《高等代數(shù)》課程習(xí)題

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1、 《高等代數(shù)》課程習(xí)題 第章行列式 習(xí) 題 1． 計(jì)算下列二階行列式： （） 5 4 （） 3 6 cosx sin x x 1 x3 3 2 1 （） sin x cosx （） 1 x 2 x 1 2 （ ） a 2 a 3 （ ） s in c o s （ ） 1 lo ga b b 2 ab 2 s in c o s lo g a 3 b

2、 2． 計(jì)算下列三階行列式： 2 1 3 0 a 0 a 0 b x1 x2 0 （） 3 2 1 （） b 0 c （） 0 e 0 （） y1 y2 0 1 4 3 0 d 0 c 0 d 0 0 z 1 4 7 0 1 1 （ ） 8 2 5 （ ） 1 0 1 9 6 3

3、1 1 0 3． 用定義計(jì)算行列式： 0 0 1 0 1 2 2 1 0 2 0 3 2 3 1 1 （） 0 5 0 （） 2 0 0 3 3 7 6 10 4 4 1 0 1 0 0 0 1 0 a 1 0 0 0

4、 0 2 0 0 1 b 1 0 （） 0 3 0 0 0 () 1 c . 4 0 0 0 0 0 1 0 0 1 d 0 0 0 0 5 .用方程組求解公式解下列方程組 : x1 x2 x3 2 x1 x2 x3 0 () 2x1 x

5、2 3x3 0 () x1 2x2 x3 1 x1 2x2 5x3 0 2 x1 3x2 x3 2 習(xí) 題 1． 計(jì)算下列行列式： 1 / 58 1 0 1 2 7 3 0 4 1 6 5 5 （） 2 1 1 () 4 4 6 （） 5 8 2 （） 5 6 5 3 2 1 10 8 15 10 6 3 5 5 6 .計(jì)算行列式

6、 4 3 2 1 1 0 2 4 a 5 2 4 3 2 1 4 3 7 2 1 2 a 2 2 （） 1 4 （） 2 1 5 3 （） 2 3 4 2 a 5 1 4 3 2 0 4 11 12 5 3 1 2 0 3 2 1 1 7 2 5 2 （） 203 29

7、8 399 （） 0 2 3 1 0 1 1 2 0 4 1 4 0 3 2 3 0 2 3 5 0 .用行列式的性質(zhì)證明： a2 ab b 2 a1 b1 b1 c1 c1 a1 a1 b1 c1 （） 2a a b 2b (a b) 3 （） a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 a2

8、 b2 c2 1 1 1 a3 b3 b3 c3 c3 a3 a3 b3 c3 . 試 求 下 列 方 程 的 根 ： 6 5 3 1 1 2 3 1 2 x 2 2 3 3 2 2 0 0 （ ） （ ） 3 1 5 2 2 2 2 3 1 9 x2 .計(jì) 算 下 列 行 列 式 3 7 2

9、4 ab ac ae 2 5 1 3 bd cd de （ ） 3 1 2 （ ） 1 bf cf ef 4 6 3 8 5 5 3 4 2 a1 a1 0 0 0 4 4 3 6 3 0 a2 a2 0 0 （ ） 3 1 5 9 5 （ ） 7 7 6 8 4 0 0 0 an a

10、n 5 3 2 1 2 1 1 1 1 1 2 / 58 x a a b 0 0 0 a a b 0 0 a x 0 a （ ） （） a a 0 0 0 a b x 0 0 0 a b 習(xí) 題 1． 解下列方程組 5x1 2x2 3x3 2 x1 x2 x3 x4 5 x1 2

11、x2 x3 4x4 2 （） 2x1 2x2 5x3 0 （） 2x1 3x2 x3 5x4 2 3x1 4x2 2x3 10 3x1 x2 2x3 11x4 0 2． 取何值時，下列齊次線性方程組可能有非零： x1 x2 kx3 0 kx1 x2 x3 0 () x1 kx2 x3 0 () x1 kx 2 x3 0 x1 x2 2x3 0 3x1 x2 x3 0

12、 習(xí) 題 五 ．計(jì)算下列行列式 4 0 0 5 1 0 2 0 1 1 1 0 0 3 1 1 4 3 6 （） a b c （） ， （） 1 2 0 0 0 2 5 3 a2 b 2 c 2 0 1 0 3 3 1 1 0 3 1 1 2 1 a1 a2 an 5 1 3 4 （） Dn 1 1

13、 a1 b1 a2 an （） 2 0 1 ， 1 1 5 3 3 1 a1 a2 an bn ．用克萊姆法則解線性方程 2x1 x2 x3 4 x1 x2 x3 5 2x1 x2 x3 x4 1 （） 3x1 4x2 2x3 11 () x1 2x2 x3 x4 2 3x

14、1 2x2 4x3 11 x1 2x3 3x4 3 ．當(dāng) λ 為何值時，方程組 x1 x2 x3 0 x1 2x2 x3 0 x1 x2 x3 0 可能存在非零解？ 3 / 58 .證明下列各等式 a 2 ab

15、b2 () 2a a b 2b ( a b)2 1 1 1 a 2 (a 1)2 (a 2) 2 () b2 (b 1)2 (b 2) 2 4(b a)(c a)(b c) c 2 (c 1) 2 (c 2) 2 1 1 1 1 a b c d () a 2 b 2 c 2 d 2 a 4 b 4

16、 c 4 d 4 (a b)( a c)(a d )(b c)(b d )(c d )(a b c d ) .試求一個次多項(xiàng)式 f (x) ,滿足 f (1) 0, f ( 1) 1, f (2) 1 . 第章矩陣 習(xí) 題 ．設(shè) 2 4 1 1 3 1 0 1 2 A 3 ， B 2 0 ， C 3 1 ， 0 5 5 3 求 3A。 ．已知 2 1 3 1 2 2 2 2 3X 3 0 0

17、 0 1 1 求矩陣。 ．計(jì)算下列矩陣 2 1 1 0 0 2 1 （） 1 1 3 2 ， （） 2 1 3 3 ，（） 0 1 0 4 3 3 2 0 0 1 7 9 1 3 1 2 1 4 3 0 1 2 1 1 2 （） 1 3 4 1 3 ，（） 1 2 1 2 1 1 3 0 2 3 2 ．設(shè)

18、 4 / 58 1 1 1 1 2 1 A 1 1 1 ， B 1 3 1 1 1 1 2 1 2 求（）―； （） ―； （）（ ―）（）；（）― ．已知 2 1 1 A 3 1 2 1 1 0 設(shè) （） ―― ，求（）。 ．如果 A 1 (B E) ，證明的充要條件是。 2 1 2 1 1 5 7 ．設(shè) A 3 1 2 B 5 2 3 0 2 0 7 3 1 () 計(jì)算行列式 (

19、2A―)的值 . () 求行列式 ―. .證明： (). 習(xí) 題 用分塊矩陣的乘法計(jì)算下列各題 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 A 0 0 2 1 0 B 1 0 1 0 2 0 0 1 2 1 0 1 1 2 1 0 0 1 0 1 3 2 1 1 1 求 . 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0

20、 . A 0 0 B 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 求 . 習(xí) 題 .用 A 1 A * 求矩陣的逆矩陣 | A | a b 1 2 3 A 0 1 2 () A , 其中―≠ ;() c d 0 0 1 5 / 58 1 2 3 0 0 1 () A1 1 1 () A 0 2 0 3 1 1 1 0 0

21、 3 . 用矩 的初等 求逆矩 2 0 7 () A 1 4 5 () 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 () 1 1 () 1 1 1 1 1 1  1 3 5 7 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1 3 2 0 1 0 2 2 1 1 2 3 2 0 1 2 1 . 設(shè) ,其中 方 大于的某個正整數(shù) ,

22、 明 ( )? . .解下列矩 方程 2 5 4 6 1 1 1 1 1 1 () 0 2 2 X1 1 0 () X 2 1 1 3 1 1 0 2 1 4 0 1 0 1 0 0 1 4 3 () 1 0 0 X 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0

23、 1 0 1 2 0 .若 非退化矩 ,并且 , ： 。 習(xí) 題 .求下列矩 的秩 3 1 0 2 3 2 1 3 2 () 1 1 2 1 () 2 1 3 1 3 1 3 4 4 7 0 5 1 8 1 1 2 2 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0

24、 2 1 5 1 () 0 1 1 0 0 () 0 3 1 3 2 0 0 1 1 0 1 1 0 4 1 0 1 0 1 1 . 能否適當(dāng) 取矩 6 / 58 1 2 1 3 A 3 6 3 9 2 4 2 k 中的的值 ,使 () (),() (),() (). .試證明： A

25、O r r ( A) r ( B) . O B 習(xí) 題 1 2 u 1 2 w . 設(shè) A3 x , B v 3 , C 1 3 , 且 , 求 ，，，，，。 4 y 2 5 t 2 1 3 1 1 0 n 0 ．計(jì)算（） 0 1 ；（） 0 1 0 （ >） 0 0 0 0 1 . 求逆矩陣 : 3 2 1 3 2 0 1 0 2 2 1

26、 () 3 1 5 () 1 2 3 2 3 2 3 0 1 2 1 . 求矩陣的秩 : 3 1 0 2 1 1 2 2 1 0 2 1 5 1 () 1 1 2 1 ; () 2 0 3 1 3 1 3 4 4 1 1 0 4 1

27、 4 2 3 . 已知矩陣 A 1 1 0 1 2 3 () 設(shè) -2A,求 . () 設(shè) ,求 . 1 0 0 1 2 3 .已知 ,其中 B 0 0 0 , P 0 1 2 ,求與 . 0 0 1 0 0 1 .設(shè)為階方陣 * 為的伴隨

28、矩陣為的轉(zhuǎn)置矩陣為的逆矩陣 ,若行列式 , () 求行列式 | ( 1 AT ) 1 (3 A)* |的值 . 2 7 / 58 () 求行列式 | ( 1 A)* |. 2 .設(shè)是階方陣是階單位矩陣是可逆矩陣 ,且 ()()(), 求 ( ()). .證明 a b c 2 d

29、 b a d c c d a b d c b a a 2 b 2 c 2 d 2 0 0 0 0 a 2 b 2 c2 d 2 0 0 0 0 a2 b2 c2 d 2 0 0 0 0 a 2 b2 c 2 d 2 .設(shè)為階滿秩方陣 (≥ )* 為的伴隨矩陣 ,求證 (* )* － 2 A.

30、 第章線性方程組 習(xí) 題 、判斷下列方程組是否有解，若有解，用高斯消元法求出一般解。 4x1 2x2 x3 2 2 x1 x2 x3 x4 1 （） 3x1 x2 2x3 10 （） 4 x1 2x2 2x3 x4 2 11x1 3x2 8 2x1 x2 x3 x4 1 2x1 3x2 x3 4 2x1 x2 x3 x4 1 x1 2x2 4x3 5 3x1 2x2 x3 3x4 4 （） 8x2 2x3

31、13 （） 3x1 x1 4x2 3x3 5x4 2 4x1 x2 9x3 6 3x1 5x2 x3 2x4 0 ．求齊次線性方程組 2x1 3x2 5x3 x4 0 的通解。 x1 7x2 4 x3 3x4 0 4x1 15x2 7 x3 9x4 0 ．問取何值時，線性方程組 kx1 x2 x3 1 x1 kx2 x3 k x1 x2 kx3 k 2 無解？有唯一解？有無窮多個解？有解時并求出它的解。 ．當(dāng)取何值時，線性方程組 8 / 58