高等代數(shù) 北大三版 第一章 ppt

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1、高等代數(shù)1多項(xiàng)式 第 一 章 多 項(xiàng) 式n學(xué)時(shí)：28學(xué)時(shí)n教學(xué)方法和手段 p 由于多項(xiàng)式與整數(shù)在許多方面有相似之處，因此在建立多項(xiàng)式分解理論時(shí)要注意與整數(shù)理論作對(duì)比。n基本內(nèi)容和教學(xué)目的p本章主要討論一元多項(xiàng)式的概念和運(yùn)算，建立多項(xiàng)式因式分解理論，并討論與之有密切關(guān)系的求根問(wèn)題。這是中學(xué)有關(guān)知識(shí)的加深和擴(kuò)充。n本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)p重點(diǎn):一元多項(xiàng)式的因式分解理論.p難點(diǎn):最大公因式的概念,多項(xiàng)式的整除,互素和不可約多項(xiàng)式等概念之間的聯(lián)系與區(qū)別. 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 1.1 數(shù) 環(huán) 和 數(shù) 域 研 究 數(shù) 學(xué) 問(wèn) 題 常 常 需 要 明 確 規(guī) 定 所 考 慮 的 數(shù) 的范 圍 ， 學(xué) 習(xí) 數(shù) 學(xué) 也

2、 是 如 此 。 比 如 ， 先 學(xué) 習(xí) 自 然 數(shù) ， 然 后 整 數(shù) ， 再 正 有 理 數(shù) 、有 理 數(shù) 、 實(shí) 數(shù) 、 復(fù) 數(shù) 。 再 比 如 討 論 多 項(xiàng) 式 的 因 式 分解 、 方 程 的 根 的 情 況 ， 都 跟 數(shù) 的 范 圍 有 關(guān) 。例 如 2 2x 在 有 理 數(shù) 范 圍 內(nèi) 不 能 分 解 ， 在 實(shí) 數(shù) 范 圍 內(nèi)就 可 以 分 解 。2 1 0 x 在 實(shí) 數(shù) 范 圍 內(nèi) 沒(méi) 有 根 ， 在 復(fù) 數(shù) 范 圍 內(nèi) 就有 根 。 等 等 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 我 們 目 前 學(xué) 習(xí) 的 解 析 幾 何 ， 數(shù) 學(xué) 分 析 都 是 在 實(shí) 數(shù)范 圍 內(nèi) 來(lái) 討 論

3、問(wèn) 題 的 。 但 在 高 等 代 數(shù) 中 ， 通 常 不 做這 樣 的 限 制 。 在 代 數(shù) 中 ， 我 們 主 要 考 慮 一 個(gè) 集 合 中 元 素 的 加 減乘 除 運(yùn) 算 （ 即 代 數(shù) 運(yùn) 算 ） 是 否 還 在 這 個(gè) 集 合 之 中代 數(shù) 運(yùn) 算 ： 設(shè) A是 一 個(gè) 非 空 集 合 ， 定 義 在 A上 的 一 個(gè) 代 數(shù) 運(yùn) 算 是 指 存 在 一 個(gè) 法 則 ， 它 使 A中 任 意 兩 個(gè) 元 素 都 有 A中 一 個(gè) 元 素 與 之 對(duì) 應(yīng) 。 A A（ 即 運(yùn) 算 是 否 封 閉 ） 。運(yùn) 算 封 閉 ： 如 果 集 合 中 任 兩 個(gè) 元 素 做 某 一 運(yùn) 算

4、 后 的 結(jié) 果 仍 在 這 個(gè) 集 合 中 ， 則 稱 該 集 合 對(duì) 這 個(gè) 運(yùn) 算 封 閉 。 例 如 兩 個(gè) 整 數(shù) 的 和 、 差 、 積 仍 是 整 數(shù) ， 但 兩 個(gè)整 數(shù) 的 商 就 不 一 定 是 整 數(shù) ， 這 證 明 整 數(shù) 集 對(duì) 加 、 減 、乘 三 種 運(yùn) 算 封 閉 ， 但 對(duì) 除 法 并 不 封 閉 ； 而 有 理 數(shù) 集對(duì) 加 、 減 、 乘 、 除 （ 除 數(shù) 不 為 0） 四 種 運(yùn) 算 都 封 閉 。同 樣 ， 實(shí) 數(shù) 集 、 復(fù) 數(shù) 集 對(duì) 加 、 減 、 乘 、 除 四 種 運(yùn) 算都 封 閉 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 根 據(jù) 數(shù) 對(duì) 運(yùn) 算 的 封 閉

5、情 況 ， 我 們 把 數(shù) 集 分 為 兩 類 ：數(shù) 環(huán) 和 數(shù) 域 。 一 、 數(shù) 環(huán)設(shè) S是 由 一 些 復(fù) 數(shù) 組 成 的 一 個(gè) 非 空 集 合 ，如 果 對(duì) ,a b S ， 總 有 , ,a b a b a b S 則 稱 S是 一 個(gè) 數(shù) 環(huán) 。整 數(shù) 集 Z， 有 理 數(shù) 集 Q， 實(shí) 數(shù) 集 R， 復(fù) 數(shù) 集C都 是 數(shù) 環(huán) 。例 如 ：1、 除 了 Z 、 Q、 R、 C外 是 否 還 有 其 他 數(shù) 環(huán) ？問(wèn) 題 ： 2、 有 沒(méi) 有 最 小 的 數(shù) 環(huán) ？例 1： 設(shè) a是 一 個(gè) 確 定 的 整 數(shù) 。 令 S na n Z 定 義 1： 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 則 S是

6、一 個(gè) 數(shù) 環(huán) 。特 別 ， 當(dāng) a=2時(shí) ， S是 全 體 偶 數(shù) 組 成 的 數(shù) 環(huán) 。當(dāng) a=0時(shí) ， 0S ， 即 只 包 含 一 個(gè) 零 組 成 的 數(shù)環(huán) ， 這 是 最 小 的 數(shù) 環(huán) ， 稱 為 零 環(huán) 。問(wèn) 題 ： 3、 一 個(gè) 數(shù) 環(huán) 是 否 一 定 包 含 0元 ？4、 除 了 零 環(huán) 外 ， 是 否 還 有 只 含 有 限 個(gè) 元 素 的數(shù) 環(huán) ？例 2： 證 明 2, , 1Z i a bi a b Z i 是 一 個(gè) 數(shù) 環(huán) 。問(wèn) 題 ： 5、 除 了 定 義 之 外 ， 判 斷 一 個(gè) 集 合 是 數(shù) 環(huán)有 沒(méi) 有 其 他 簡(jiǎn) 單 的 方 法 ？ 高等代數(shù)1多項(xiàng)式

7、定 理 1.1.1： 設(shè) S是 一 個(gè) 非 空 數(shù) 集 ， S是 數(shù) 環(huán) 的 充要 條 件 是 S中 任 兩 個(gè) 數(shù) 的 差 和 積 仍 在 S中 。二 、 數(shù) 域定 義 2： 設(shè) F是 一 個(gè) 含 有 不 等 零 的 數(shù) 的 數(shù) 集 ， 如 果 F定 義 2： 設(shè) F是 一 個(gè) 數(shù) 環(huán) ， 如 果 F內(nèi) 含 有 一 個(gè) 非, ,a b F 0b零 數(shù) ； 對(duì) 且 ， 則 a b F則 稱 F是 一 個(gè) 數(shù) 域 。有 理 數(shù) 集 Q， 實(shí) 數(shù) 集 R， 復(fù) 數(shù) 集 C都 是 數(shù) 域 ，例 如 ：則 稱 F是 一 個(gè) 數(shù) 域 。 中 任 兩 個(gè) 數(shù) 的 和 、 差 、 積 、 商 （ 除 數(shù) 不

8、 為 0） 仍 在 F中 ，且 是 三 個(gè) 最 重 要 的 數(shù) 域 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 問(wèn) 題 ： 6、 數(shù) 域 與 數(shù) 環(huán) 之 間 有 什 么 關(guān) 系 ？ 例 2中 的 數(shù)集 是 不 是 數(shù) 域 ？ 7、 除 了 Q、 R、 C外 ， 是 否 還 有 其 他 的 數(shù) 域 ？例 3： 證 明 2 2 ,Q a b a b Q 是 一 個(gè) 數(shù) 域 。證 明 要 點(diǎn) ：0 2 cd Qd 設(shè) 2 0 2 0c d c d （ 否 則 當(dāng) 0 0d c 矛 盾 ；當(dāng) ， 也 矛 盾 ） 。 于 是 1 1 1 12 22 2, ,2 2 2a b c da b a b a b Qc d c d c

9、 d 先 證 2Q 有 一 個(gè) 非 零 元 1 1 0 2 對(duì) 加 、 減 、 乘 封 閉 。 再 證 除 法 封 閉 ：， 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 8、 一 個(gè) 數(shù) 域 必 包 含 哪 兩 個(gè) 元 素 ？問(wèn) 題 ： 9、 最 小 的 數(shù) 域 是 什 么 ？定 理 1.1.2： 任 何 數(shù) 域 都 包 含 有 理 數(shù) 域 Q。證 明 ： 設(shè) F是 一 個(gè) 數(shù) 域 ， 則 , 0.a F a 于 是 0 , 1 .a a F a a F 1 1 2,1 2 3,1 3 4, , N F 0 1 1,0 2 2,0 3 3, , Z F 對(duì) , 0, , , ,ax Q x x a b Zb 故 , .

10、x F Q F 10、 在 判 斷 一 個(gè) 數(shù) 集 是 不 是 數(shù) 域 時(shí) ， 實(shí) 際 上問(wèn) 題 ： 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 要 檢 驗(yàn) 幾 種 運(yùn) 算 ？設(shè) F是 一 個(gè) 含 有 非 零 數(shù) 的 數(shù) 集 ， 則 F定 理 1.1.3：?jiǎn)?題 ： 11、 在 Q與 R之 間 是 否 還 有 別 的 數(shù) 域 ？ 在 R與 C之 間 是 否 有 別 的 數(shù) 域 ？例 ： 對(duì) 任 意 素 數(shù) P， ,Q P a b p a b Q 是 一 個(gè) 數(shù) 域 。 Q Q P R 在 R與 C之 間 不 可 能 有 別 的 數(shù) 域 。設(shè) 有 數(shù) 域 F， 使 R F C ， 故, , ,x F x R x C 設(shè)

11、x=a+bi， 且 0b數(shù) 不 為 零 ） 仍 屬 于 F。是 一 個(gè) 數(shù) 域 的 充 要 條 件 是 F中 任 兩 個(gè) 數(shù) 的 差 與 商 （ 除 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 （ 若 b=0， 則 x a R ， 矛 盾 ） 。, , , , ,a b R a b F bi F bi b i F 可 見(jiàn) F=C。問(wèn) 題 ： 12、 設(shè) 1S 和 2S 是 數(shù) 環(huán) ， 試 問(wèn) 1 2 1 2,S S S S 是 不 是 數(shù) 環(huán) ？ 若 是 ， 給 出 證 明 ，若 不 是 舉 出 反 例 。若 1S 和 2S 是 數(shù) 域 情 況 又 如 何 ？ 2 1 22 , , 3 ,S S a b a b Q S

12、 a b a b Q 1S 不 是 數(shù) 域 ,反 例 : 兩 個(gè) 數(shù) 域 的 并 ， 不 一 定 是 數(shù) 域 ， 能 不 能 找 出 兩個(gè) 數(shù) 域 的 并 是 一 個(gè) 數(shù) 域 的 充 要 條 件 并 證 明 之 。（ 1 2,F F 是 數(shù) 域 ， 則 1 2F F 是 數(shù) 域 的 充 要 條 件 是 1 2F F 或 2 1F F ） 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 1.2 一 元 多 項(xiàng) 式 的 定 義 和 運(yùn) 算 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 一 、 多 項(xiàng) 式 的 概 念 中 學(xué) 多 項(xiàng) 式 的 定 義 ： n個(gè) 單 項(xiàng) 式 （ 不 含 加 法 或 減法 運(yùn) 算 的 整 式 ） 的 代 數(shù) 和 叫 多 項(xiàng)

13、式 。例 ： 4a+3b， 23 2 1,x x 3 1.2 5y 在 多 項(xiàng) 式 中 ， 每 個(gè) 單 項(xiàng) 式 叫 做 多 項(xiàng) 式 的 項(xiàng) 。 這 是形 式 表 達(dá) 式 。后 來(lái) 又 把 多 項(xiàng) 式 定 義 為 R上 的 函 數(shù) ： 0 1 nnf x a a x a x 但 對(duì) 這 兩 種 定 義 之 間 有 什 么 聯(lián) 系 在 中 學(xué) 代 數(shù) 中并 沒(méi) 有 交 代 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 問(wèn) 題 ： 1、 高 等 代 數(shù) 中 采 用 什 么 觀 點(diǎn) 定 義 多 項(xiàng) 式 ？ 2、 多 項(xiàng) 式 的 形 式 觀 點(diǎn) 與 多 項(xiàng) 式 的 函 數(shù) 觀 點(diǎn)是 否 矛 盾 ？定 義 1： 設(shè) x是 一 個(gè)

14、 文 字 （ 或 符 號(hào) ） ， n是 一 個(gè) 非 負(fù) 整 數(shù)形 式 表 達(dá) 式 0 1 0nn in iia a x a x a x （ 2.1）其 中 0 1, , , na a a F ， 稱 為 數(shù) 域 F上 的 一 元 多 項(xiàng) 式 。常 數(shù) 項(xiàng) 或零 次 項(xiàng) 首 項(xiàng)首 項(xiàng) 系 數(shù)na 0na ia 稱 為 i次 項(xiàng) 系 數(shù) 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 高 等 代 數(shù) 中 采 用 形 式 觀 點(diǎn) 定 義 多 項(xiàng) 式 ， 它 在 兩 方面 推 廣 了 中 學(xué) 的 多 項(xiàng) 式 定 義 ： 這 里 x不 再 局 限 為 實(shí) 數(shù) 而 是 任 意 的 文 字 或 符 號(hào) 。 系 數(shù) 可 以 是 任 意

15、 數(shù) 域 。例 1.2.1： 2 31 2 3 9f x x x x 是 Q上 多 項(xiàng) 式 ； 23 2f x x x 是 R上 多 項(xiàng) 式 ； 23 5f x ix x 是 C上 多 項(xiàng) 式 。32 31 3 2, , 1x xx axx x 都 不 是 多 項(xiàng) 式 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 定 義 2： ,f x g x 是 兩 個(gè) 多 項(xiàng) 式 ， f x g x除 系 數(shù) 為 0的 項(xiàng) 之 外 ， 同 次 項(xiàng) 的 系 數(shù) 都 相 等 。 多 項(xiàng) 式 的 表 法 唯 一 。方 程 0 1 0nna a x a x 是 一 個(gè) 條 件 等 式 而 不 是兩 個(gè) 多 項(xiàng) 式 相 等 。定 義 3：

16、 設(shè) 0 1 , 0,nn nf x a a x a x a 非 負(fù) 整 數(shù) n稱 為 f x 的 次 數(shù) ， 記 為 ： .f x n 最 高 次 項(xiàng) ，亦 稱 為 首 項(xiàng) 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 例 1.2.2： 23 2 1, 2,f x x x f x 3, 0f x f x 零 次 多 項(xiàng) 式 ： 次 數(shù) 為 0的 多 項(xiàng) 式 即 非 零 常 數(shù) 。零 多 項(xiàng) 式 ： 系 數(shù) 全 為 0的 多 項(xiàng) 式 。 對(duì) 零 多 項(xiàng) 式 不個(gè) 多 項(xiàng) 式 不 是 零 多 項(xiàng) 式 。首 一 多 項(xiàng) 式 ： 首 項(xiàng) 系 數(shù) 為 1的 多 項(xiàng) 式 。二 、 多 項(xiàng) 式 的 運(yùn) 算定 義 4： 設(shè) 0 1

17、 nnf x a a x a x 0 1 mmg x b b x b x 是 數(shù) 域 F上 次 數(shù) 分 別定 義 次 數(shù) ， 因 此 ， 在 談 論 多 項(xiàng) 式 的 次 數(shù) 時(shí) ， 意 味 著 這 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 為 n和 m的 兩 個(gè) 多 項(xiàng) 式 m n ， 則 f x 與 g x 的 和 f x g x 為 ： 0 0 1 1 m nm m n na b a b x a b x a b x 0n ii ii a b x 。 當(dāng) mn時(shí) ， 取 。1 0m nb b f x g x f x g x 0n ii ii a b x 定 義 5： 設(shè) ,f x g x 如 上 ， g x與 f

18、x 的 積 為 0 1 n mn mf x g x c c x c x 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 0 1 1 1 1 0 ,k k k k k i ji j kc a b ab a b a b ab 0n m ki jk i j kf x g x ab x 例 1.2.3： 設(shè) 2 3 23 4 5, 2 1f x x x g x x x x 3 25 5 6f x g x x x x 5 4 323 4 6 5 8 310 4 3 5 4 5f x g x x x xx x 其 中 0,1, , .k n m 相 乘 積 的 和 作 為 kx 的 系 數(shù) 。 得 ：把 中 兩 個(gè) 系 數(shù) 下 標(biāo) 之

19、 和 為 k的 對(duì) 應(yīng) 項(xiàng) ,f x g x 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 多 項(xiàng) 式 的 運(yùn) 算 （ 加 、 減 、 乘 ） 滿 足 以 下 運(yùn) 算 規(guī) 律 ：加 法 交 換 律 ： f x g x g x f x 加 法 結(jié) 合 律 ： f x g x h x f x g x h x 乘 法 交 換 律 ： f x g x g x f x 乘 法 結(jié) 合 律 ： f x g x h x f x g x h x 乘 法 對(duì) 加 法 的 分 配 律 ： f x g x h x f x g x f x h x 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 下 面 證 明 多 項(xiàng) 式 乘 法 滿 足 結(jié) 合 律 。證 ： 設(shè) 30 0

20、0, ,n m li ki j ki j kf x a x g x b x h x c x 現(xiàn) 證 f x g x h x f x g x h x這 只 要 比 較 兩 邊 同 次 項(xiàng) （ 比 如 t次 項(xiàng) 系 數(shù) ） 相 等 即 可 。 左 邊 f x g x 中 S次 項(xiàng) 的 系 數(shù) 是 ： i ji j sab 左 邊 f x g x h x t次 項(xiàng) 的 系 數(shù) 是 ：i j k i j kk s t i j s i j k tab c ab c 右 邊 g x h x 中 r次 項(xiàng) 的 系 數(shù) 是 ： j k j k rb c 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 右 邊 f x g x h x 的 t

21、次 項(xiàng) 的 系 數(shù) 是 ：i j k i j ki r t j k r i j k ta b c ab c 左 、 右 兩 邊 同 次 項(xiàng) 的 系 數(shù) 相 等 ， 乘 法 滿 足 結(jié) 合 律 。三 、 多 項(xiàng) 式 的 次 數(shù) 定 理定 理 2.1.1： 設(shè) 0, 0f x g x 當(dāng) 0f x g x 時(shí) ， 則 m ax ,f x g x f x g x f x g x f x g x 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 證 ： 設(shè) 0 1 , 0,nn nf x a a x a x a f n 0 1 , 0,mm mg x b b x b x b g m 當(dāng) ,m n 令 1 0m nb b 0n ii

22、iif x g x a b x f x g x n 0 ,n m ki ik i j kf x g x ab x 0, 0 0n m n ma b a b 0f x g x f x g x n m 多 項(xiàng) 式 乘 法 沒(méi) 有 零 因 子 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 推 論 1： 若 0 0 0f x g x f x x 或 g證 ： 若 f=0或 g=0， 則 必 有 fg=0。反 之 ， 若 0, 0f x g x 0f x g x f x g x 0f x g x ， 矛 盾 。乘 法 消 去 律 成 立 。推 論 2： 若 f x g x f x h x 且 0f x 則 g x h x證 ：

23、 0f x g x h x 由 于 0f x 故 0g x h x 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 定 義 5： F x F 數(shù) 域 上 所 有 一 元 多 項(xiàng) 式 全 體 nF x 次 數(shù) 小 與 n的 一 元 多 項(xiàng) 式 全 體 +零 多 項(xiàng) 式對(duì) 多 項(xiàng) 式 的 加 、 減 、 乘 法 是 否 封 閉 ？上 的 多 項(xiàng) 式 環(huán) 。對(duì) 多 項(xiàng) 式 的 加 、 減 、 乘 法 封 閉 ， 故 稱 為 數(shù) 域 F F x nF x 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 1.3 整 除 性 理 論 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 一 、 多 項(xiàng) 式 整 除 的 概 念 多 項(xiàng) 式 的 整 除 性設(shè) ,f x g x F x h x F x，

24、若 存 在 ， 使 g x f x g x h x ， 則 說(shuō) 整 除 f x ， 記 為 ： g x f x ， 記 為 ： 。 g x f x當(dāng) g x f x 時(shí) ， f x g x 稱 作 的 因 式 ， f x 稱 作 g x 的 倍 式 。 整 除 的 基 本 性 質(zhì)性 質(zhì) 1：否 則 就 說(shuō) g x f x不 能 整 除 ,h x g x g x f x若 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 則 h x f x 。 （ 傳 遞 性 ）證 ： , ,h x g x g x f x 1 2,m x m x F x 使 1 ,g x h x m x 2 1 2f x g x m x h x m x m

25、x h x f x性 質(zhì) 2： 若 ,h x g x h x f x ， 則 。 h f g證 ： 1 2,g x h x m x f x h x m x 1 2,m x m x F x 1 2 ,f g h x m x m x h x f g 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 性 質(zhì) 3： 若 h x f x ， 對(duì) 。 g x F x h fg有證 ： ,f x h x m x m x F x ,f x g x h x g x m x h x f x g x性 質(zhì) 4： 若 , 1,2, , , ih x f x i m 則 對(duì) , 1,2, ,ig x F x i m 1 1 2 2 m mh x f

26、g f g f g 有性 質(zhì) 5： 若 ,f x g x g x f x則 , .f x c g x c F 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 證 ： , ,g hf f gl f hl 0, ,hl h l 為 常 數(shù) 。性 質(zhì) 6： ,f x F x c F 且 0c 則 ,c f x cf x f x性 質(zhì) 7： ,f x F x f x 零 多 項(xiàng) 式 帶 余 除 法 定 理定 理 1.3.1： 設(shè) ,f x g x F x ， 且 0,g x 則 存 在 , ,q x r x F x 使 得 f x g x q x r x 這 里 r x g x 或 0r x 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 滿 足 條 件 的

27、q x r x和 唯 一 確 定 。商 式 余 式證 ： 先 證 存 在 性 。1、 若 0f x 則 取 0, 0.q x r x 即 知 結(jié) 論 成 立 。2、 設(shè) , ,f x n g x m 對(duì) f x 的 次 數(shù) n， 利 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 。當(dāng) n1時(shí) ， p x 稱 為 f x 的 重 因 式 。如 果 f x 的 標(biāo) 準(zhǔn) 分 解 式 為 ： 1 21 2 ,skk kn sf x a p x p x p x 則 1 , , sp x p x 分 別 是 f x 的 因 式 ， 且 分 別 為1, , sk k 重 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 要 求 f x 的 重 因 式 ，

28、只 要 把 f x式 寫 出 即 可 。 但 我 們 還 沒(méi) 有 一 般 的 方 法 把 一 個(gè) 多 項(xiàng)的 標(biāo) 準(zhǔn) 分 解式 分 解 為 不 可 約 因 式 的 乘 積 。 因 此 我 們 應(yīng) 該 找 一 種 直 接 判 斷 多 項(xiàng) 式 是 否 有 重因 式 的 方 法 。 為 此 目 的 要 引 入 多 項(xiàng) 式 導(dǎo) 數(shù) 的 概 念 。定 義 2：的 一 階 導(dǎo) 數(shù) 指 的 是 多 項(xiàng) 式 ： 11 22 nnf x a a x na x （ 形 式 定 義 ） 0 1 nnf x a a x a x 多 項(xiàng) 式一 階 導(dǎo) 數(shù) f x 的 導(dǎo) 數(shù) 稱 為 f x 的 二 階 導(dǎo) 數(shù) ， 記 為

29、 f x 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 f x 的 導(dǎo) 數(shù) 稱 為 f x 的 三 階 導(dǎo) 數(shù) ， 記 為 f x f x 的 k階 導(dǎo) 數(shù) 記 為 ( )kf x多 項(xiàng) 式 的 求 導(dǎo) 法 則 ：1、 ;f x g x f x g x 2、 ;cf x cf x 3、 ;f x g x f x g x f x g x 4、 1 .m mf x mf x f x 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 定 理 1.6.1： 若 不 可 約 多 項(xiàng) 式 p x 是 f x的 k重 因 式 （ k1） ， 則 p x 是 f x式 ， 特 別 多 項(xiàng) 式 f x 的 單 因 式 不 是 f x式 。 證 ： , kf x p x

30、g x 1k kf x kp x p x g x p x g x 1kp x kp x g x p x g x , ,p x g x p x p x 的 k-1重 因的 因 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 ,p x p x g x從 而 ,p x kp x g x p x g x 于 是 p x 是 f x 的 k-1重 因 式 。推 論 1： 若 不 可 約 多 項(xiàng) 式 p x 是 f x 的 k重 因 式不 是 ( )kf x 的 因 式 。證 ： p x 是 f x 的 k-1重 因 式 ， p x 是 f x 的 k-2重 因 式 ， （ k1） ， 則 p x 是 ( 1), , , kf x f

31、 x f x 的 因 式 ， 但 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 p x 是 ( 1)kf x 的 （ k-(k-1)=1） 單 因 式 ，因 而 不 是 ( )kf x 的 因 式 。推 論 2： 不 可 約 多 項(xiàng) 式 p x 是 f x 的 重 因 式 的 f x充 要 條 件 是 p x 是 f x 與 的 公 因 式 。證 ： 必 要 性 由 推 論 1立 得 。充 分 性 ， 若 p x 是 f x 與 f x 的 公 因 式 ， 則 p x 不 是 f x 的 單 因 式 （ 否 則 ， 由 推 論 1知的 因 式 ） ， 故 p x不 是 f x p x 是 f x 的 重 因 式 。推 論

32、 3： f x 無(wú) 重 因 式 的 充 要 條 件 是多 項(xiàng) 式 f x 與 f x 互 素 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 推 論 3表 明 ， 判 別 一 個(gè) 多 項(xiàng) 式 有 沒(méi) 有 重 因 式 ， 可以 利 用 輾 轉(zhuǎn) 相 除 法 得 到 。 在 討 論 與 解 方 程 有 關(guān) 的 問(wèn) 題 時(shí) ， 常 常 要 求 所 討 論多 項(xiàng) 式 有 沒(méi) 有 重 因 式 。設(shè) 多 項(xiàng) 式 f x 的 標(biāo) 準(zhǔn) 分 解 式 為 ： 1 21 2 ,skk kn sf x a p x p x p x 由 定 理 1得 ： 1 2 11 11 2 ,skk k sf x p x p x p x g x 故 1 2 1

33、1 11 2, .skk k sf x f x p x p x p x 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 于 是 ： 有 沒(méi) 有 重 因 式 ， 只 要 求1、 判 別 f x ,f x f x f x的 最 大 公 因 式 ,d x 的 重 因 式 的 重 數(shù) 恰 好 是 d x f x中 重 因 式 的 重 數(shù) 加 1。 此 法 不 能 求 的 單 因 式 。 1 2, sn f xf x p x p x p xa f x f x Q x例 1.6.1 在 中 分 解 多 項(xiàng) 式 4 3 22 11 12 36f x x x x x f x2、 分 離 重 因 式 ， 即 求 的 所 有 不 可 約 的

34、單因 式 ： 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 2 22 3f x x x 例 1.6.2： 求 多 項(xiàng) 式 3f x px q 有 重 因 式 的 條 件 。3x px q 23x p 13 x3 3px x 1 23pr x x q 13 32 2qr x xp p 3x 2 93 2qx xp92q x pp 92qp0p 229 272 4q qxp p 22274 qp p 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 當(dāng) 1 0r x 時(shí) ， 即 0,p q 這 時(shí) f有 重 因 式 3x 當(dāng) 0p 時(shí) ， 即 3 24 27 0p q 時(shí) ， 3f x x p x q 欲 有 重 因 式 ，只 需 2 227 0,4 qp

35、 p 即 3 24 27 0,p q 重 因 式 是 223p x q 例 1.6.3： 用 分 離 因 式 法 （ 單 因 式 化 法 ） 求 多 項(xiàng) 式 5 4 3 23 5 6 2f x x x x x x 在 Q上 的 標(biāo) 準(zhǔn) 分 解 式 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 解 ： 4 3 25 12 3 10 6,f x x x x x 利 用 輾 轉(zhuǎn) 相 除 法 求 得 ： 2 2, 2 1 1f x f x x x x 把 f x 單 因 式 化 ， 得 3 2 22 2 1 2,f x x x x x xf x f x 由 于 2, 1 ,f x f x x 故 1x 是 f x 的 3重

36、因 式 ， 2 2x 是 f x 的 單 因 式 ，故 f x 在 Q上 的 標(biāo) 準(zhǔn) 分 解 式 為 3 21 2f x x x 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 多 項(xiàng) 式 f x 在 F x 中 沒(méi) 有 重 因 式 ，問(wèn) 題 ： f x 在 F x 中 是 否 也 沒(méi) 有 重 因 式 ？由 于 多 項(xiàng) 式 f x 的 導(dǎo) 數(shù) 以 及 兩 個(gè) 多 項(xiàng) 式 互 素與 否 在 由 數(shù) 域 F過(guò) 渡 到 含 F的 數(shù) 域 F 時(shí) 并 無(wú) 改 變 ，故 f x 有 沒(méi) 有 重 因 式 不 因 數(shù) 域 的 擴(kuò) 大 而 改 變 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 1.7 多 項(xiàng) 式 函 數(shù) 與 多 項(xiàng) 式 的 根 高等代數(shù)1多項(xiàng)式

37、一 、 多 項(xiàng) 式 函 數(shù) 0 1 ,nnf x a a x a x F x 定 義 ： 設(shè) 對(duì) 0 1 nnf c a a c a c F ,c F 數(shù) 稱 為 當(dāng)F中 的 根 或 零 點(diǎn) 。 ,f x F x 定 義 （ 多 項(xiàng) 式 函 數(shù) ） ： 設(shè) 對(duì) ,c F 作 映 射 f： c f c F 為 F上 的 多 項(xiàng) 式 函 數(shù) 。 0,f c x c 時(shí) f x 的 值 ， 若 則 稱 c為 f x 在 ,f x映 射 f確 定 了 數(shù) 域 F上 的 一 個(gè) 函 數(shù) f x 被 稱 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 當(dāng) F=R時(shí) ， f x 就 是 數(shù) 學(xué) 分 析 中 所 討 論 的 多 項(xiàng)式 函

38、數(shù) 。若 , ,u x f x g x v x f x g x 則 , .u c f c g c v c f c g c 二 、 余 式 定 理 和 綜 合 除 法所 得 的 余 式 是 。用 一 次 多 項(xiàng) 式 x-c去定 理 1.7.1（ 余 式 定 理 ） ：除 多 項(xiàng) 式 ,f x f c證 ： 由 帶 余 除 法 ： 設(shè) ,f x x c q x r 則 。 r f c 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 問(wèn) 題 1、 有 沒(méi) 有 確 定 帶 余 除 法 ： f x x c q x r 的 簡(jiǎn) 單 方 法 ？中 q x 和 r設(shè) 10 1 1n n n nf x a x a x a x a 1 2 0

39、 1 2 1n n n nq x b x b x b x b 10 1 0 1 2 1.n n n n nx c q x r b x b cb x b cb x r cb 把 ,f x q x 代 入 f x x c q x r 中 展 開(kāi) 后 比 較 方 程 兩 邊 的 系 數(shù) 得 ：0 0a b 0 0b a 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 1 1 0a b cb 1 1 0b a cb 2 2 1a b cb 2 2 1b a cb 1 1 2n n na b cb 1 1 2n n nb a cb 1n na r cb 1n nr a cb 因 此 ， 利 用 f x 與 q x 之 間 的 系 數(shù)

40、 關(guān) 系 可 以 方 便 q x 和 r， 這 就 是 下 面 的 綜 合 除 法 ：0 1 2 1n na a a a a c 0 0b a 0cb1b 1cb2b 2ncb 1nb 1ncb r 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 于 是 得 1 20 1 2 1,n n n nq x b x b x b x b 1.n nr a cb 去 除例 1.7.1： 求 用 2x 5 3 22 8 5f x x x x x 的 商 式 和 余 式 。解 ： 由 綜 合 除 法1 0 1 2 8 5 2 1 22 45 10 8 1624 4853因 此 4 3 22 5 8 24q x x x x x 53r 高

41、等代數(shù)1多項(xiàng)式 利 用 綜 合 除 法 求 q x 與 r時(shí) 應(yīng) 注 意 ：1、 多 項(xiàng) 式 系 數(shù) 按 降 冪 排 列 ， 有 缺 項(xiàng) 必 須 補(bǔ) 上 零 ；2、 除 式 x b 要 變 為 x b 5 3 22 8 5f x x x x x 例 1.7.2： 把 表 成 2x的 方 冪 和 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 定 理 1.7.2（ 因 式 定 理 ） ： x c因 式 的 充 要 條 件 是 。 0f c 證 明 ： 設(shè) ,f x x c q x r 若 0,f c 即 0,r 故 x c 是 f x 的 一 個(gè) 因 式 。若 f x 有 一 個(gè) 因 式 ,x c 即 ,x c f x故

42、 0,r 此 即 。 0f c 由 此 定 理 可 知 ， 要 判 斷 一 個(gè) 數(shù) c是 不 是 f x 的 根 ，可 以 直 接 代 入 多 項(xiàng) 式 函 數(shù) ， 看 f x 是 否 等 于 零 ； 也 可以 利 用 綜 合 除 法 來(lái) 判 斷 其 余 數(shù) 是 否 為 零 。 f x多 項(xiàng) 式 有 一 個(gè) 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 三 、 多 項(xiàng) 式 的 根x c定 義 3： 若 是 f x 的 一 個(gè) k重 因 式 ， 即 有 ,kx c f x 但 1 ,kx c f x x c則 是 f x的 一 個(gè) k重 根 。 f x問(wèn) 題 2、 若 多 項(xiàng) 式 有 重 根 ， 能 否 推 出 f x f

43、x有 重 因 式 ， 反 之 ， 若 有 重 因 式 ， 能 否 說(shuō) f x有 重 根 ？由 于 多 項(xiàng) 式 f x 有 無(wú) 重 因 式 與 系 數(shù) 域 無(wú) 關(guān) ， 而 f x f x 有 無(wú) 重 根 與 系 數(shù) 域 有 關(guān) ， 故 有 重 根 f x 有 重 因 式 ， 但 反 之 不 對(duì) 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 定 理 1.7.3（ 根 的 個(gè) 數(shù) 定 理 ） ： 0n n數(shù) 域 F上次 多 項(xiàng) 式 至 多 有 n個(gè) 根 （ 重 根 按 重 數(shù) 計(jì) 算 ） 。證 明 （ 用 歸 納 法 ） ：當(dāng) 0n 時(shí) 結(jié) 論 顯 然 成 立 ，假 設(shè) 當(dāng) f x 是 1n 次 多 項(xiàng) 式 時(shí) 結(jié) 論 成

44、 立 ，則 當(dāng) f x 是 n次 多 項(xiàng) 式 時(shí) ，設(shè) c F 是 f x 的 一 個(gè) 根 ， 則 有 f x x c q x q x 是 n-1次 多 項(xiàng) 式 ， 由 歸 納 知 q x 至 多 只 有 1n 個(gè) 根 ， 故 f x 至 多 只 有 n個(gè) 根 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 證 二 ： 對(duì) 零 次 多 項(xiàng) 式 結(jié) 論 顯 然 成 立 ，數(shù) 等 于 分 解 式 中 一 次 因 式 的 個(gè) 數(shù) ， 這 個(gè) 數(shù) 目 當(dāng) 然 不定 理 1.7.4： f x超 過(guò) n， 若 在 F中 有 n+1個(gè) 不 同 的 數(shù) 使 與 g x的 值 相 等 ， 則 。 f x g x證 明 ： 令 ,u x

45、f x g x , ,f x g x F x設(shè) 它 們 的 次 數(shù) 都 不若 0,u x 又 ,u x n 把 f x若 f x 是 一 次 數(shù) 0的 多 項(xiàng) 式 ， 分 解 成 f x不 可 約 多 項(xiàng) 式 的 乘 積 ， 這 時(shí) 在 數(shù) 域 F中 根 的 個(gè)超 過(guò) n。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 由 于 F中 有 n+1個(gè) 不 同 的 數(shù) ， 使 f x 與 g x 的 值 相 等 ，故 u x 有 n+1個(gè) 不 同 的 根 ， 這 與 定 理 1.7.3矛 盾 ，故 0,u x 即 f x g x問(wèn) 題 3、 1 2, , , na a a設(shè) 是 F中 n個(gè) 不 同 的 數(shù) ， 1 2, , ,

46、 nb b b 是 F中 任 意 n個(gè) 數(shù) ， 能 否 確 定 一 個(gè) n-1次 多 項(xiàng) f x式 ， 使 , 1,2, ,i if a b i n , 1,2, ,i if a b i n 利 用 定 理 1.7.4可 求 一 個(gè) n-1次 多 項(xiàng) 式 ,f x 使 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 作 函 數(shù) 1 1 11 1 1 1n i i i ni i i i i i i nb x a x a x a x af x a a a a a a a a 則 , 1,2, ,i if a b i n 這 個(gè) 公 式 也 稱 為 Lagrange插 值 公 式 。例 1.7.3： 求 一 個(gè) 次 數(shù) 小 于

47、3的 多 項(xiàng) 式 ,f x使 。 2 7, 1 2, 2 1f f f 解 一 （ 待 定 系 數(shù) 法 ） ： 設(shè) 所 求 的 多 項(xiàng) 式 2 ,f x ax bx c 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 由 已 知 條 件 得 線 性 方 程 組 ：4 2 724 2 1a b ca b ca b c 解 之 得 76322 3abc 解 二 （ 利 用 Lagrange公 式 ） ： 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 利 用 Lagrange插 值 公 式 可 得 ： 7 1 2 2 2 2 2 12 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1x x x x x xf x 2 2 27 2 12 4 3 24 3 12x

48、x x x x 27 3 26 2 3x x 問(wèn) 題 4、 用 形 式 定 義 的 多 項(xiàng) 式 與 用 函 數(shù) 觀 定 義 的 多項(xiàng) 式 是 否 一 致 ？ 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 四 、 多 項(xiàng) 式 相 等 與 多 項(xiàng) 式 函 數(shù) 相 等 的 關(guān) 系 多 項(xiàng) 式 相 等 ： 即 f x g x 對(duì) 應(yīng) 項(xiàng) 的 系 數(shù) 相 同 ； 多 項(xiàng) 式 函 數(shù) 相 等 ： 即 f x g x 對(duì) ,c F 有 .f c g c定 理 1.7.5： f x F x 中 兩 個(gè) 多 項(xiàng) 式 和 g x相 等 的 充 要 條 件 是 它 們 所 確 定 的 在 F上 的 多 項(xiàng) 式 函數(shù) 相 等 。證 明 ： ,

49、若 ,f x g x 它 們 對(duì) 應(yīng) 項(xiàng) 的 系 數(shù),c F 相 同 ， 于 是 對(duì) .f c g c 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 故 這 兩 個(gè) 多 項(xiàng) 式 函 數(shù) 相 等 ； , 若 對(duì) ,c F 有 .f c g c令 ,u x f x g x 此 時(shí) u x 有 無(wú) 窮 多 個(gè) 根 ， 故 0,u x 此 即 。 f x g x 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 1.8 復(fù) 數(shù) 域 和 實(shí) 數(shù) 域 上 的 多 項(xiàng) 式 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 一 、 C上 多 項(xiàng) 式對(duì) 于 F x 上 的 多 項(xiàng) 式 f x ， 它 在 F上 未 必 有 根 ，那 么 它 在 C上 是 否 有 根 ？ 每 一 個(gè) 次 數(shù) 大 于 零

50、的 多 項(xiàng) 式 在 復(fù) 數(shù) 域 上 至 多 有一 個(gè) 根 。定 理 1.8.1（ 代 數(shù) 基 本 定 理 ） ： 任 何 n（ n0） 次 多 項(xiàng) 式 在 C上 有 n個(gè) 根 （ 重 根 按重 數(shù) 計(jì) 算 ） 。定 理 1.8.2：當(dāng) n=1時(shí) 結(jié) 論 顯 然 成 立 。證 ： 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 假 設(shè) 結(jié) 論 對(duì) n-1次 多 項(xiàng) 式 成 立 ， 則 當(dāng) f x f x是 n次 多 項(xiàng) 式 時(shí) ， 由 于 在 C上 至 少 有 一 個(gè) 根 ， 1f x x f x 設(shè) 為 , 則 ， 1f x 是 C上 n-1次多 項(xiàng) 式 。 由 歸 納 假 設(shè) 知 1f x 在 C上 有 n-1個(gè) 根 ，

51、 推 論 1： 復(fù) 數(shù) 域 上 任 一 個(gè) 次 數(shù) 大 于 1的 多 項(xiàng) 式都 是 可 約 的 ， 即 C上 不 可 約 多 項(xiàng) 式 只 能 是 一 次 多項(xiàng) 式 。推 論 2： 任 一 個(gè) n（ n0） 次 多 項(xiàng) 式 f x 在 f x 在 C上 的 根 ， 所 以 f xn個(gè) 根 。它 們 也 是 在 C上 有 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 上 都 能 分 解 成 一 次 因 式 的 乘 積 ， 即 0 1 nnf x a a x a x 的 標(biāo) 準(zhǔn) 分 解 式 是 ： 1 21 2 rk k kn rf x a x x x 其 中 1, , r 是 不 同 的 復(fù) 數(shù) ， 1, , rk k 是

52、自 然 數(shù) 且 1 .r ii k n 韋 達(dá) 定 理 ： 設(shè) 1 2, 是 2ax bx c 的 兩 個(gè) 根 ， 則1 2 1 2,b ca a C x 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 C上 多 項(xiàng) 式 的 根 與 系 數(shù) 關(guān) 系 ：設(shè) 11 1n n n nf x x a x a x a （ 1）是 一 個(gè) n（ n0） 次 多 項(xiàng) 式 ， 則 它 在 C中 有 n個(gè) 根 ， 記 1 2 nf x x x x 11 2 1 21 1n nn nni j ni j nx xx （ 2）比 較 （ 1） 與 （ 2） 的 展 開(kāi) 式 中 同 次 項(xiàng) 的 系 數(shù) ，1 2, , , n 則 為 高等代數(shù)1多項(xiàng)

53、式 得 根 與 系 數(shù) 的 關(guān) 系 為 ： 1 1 na 2 1 2 1 3 1n na 3 1 2 3 1 2 4 2 1n n na 11 1 2 1 1 3 2 31 nn n n na 1 21 nn na 如 果 10 1 1n n n nf x a x a x a x a 根 與 系 數(shù) 的 關(guān) 系 又 如 何 ？ 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 10 1 1n n n nf x a x a x a x a 1 110 0 0 0n n n na aaa x x xa a a 0 1 na x x 1 0 1 na a 2 0 i ja a a a 1 210 ,1 kkkk r r rr ra

54、 a 互不 相 同 0 11 nnn iia a 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 利 用 根 與 系 數(shù) 的 關(guān) 系 ， 可 以 構(gòu) 造 一 個(gè) n次 多 項(xiàng) 式 ，使 其 恰 以 1 2, , , n 為 根 。例 1.8.1：它 以 1和 4為 單 根 ， -2為 2重 根 。求 一 個(gè) 首 項(xiàng) 系 數(shù) 為 1的 4次 多 項(xiàng) 式 ， 使解 ： 設(shè) 4 3 2 1 2 3 4,f x x a x a x a x a 則 1 1 4 2 2 1,a 2 4 2 2 8 8 4 12,a 3 8 8 16 4 4,a 44 1 16 16.a 4 3 212 4 16.f x x x x x 高等代數(shù)1多項(xiàng)

55、式 二 、 實(shí) 數(shù) 域 上 的 多 項(xiàng) 式定 理 1.8.3： f x如 果 是 實(shí) 數(shù) 系 數(shù) 多 項(xiàng) 式 的 與 有 相 同 的 重 數(shù) 。證 ： 設(shè) 1 0 1n n nf x a x a x a 由 于 是 f x 的 根 ，故 有 10 1 0n n na a a 兩 邊 取 共 軛 復(fù) 數(shù) ， 注 意 到 0 1, , , na a a 和 0都 是 實(shí) 數(shù) ，則 有 10 1 1 0n n n na a a a 可 見(jiàn) 也 是 f x 的 根 。 f x非 實(shí) 復(fù) 根 ， 則 的 共 軛 復(fù) 數(shù) 也 是 的 根 ， 且 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 因 此 多 項(xiàng) 式 ： 2g x x x

56、x x 能 整 除 f x ， 即 存 在 多 項(xiàng) 式 ， h x g x使 ,f x g x h x 是 實(shí) 系 數(shù) 多 項(xiàng) 式 ，故 h x 也 是 實(shí) 系 數(shù) 多 項(xiàng) 式 。 f x若 是 的 重 根 ， 由 于 ， 故 必 是 h x 的 根 ， h x 是 實(shí) 系 數(shù) ， 故 也 是 h x 的 根 ， 故 也 是 f x 的 重 根 。與重 復(fù) 應(yīng) 用 這 個(gè) 推 理 方 法 知 的 重 數(shù) 相 同 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 唯 一 地 分 解 為 實(shí) 系 數(shù) 一 次 和 二 次 不 可 約 多 項(xiàng) 式 的1定 理 1.8.4 每 個(gè) 次 數(shù) 的 實(shí) 系 數(shù) 多 項(xiàng) 式 都 可乘 積

57、。 ( )f x( ( ) 1f x 就 是 一 次 因 式 子 ， 結(jié) 論 成 立 。 若 ， ( )f x證 明 ： 的 次 數(shù) 作 數(shù) 學(xué) 歸 納 。對(duì) 假 設(shè) 對(duì) 結(jié) 論 次 數(shù) 0） 次 實(shí) 系 數(shù) 多 項(xiàng) 式 f x具 有 標(biāo) 準(zhǔn) 分 解 式 ： 1 10 12 21 1 r tk krl lt tf x a x b x bx p x q x p x q 2 i ix p x q 不 可 約 ， 即 滿 足2 4 0, 1,2, , .i ip q i t 在 R上 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 例 1.8.2： 設(shè) 1 2 3 4, , , 是 多 項(xiàng) 式 4 3 20 1 2 3 4f x

58、 a x a x a x a x a 的 非 零 根 ，求 以 1 2 3 41 1 1 1, , , 為 根 的 四 次 多 項(xiàng) 式 。解 ：設(shè) 4 3 21 2 3 4g x x b x b x b x b 為 多 求 多 項(xiàng) 式 。 1 1 2 3 40aa 2 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 40aa 3 1 2 3 1 2 4 2 3 4 1 3 40aa 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 4 1 2 3 40aa 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 31 2 3 4 1 2 3 41 1 1 1 30 3 14 40aa a ba aa 2 0 2 21 2 1 3 1 4 2

59、 3 2 4 3 4 4 0 41 1 1 1 1 1 a a a ba a a 1 0 1 3 1 2 3 1 2 4 2 3 4 1 3 4 4 0 41 1 1 1 a a a ba a a 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 0 41 2 3 4 41 a ba 所 求 多 項(xiàng) 式 是 ： 4 3 23 02 14 4 4 4a aa ag x x x x xa a a a 或 4 3 24 3 2 1 0a x a x a x a x a 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 1.8 有 理 系 數(shù) 多 項(xiàng) 式 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 本 節(jié) 討 論 有 理 數(shù) 域 上 多 項(xiàng) 式 的 可 約 性 ， 以 及 如何 求 Q上

60、多 項(xiàng) 式 的 有 理 根 ， 由 于 f x 與 cf x 在 Q x 上 的 可 約 性 相 同 。 因 此 討 論 f x 在 Q上 的 可 約性 可 轉(zhuǎn) 化 為 求 整 系 數(shù) 多 項(xiàng) 式 在 Q上 的 可 約 性 。一 、 整 系 數(shù) 多 項(xiàng) 式 的 可 約 性定 義 1（ 本 原 多 項(xiàng) 式 ） ：若 整 系 數(shù) 多 項(xiàng) 式 f x 的 系 數(shù) 互 素 ， 則 稱 f x是 一 個(gè) 本 原 多 項(xiàng) 式 。例 如 ： 2 23 6 4, 5 1f x x x g x x 本 原 多 項(xiàng) 式 的 加 、 減 運(yùn) 算 所 得 的 未 必 是 本 原 多項(xiàng) 式 ， 但 相 乘 之 后 必

61、是 本 原 多 項(xiàng) 式 。是 本 原 多 項(xiàng) 式 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 引 理 （ 高 斯 定 理 ） ：兩 個(gè) 本 原 多 項(xiàng) 式 的 乘 積 仍 是 本 原 多 項(xiàng) 式 。證 ： 設(shè) 0 1 , 0i ni n nf x a a x a x a x a 0 1 , 0j mj m mg x b b x b x b x b 都 是 本 原 多 項(xiàng) 式 0 1 .i j m ni j m nf x g x c c x c x c x 若 f x g x 不 是 本 原 多 項(xiàng) 式 ， 則 存 在 素 數(shù) p， 使, 1,2, , ,kp c k m n 由 于 ,f x g x 都 是 本 原

62、 多項(xiàng) 式 ， 故 f x 的 系 數(shù) 不 能 都 被 p整 除 ， g x 的 系 數(shù)也 不 能 被 p整 除 ， 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 可 設(shè) , 0,1, , 1,rp a r i 但 ,ip a, 0,1, , 1,sp b s j 但 ,jp b現(xiàn) 考 慮 0 1 1 1 1 0.i j i j i j i j i j i jc a b a b a b a b a b 除 了 i jab 這 一 項(xiàng) 外 ， p能 整 除 其 余 各 項(xiàng) ，,i jp c因 此 這 是 一 個(gè) 矛 盾 ，故 f x g x 是 本 原 多 項(xiàng) 式 。定 理 1.9.1： f x一 個(gè) 整 系 數(shù) n（ n

63、0） 次 多 項(xiàng) 式在 有 理 數(shù) 域 上 可 約 的 充 要 條 件 是 它 在 整 數(shù) 環(huán) 上 可 約 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 證 ： 充 分 性 顯 然 。下 證 必 要 性 。設(shè) f x 可 分 解 成 Q x 中 兩 個(gè) 次 數(shù) 都 小 于 n的多 項(xiàng) 式 g x 與 h x 的 乘 積 ， 即 有 .f x g x h x設(shè) g x 的 系 數(shù) 的 公 分 母 為 m， 則 mg x一 個(gè) 整 系 數(shù) 多 項(xiàng) 式 ， 把 是 mg x 系 數(shù) 的 公 因 式 n提 出 來(lái) ， 1 ,mg x ng x 1g x 是 本 原 多 項(xiàng) 式 ，即 1 1 .ng x g x r g xm

64、同 理 ， 存 在 有 理 數(shù) S， 使 1 ,h x sh x 1h x 也 是 本 原 多 項(xiàng) 式 ， 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 于 是 1 1f x g x h x r sg x h x 下 證 r s 是 一 個(gè) 整 數(shù) ，qr s p 設(shè) （ p,q互 素 且 p0） ，由 于 1 1q g x h xp 是 整 系 數(shù) 多 項(xiàng) 式 ，故 p能 整 除 q與 1 1g x h x 的 每 一 系 數(shù) 的 乘 積 ，而 p,q互 素 ， 故 p能 整 除 1 1g x h x 的 每 一 系 數(shù) ，但 由 引 理 1知 ， 1 1g x h x 是 本 原 多 項(xiàng) 式 ，故 p=1， 從 而

65、rs是 一 個(gè) 整 數(shù) 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 C上 不 可 約 多 項(xiàng) 式 只 能 是 一 次 ， R上 不 可 約 多 項(xiàng)式 只 能 是 一 次 和 含 非 實(shí) 共 軛 復(fù) 根 的 二 次 多 項(xiàng) 式 ， Q上不 可 約 多 項(xiàng) 式 的 特 征 是 什 么 ？ 下 面 的 Eisenstein的 判別 法 回 答 了 這 個(gè) 問(wèn) 題 。問(wèn) 題 ：定 理 1.9.2（ Eisenstein判 別 法 ） ：設(shè) 0 1 nnf x a a x a x 是 整 系 數(shù) 多 項(xiàng) 式 ，若 存 在 素 數(shù) p， 使 0 1 1, , , ,np a a a ;np a 2 0,p a則 f x 在 Q

66、上 不 可 約 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 證 （ 反 證 法 ） ：若 f x 在 Q上 可 約 f x 在 Z上 可 約 ，即 存 在 ： 0 1 ,kkg x b b x b x 0 1 ,llh x c c x c x Z x 使 .f x g x h x其 中 , 0 , .k l n k l n 0 0 0 0,a b c p a 故 0p b 或 0p c但 兩 者 不 能 同 時(shí) 成 立 。 2 0p a 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 不 妨 設(shè) 0p b 但 。 0p c由 于 ，n k la b c 由 np a 知 g x 的 系 數(shù) 不 能 都 被 p即 0 1, , ,sp b p b 但 sp b現(xiàn) 考 慮 0 1 1 0 , .s s s sa b c b c b c s n 0 0, ,s sp b p c p b c但 p能 整 除 其 它 項(xiàng) ， 故 sp a 與 已 知 矛 盾 。假 設(shè) sb 是 第 一 個(gè) 不 能 被 p整 除 的 系 數(shù) ，整 除 ， f x 在 Z x 中 不 可 約 f x 在 Q x 中 不 可 約 。 高等代數(shù)1多項(xiàng)式 由 Eisens