，tanθ≈θ，所以：代入上述結(jié)果中，得： 此結(jié)果相當(dāng)于一半徑為a，載流為I的圓線圈在中心O點(diǎn)產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度的結(jié)果，這一點(diǎn)在n→∞時(shí)， 是不難想象的。 3. 如圖所示，載流等邊三角形線圈ACD，邊長(zhǎng)為2a，通有電流I。試求軸線上距中心為r0處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解:由圖可知，要求場(chǎng)點(diǎn)P的合場(chǎng)強(qiáng)B，先分別求出等邊三角形載流線圈三條邊P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bi ，再將三者進(jìn)行矢量疊加。 由有限長(zhǎng)載流導(dǎo)線的磁場(chǎng)公式可知，AC邊在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度BAC的大小為： 由于⊿ACP為等腰三角形，且PC垂直AC，即： 代入上述結(jié)果中，得：

4、由右手螺旋定則可知，BAC的方向垂直于ACP平面向外， 如圖所示。由對(duì)稱性可知，AC，CD，DA三段載流導(dǎo)線在P 點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度BAC、BCD、BDA在空間方位上對(duì)稱， 且它們?cè)诖怪庇赯軸方向上的分量相互抵消，而平行于Z軸 方向上的分量相等，所以： 根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，O點(diǎn)是⊿ACP的中心，故:，并由⊿EOP可知 sinα=,所以P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度BP的大小為： 磁感應(yīng)強(qiáng)度BP的方向沿Z軸方向。 4. 一寬度為b的半無限長(zhǎng)金屬板置與真空中，均勻通有電流I0。P點(diǎn)為薄板邊線延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與薄板邊緣距離為d。如圖所示。試求P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。 解: 建立坐標(biāo)軸OX，如圖所示，P

5、點(diǎn)為X軸上一點(diǎn)。整個(gè)金屬板可視為無限多條無限長(zhǎng)的載流 導(dǎo)組成，取其任意一條載流線，其寬度為dx，上載有電流dI=I0dx/b， 它在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為： dB的方向垂直紙面向里。由于每一條無限長(zhǎng)直載流線P點(diǎn)激發(fā)上 的磁感應(yīng)強(qiáng)度dB具有相同的方向，所以整個(gè)載流金屬板在P點(diǎn)產(chǎn) 生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為各載流線在該點(diǎn)產(chǎn)生的dB的代數(shù)和，即： BP方向垂直紙面向里。 5. 兩根導(dǎo)線沿半徑方向引到金屬環(huán)上的A、C兩點(diǎn)，電流方向如圖所示。試求環(huán)中心O 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解: 由畢-薩定律可知，兩載流直線的延長(zhǎng)線都通過圓心O，因此 她們?cè)贠點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零。圖中電流為I1的大圓弧在 O點(diǎn)產(chǎn)生

6、的B2的方向垂直紙面向里。應(yīng)用載流圓線圈在中心處 產(chǎn)生磁場(chǎng)的結(jié)果B=μ0I/2r，可知B1、B2的大小 為: 則O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小 為: 設(shè)大圓弧和小圓弧的電阻為R1、R2，則: 有:, 因大圓弧和小圓弧并聯(lián)，故I1R1 = I2R2，即:,代入表達(dá)式得 B0=0。 6. 如圖所示，一條無限長(zhǎng)導(dǎo)線載有電流I，該導(dǎo)線彎成拋物線形狀，焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為a，試求焦點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。 解: 本題采用極坐標(biāo)。用畢-薩定律得電流元Idl在焦點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為: , 由于Idl與r的夾角為θ，由圖可知，Idlsinθ=Irdψ, 所以dB的大小為:, 方向由右手螺旋定則可知

7、， 垂直紙面向外。由于所有電流元Idl在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁 感應(yīng)強(qiáng)度方向相同，所以P點(diǎn) 的總產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 為:,因拋物線的極坐標(biāo)方 程為: , 因此: 7. 如圖所示，兩塊無限大平行載流導(dǎo)體薄板M、N，每單位寬度上所載電流為j，方向如圖所示，試求兩板間Q點(diǎn)處及板外P點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。 解: 無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度的公式 B=μ0Ir0/2πr可知，M板Q點(diǎn)激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度BM 的大小為：, dBx = -dBcosα， dBy = dBsinα由對(duì)稱性可知：, 設(shè)Q 點(diǎn)到M板的垂直距離為a，則： 由幾何關(guān)系可知：a/r=cosα,x=tanα,dx=ada/c

8、os2α，代 入上式： BM的方向沿X軸方向，因此，Q點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度BM+BN=0，采用同樣的方法得，M板在P 點(diǎn)產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度為： N板在P點(diǎn)產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度為：,表明在P點(diǎn)兩塊板產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度相同，所以P 點(diǎn)的B為B = BM+BN= -μ0ji，B的方向沿X軸負(fù)向。 8. 如圖所示，通有電流強(qiáng)度為I的細(xì)導(dǎo)線，平行的、緊密的單層纏繞在半個(gè)木球上，共有N匝，設(shè)木球的半徑為R，試求球心O點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解: 由圖可知，繞有載流導(dǎo)線的木球可看成是有無限多 個(gè)不同半徑的同心載流圓線圈組成，球心O在載流圓線 圈的軸線上，則球心O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B0是各個(gè)載流 圓線圈在該點(diǎn)激發(fā)的磁

9、感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和。如圖坐標(biāo)系 OXY，在X軸線上距原點(diǎn)Ox處任取一弧寬為dl的圓環(huán)， 半徑為y，圓環(huán)上繞有dN匝導(dǎo)線，即： 通過該圓環(huán)上的電流dI=IdN=2INdθ/ π,由載流線圈在軸 線上任意一點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式，可知dI在O點(diǎn)激 發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度dB大小為： dB的方向沿X軸正向。由幾何關(guān)系：x=Rsinθ,y=Rcosθ,帶入上式得： 由于所有載流線圈在O點(diǎn)激發(fā)的B方向相同，故O點(diǎn)總的磁感應(yīng)強(qiáng)度可由矢量積分簡(jiǎn)化為標(biāo)量積分，即： B0的方向沿X軸正向。 9.均勻帶電的球面繞著它的某一直徑作勻速旋轉(zhuǎn)。試求在該球面上各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B. 解: 如圖所示，均勻帶電的球面

10、繞沿X軸的直徑以角速度ω旋轉(zhuǎn)。球面上任意面元所帶電荷因旋轉(zhuǎn)而形成電流。將球面分成許多環(huán)狀球帶，每一球帶因旋轉(zhuǎn)而形成的電流在X軸上任意一點(diǎn)P 處都將產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度dB。設(shè)球面半徑為R，面電荷密度為σ，繞沿X軸的直徑以角速度為ω旋轉(zhuǎn)，球心在原點(diǎn)O。取從φ到（φ+dφ）的環(huán) 狀球帶，其面積為dS=2πrdl=2πrRdφ，所帶電 量為dQ=σdS=2πRrσdφ，由于旋轉(zhuǎn)，該球帶上 電荷形成沿環(huán)狀帶流動(dòng)的電流，電流強(qiáng)度為 dI=dQ/T ,T為旋轉(zhuǎn)周期，故： dI=ωdQ/2π=ω2πRrσdφ/2π=Rσωr dφ 設(shè)該環(huán)狀球帶的中心位于x處，則： x=Rcosφdx= -Rsinφ

11、dφ = -rdφ 因此，dI可表為dI = -Rσωdx，該環(huán)狀球帶dI 在直徑上任意一點(diǎn)P點(diǎn)產(chǎn)生的dB為： , 式中i是X軸方向的單位矢量，式中的r為r2 = R2 △x2， 把r2和dI的表達(dá)式帶入，得：, 因φ取值從0到π，相應(yīng)的x從R到-R，故式中dx為負(fù)值，若σ>0則dB與I同方向。場(chǎng)點(diǎn)P總的磁感應(yīng)強(qiáng)度為： 式中：, 故：, 由于BP與直徑上各點(diǎn)P的位置無關(guān)，所以在作為轉(zhuǎn)軸的直徑上磁感應(yīng)強(qiáng)度B處處相同。 10. 真空中有兩點(diǎn)電荷q，相距為 3d ，她們都以角速度ω繞一與兩點(diǎn)電荷連線垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，+q到軸的距離為d。試求轉(zhuǎn)軸與電荷連線交點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)B。 解: 設(shè)轉(zhuǎn)軸與電荷

12、連線交點(diǎn)為O。根據(jù)運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生磁場(chǎng)公式，可知+q在O處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為： , 方向由右手法則可知與ω相同。 同理，-q在O處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為： , 方向由右手法則可知與ω相反， 則由場(chǎng)疊加原理，得O點(diǎn)的總磁感應(yīng)強(qiáng)度為： , B的方向與ω相同。 11. 一邊長(zhǎng)為a=0.1m，帶電量為q=1.010-10C的均勻帶電細(xì)棒，以速度v=1.0m/s沿X 軸正方向運(yùn)動(dòng)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)到與Y軸重合時(shí)， 細(xì)棒的下端到原點(diǎn)O的距離為l=0.1m，如 圖所示。試求此時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)O處的磁感應(yīng) 強(qiáng)度B。 解: 均勻帶電細(xì)棒運(yùn)動(dòng)時(shí)，將產(chǎn)生磁場(chǎng)。在均 勻帶電細(xì)棒上，縱坐標(biāo)為y處取一線元dy，該 線元上的

13、帶電量為dq=λdy=qdy/a,根據(jù)運(yùn)動(dòng)電 荷產(chǎn)生磁場(chǎng)公式可知，dq在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感 應(yīng)強(qiáng)度的大小為: 方向垂直于紙面向里。 帶電細(xì)棒在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為: 方向垂直于紙面向里。 12.如圖（a）所示的電纜，由半徑為r1的導(dǎo)體圓柱和同軸的內(nèi)外半徑為r2和r3的導(dǎo)體圓桶構(gòu)成。電流I0從導(dǎo)體圓柱流入，從導(dǎo)體圓桶流出，設(shè)電流都是均勻分布在導(dǎo)體的橫截面上，以r表示到軸線的垂直距離。試求r從0到∞的范圍內(nèi)各處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解: 取電纜的.軸為Z軸，把電纜中的電流分解為一系列與Z軸平行的無限長(zhǎng)直流導(dǎo)線。這些載流導(dǎo)線在空間各點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)均無z分量，因此電纜電流在空間的磁場(chǎng)也無z分

14、量。若電纜電流的磁場(chǎng)有徑向分量Br，則由對(duì)稱性，在任意以Z軸為.軸，以r為半徑的柱面上各點(diǎn)的Br應(yīng)相同。 取相應(yīng)的柱形高斯面，如圖（b）所示，則有: 因B無z分量，故等式右邊前兩項(xiàng)為零，于是:，由高斯定理可 知:，h 所以Br=0。 即電纜電流的磁場(chǎng)無徑向分量。在半徑為r的周圍上各點(diǎn)的B大小相同，記為B(r),B(r)的方向沿切向，如圖（c）所示。去積分環(huán)路L，由安培環(huán)路定理可知:，若0≤r≤r1, 則:故:； 若r1≤r≤r2,則:；若r2≤r≤r3,則:;若r> r3, 則: 結(jié)果表明，在電纜電流的外部，磁感應(yīng)強(qiáng)度B為零，磁場(chǎng)被約束在電纜內(nèi)部。 13. 如圖所示，

15、為均勻密繞的無限長(zhǎng)直螺線管的一端，半徑為R，O點(diǎn)為該端面的中心，已知螺線管單位長(zhǎng)度上的線圈匝數(shù)為n，通過電流為I。試求；端面近中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的軸向分量和徑向分量。 解: 取坐標(biāo)系如圖。 螺線管中心軸線上靠近端面中心的P點(diǎn)，設(shè)OP=zcosβ1≈-1,cosβ2≈-z/R。 所以端面近中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的軸向分量 為: 以端面O點(diǎn)為中心做半徑為r，高為dz的圓形高斯面S，設(shè)下底面 的軸向磁場(chǎng)為Bz，上底面的 軸向磁場(chǎng)為Bz+dBz。側(cè)面的徑向磁場(chǎng)分量為Br，根據(jù)高斯定理， 有: 整理上式，得端面近中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B徑向分量Br為: 14. 如圖所示，一半徑為R的無限

16、長(zhǎng)直非導(dǎo)體圓筒均勻帶電，電荷面密度為σ，若受到外力矩的作用，圓筒從靜止開始以勻角加速度β繞OO’軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求t時(shí)刻圓筒內(nèi)為均勻磁場(chǎng)。 解: 管外磁場(chǎng)強(qiáng)度為零。過管內(nèi)場(chǎng)點(diǎn)P點(diǎn)作一矩形積分回路abcda。由安培環(huán)路定理可知，有: 分析系統(tǒng)可知，積分回路所包圍的電流的代數(shù)和為: 由題可知ω=ω0+βt,t=0時(shí)ω0=0,則ω=βt,所以: 因 此: 即得B=μ0σRβt,B的方向根據(jù)σ的情況而定。由結(jié)果分析可知，圓筒內(nèi)部的磁場(chǎng)與r無關(guān)。 15. 勻強(qiáng)磁場(chǎng)中有一無限大均勻載流平面，位于z=0，其電流面密度沿X方向，j0=100A/m，如圖所示。現(xiàn)測(cè)得載流平面上方（z>0）的磁感應(yīng)強(qiáng)度B2 。 解: 根據(jù)題意選擇坐標(biāo)系，如圖所示。設(shè)無限大載 流平面在其兩側(cè)激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B’1和 B’2，由于系統(tǒng)具有面對(duì)稱性，由安培環(huán)路定理可 知:, B’1的方向沿Y軸負(fù)方 向，B’2的方向沿Y軸正方向。 設(shè)原來勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為:B1=B0+B’1,所以: B0=B1-B’1=B1k+1/2μ0j0j0, 同理可得，載流平面下方（zB2=B0+B’2=(1/2μ0j0+1/2μ0j0)j+B1k=μ0j0j+ B1k,代入相應(yīng)數(shù)值，得： B2與Y軸夾角為：