多元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的比較

實 驗 11 多 元 函 數(shù) 極 值 與 一 元 函 數(shù) 極 值 的 比 較 內(nèi) 容 提 要 本 實 驗 通 過 幾 個 具 體 的 例 子 ， 說 明 多 元 函 數(shù)極 值 中 存 在 著 一 些 與 一 元 函 數(shù) 極 值 不 同 的 現(xiàn) 象 ，并 通 過 圖 形 把 這 些 現(xiàn) 象 顯 示 出 來 ， 從 而 加 深 對 它們 的 理 解 。 實 驗 步 驟 1. 方 向 導(dǎo) 數(shù) 我 們 知 道 ， 對 于 二 元 函 數(shù) 若 其 偏 導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù) ，則 它 在 任 意 方 向 上 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 都 存 在 ， 但 是 若 其偏 導(dǎo) 數(shù) 存 在 而 不 連 續(xù) ， 則 它 在 某 些 方 向 上 的 方 向?qū)?數(shù) 就 可 能 不 存 在 ， 請 看 下 面 的 例 子 。 多 元 函 數(shù) 極 值 與 一 元 函 數(shù) 極 值 的 比 較 例 1 （ 1） 證 明 ： 函 數(shù) 在 原 點 處 連 續(xù) ， 而且 在 原 點 處 的 偏 導(dǎo) 數(shù) fx和 fy 都 存 在 （ 即沿 x軸 和 y軸 方 向 導(dǎo) 數(shù) 都 存 在 ） ， 但 原 點 處其 他 方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 都 不 存 在 ； （ 2） 利 用計 算 機 作 出 該 函 數(shù) 在 原 點 附 近 的 圖 形 ， 并從 圖 上 驗 證 （ 1） 的 結(jié) 論 。 多 元 函 數(shù) 極 值 與 一 元 函 數(shù) 極 值 的 比 較 解 ： 由 于 是 初 等 函 數(shù) ， 其 定 義 域 為 R2，故 函 數(shù) 在 原 點 處 連 續(xù) ， 而 由 于 而 )23,2,0(sincos0sincos)0,0()sin,cos( 333 2 ff上的方向?qū)?shù)不存在。，函數(shù)在其它方向時的極限不存在時，即sincos0 ),( yxf，故在原點處0,0),0(,0)0,( yx ffyfxf 多 元 函 數(shù) 極 值 與 一 元 函 數(shù) 極 值 的 比 較 下 面 我 們 作 出 函 數(shù) 的 圖 形 ， 由 于Mathematica中 在 xNone” 表 示 去 掉 因 變 量 范 圍（ PlotRange-10,5） 后 其 范 圍 以 外 部 分 圖 形 ，最 后 我 們 再 改 變 視 角 作 出 圖 形 ， 即 鍵 入 ： 運 行 后 即 得 圖 15（ c） -20 2 -4 -2 0 2 -10 -5 0 5 -10 -5 0 5 Plot3Dgx,y,x,3,3,y,4,2,ViewPoint2.985,1.462,0.634, PlotRange10,5,PlotPoints40,ClipFillNone 多 元 函 數(shù) 極 值 與 一 元 函 數(shù) 極 值 的 比 較 從 圖 上 可 以 看 出 ， 盡 管 該 函 數(shù) 在 （ 1， 0）處 有 極 大 值 卻 是 不 存 在 的 （ 事 實上 ） 。 這 種 情 況 的 發(fā) 生 與 例 2是 類 似 的 ， 可 見 ， 由 于 多 元 函 數(shù) 自 變 量 變化 的 復(fù) 雜 性 ， 使 多 元 函 數(shù) 的 極 值 與 一 元 函數(shù) 的 極 值 出 現(xiàn) 了 不 同 的 現(xiàn) 象 。時為),( yxf