2022-2023學(xué)年安徽省合肥市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中檢測(cè) 數(shù)學(xué)【含答案】

2022-2023學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)期中檢測(cè) 數(shù)學(xué)試卷 注意事項(xiàng)： 1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘. 2.請(qǐng)考生將答案寫在答題卷上，寫在試卷上無效. 3.請(qǐng)考生在答題卷規(guī)定的位置寫班級(jí)，姓名和考號(hào)，交卷時(shí)只交答題卷，試卷無須上交. 一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符合題目要求） 1. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由題意利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程即可. 【詳解】由題意可得：，則曲線的斜率為， 切線方程為：，即. 本題選擇A選項(xiàng). 【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題 一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆． 二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)． 三是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分清函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式．由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為兩層導(dǎo)數(shù)之積. 2. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的第5項(xiàng)是 A. 13 B. C. D. 15 【答案】B 【解析】 【詳解】分析:把n=5代入，即得的第5項(xiàng). 詳解：當(dāng)n=5時(shí)，=-13.故選B. 點(diǎn)睛：求數(shù)列的某一項(xiàng)，只要把n的值代入數(shù)列的通項(xiàng)即得該項(xiàng). 3. 函數(shù)有極值的充要條件是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【詳解】因?yàn)椋?，即，?yīng)選答案C． 4. 若函數(shù)在處取得極值，則（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題設(shè)可得，從而可求，注意檢驗(yàn). 【詳解】因?yàn)椋裕? 又函數(shù)在處取得極值， 所以，即． 此時(shí)， 當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 故是極大值點(diǎn)，故符合題意． 故選：D． 5. 《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把個(gè)面包分給個(gè)人，使每個(gè)人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，可得，，求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到關(guān)于關(guān)系式，即可求出結(jié)論. 【詳解】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為， 依題意可得，， ， ，解得， . 故選:A. 【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和、通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題. 6. 若數(shù)列滿足，，則的值為 A. 2 B. -3 C. D. 【答案】B 【解析】 【詳解】，，所以 故數(shù)列是以4 為周期的周期數(shù)列，故 故選B. 7. 已知數(shù)列前項(xiàng)和，則的通項(xiàng)公式（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，解得，當(dāng)時(shí)，，得數(shù)列的遞推公式，根據(jù)等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，即可得到所求． 【詳解】令，則，解得， 當(dāng)時(shí)，， 則，即，， 所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列， 所以． 故選：C． 8. 中國明代商人程大位對(duì)文學(xué)和數(shù)學(xué)也頗感興趣，他于60歲時(shí)完成杰作直指算法統(tǒng)宗，這是一本風(fēng)行東亞的數(shù)學(xué)名著，該書第五卷有問題云：“今有白米一百八十石，令三人從上及和減率分之，只云甲多丙米三十六石，問：各該若干？”翻譯成現(xiàn)代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三個(gè)人來分，他們分得的米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”請(qǐng)你計(jì)算甲應(yīng)該分得　　 A. 78石 B. 76石 C. 75石 D. 74石 【答案】A 【解析】 【分析】由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的，能求出甲應(yīng)該分得78石，得到答案． 【詳解】由題意，今有百米一百八十石，甲乙丙三個(gè)人來分，他們分得的米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列， 只知道甲比丙多分三十六石，所以， 所以，解得石． 甲應(yīng)該分得78石． 故選A． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和基本量的運(yùn)算，其中解答中熟記等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題． 二?多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的不得分） 9. 如圖是導(dǎo)數(shù)的圖象，下列說法正確的是（） A. 為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 B. 為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間 C. 函數(shù)在處取得極大值 D. 函數(shù)在處取得極小值 【答案】AB 【解析】 【分析】根據(jù)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系及極值的定義一一判定即可. 【詳解】對(duì)于A、B選項(xiàng)，由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知上導(dǎo)函數(shù)為正，上導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，故A、B正確； 對(duì)于C、D選項(xiàng)，由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知處導(dǎo)函數(shù)不為零，在處導(dǎo)函數(shù)為零，其左側(cè)導(dǎo)函數(shù)為正號(hào)，右側(cè)導(dǎo)函數(shù)為負(fù)號(hào)，故處應(yīng)取得極大值，故C、D選項(xiàng)錯(cuò)誤. 故選：AB 10. （多選）等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且，前項(xiàng)和為，則（） A. B. C. 當(dāng)時(shí)，最小 D. 當(dāng)時(shí)，的最小值為8 【答案】AD 【解析】 【分析】先求得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性判斷AB選項(xiàng)的正確性，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次不等式判斷CD選項(xiàng)的正確性. 【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為， 由，可得，即． 又由等差數(shù)列是遞增數(shù)列， 可知，則，故A正確，B錯(cuò)誤； 因?yàn)椋? 由，可知當(dāng)或時(shí)最小，故C錯(cuò)誤； 令，解得（舍去）或， 即時(shí)的最小值為8，故D正確． 故選：AD． 11. 若函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)可能取值為　　 A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】 數(shù)形結(jié)合考查兩個(gè)函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)閮珊瘮?shù)圖象都過原點(diǎn)，則求函數(shù)過原點(diǎn)的切線． 【詳解】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為； 所以過原點(diǎn)的切線的斜率為； 則過原點(diǎn)的切線的方程為：； 所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)； 故選：BCD 【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想，考查函數(shù)零點(diǎn)，函數(shù)的切線的求法；屬于基礎(chǔ)題． 12. 已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（） A. 在上單調(diào)遞增 B. C. 方程有實(shí)數(shù)解 D. 存在實(shí)數(shù)，使得方程有4個(gè)實(shí)數(shù)解 【答案】BCD 【解析】 【分析】對(duì)于A項(xiàng)，利用導(dǎo)函數(shù)計(jì)算即可判定，對(duì)于B項(xiàng)，通過求導(dǎo)判定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，再比較自變量即可；對(duì)于C項(xiàng)，求導(dǎo)判定函數(shù)的極值再數(shù)形結(jié)合即可判定，對(duì)于D項(xiàng)，分類討論，分離參數(shù)求導(dǎo)函數(shù)及數(shù)形結(jié)合即可判定. 【詳解】由， 顯然當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤； 對(duì)于B項(xiàng)，易知，由在上單調(diào)遞增可知B正確； 對(duì)于C項(xiàng)，由上知處取得極小值，而，故C正確，如圖所示； 對(duì)于D項(xiàng)，，即，當(dāng)，顯然成立，即是其一根，當(dāng)時(shí)，原方程等價(jià)于，令， 令，解得，即在上單調(diào)遞減， 令，解得或時(shí)，即在和上單調(diào)遞增，故在處取得極大值，在處取得極小值，， 又時(shí)，，可得的大致圖象，如圖所示， 當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的根，且均不為零，綜上所述D正確； 故選：BCD 三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上） 13. 已知，若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則__________. 【答案】5 【解析】 【分析】由等差中項(xiàng)即可求解. 【詳解】由等差中項(xiàng)可得，所以， 故答案為：5 14. 函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則_____，____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 由題得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，解方程組即得解. 【詳解】由題得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得， 即，， 所以. 故答案為：(1). (2). 【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題. 15. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則的取值范圍是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列不等式組，將表示為的線性和的形式，由此求得的取值范圍. 【詳解】依題意，設(shè)， 由解得 ，兩式相加得，即的取值范圍是. 【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，考查取值范圍的求法，屬于中檔題. 16. 若函數(shù)f（x）＝x3﹣3x在區(qū)間（a，6﹣a2）上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______ 【答案】 【解析】 【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù) f（x）在區(qū)間（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：a＜1＜5﹣a2，進(jìn)而求出正確的答案． 【詳解】由題意可得：函數(shù) f（x）＝x3﹣3x， 所以f′（x）＝3x2﹣3． 令f′（x）＝3x2﹣3＝0可得，x＝±1； 在上遞增，在（-1，1）上遞減，在（1，+）上遞增， 因?yàn)楹瘮?shù) f（x）在區(qū)間（a，6﹣a2）上有最小值，則其最小值必為f（1）， 1（a，6﹣a2）即a＜1＜6﹣a2， 又結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得：f（a）＝a3﹣3a≥f（1）＝﹣2，且6﹣a2﹣a＞0， 聯(lián)立解得：﹣2≤a＜1． 故答案為[﹣2，1）． 【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的最值的問題，屬于中檔題． 四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟） 17. 已知函數(shù)在處取得極值． （1）討論和是函數(shù)的極大值還是極小值； （2）過點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程． 【答案】（1）是極大值，是極小值；（2）； 【解析】 【詳解】試題分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)在處取得極值，則得到關(guān)于的方程組，求出，可以得到函數(shù)的解析式，再去判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的極大值與極小值；（2）點(diǎn)不在曲線上，先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，然后寫出切線的方程，再根據(jù)點(diǎn)在切線上，得到關(guān)于的方程，求出，從而得出切點(diǎn)坐標(biāo)和切線方程； 試題解析：（1），依題意得，，即 解得．，． 令，得．若，則，故 在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)．若，則，故在上是減函數(shù)．是極大值；是極小值． （2）曲線方程為．點(diǎn)不在曲線上． 設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足．，故切線的方程為．注意到點(diǎn)在切線上，有 化簡(jiǎn)得，解得，因此切點(diǎn)為，切線方程為． 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用； 18. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式 （2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，當(dāng)時(shí)，遞推作差得，即，得到數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）由（1）求得，得到，利用分組求和，即可求解． 【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以， 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以? 兩式作差得，即，因?yàn)椋? 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列， 故； （2）令，則，， 所以數(shù)列的公差，故， 所以， 所以. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，以及數(shù)列的“分組求和”的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和之間的關(guān)系，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題． 19. 一杯80℃的熱紅茶置于20℃的房間里，它的溫度會(huì)逐漸下降，溫度T（單位：℃）與時(shí)間t（單位：min）之間的關(guān)系由函數(shù)給出． （1）判斷的正負(fù)，并說明理由． （2）的實(shí)際意義是什么？如果，你能畫出函數(shù)在時(shí)圖象的大致形狀嗎？ 【答案】（1）負(fù)（2）第三分鐘的水溫，平均每分鐘下降 【解析】 【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)的意義解釋即可. （2）根據(jù)圖像過，即可畫出大致圖象. 【詳解】（1）因?yàn)榈囊饬x為在附近函數(shù)值的瞬時(shí)變化率，熱紅茶的溫度隨時(shí)間的增加而減小，故，的符號(hào)為負(fù). （2）的實(shí)際意義表示在第三分鐘附近紅茶的溫度約以每分鐘速率下降.函數(shù)的圖象過，，大致圖象如下： 20. 已知數(shù)列滿足，. （1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）令，求數(shù)列前項(xiàng)和 【答案】（1）見解析（2） 【解析】 【分析】（1）將式子合理變形，即可化成，從而證明是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，并利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)公式. （2）由數(shù)列的通項(xiàng)公式是由等比數(shù)列與等差數(shù)列通項(xiàng)公式乘積得到，即可判斷其可運(yùn)用錯(cuò)位相減法求解前n項(xiàng)和. 【詳解】（Ⅰ）證明：由題意可得：，則，又 故是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列， 所以，故 （2）由（1）知 【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的證明，以及錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，屬于中檔題.對(duì)于等比數(shù)列的證明主要有兩種方法：（1）定義法，證得即可，其中為常數(shù)；（2）等比中項(xiàng)法：證得即可. 21. 正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足： (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)令，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對(duì)于任意的n∈N*，都有Tn＜ . 【答案】（1）（2）見解析 【解析】 【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列前項(xiàng)和滿足：， 所以當(dāng)時(shí)，， 即 解得或， 因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng)， 所以， 因?yàn)椋? 所以， 解得或， 因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng)， 所以， 當(dāng)時(shí)，有， 所以， 解得， 當(dāng)時(shí)，，符合 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，; （2）因?yàn)椋? 所以 ， 所以數(shù)列的前項(xiàng)和為： ， 當(dāng)時(shí)， 有， 所以， 所以對(duì)于任意，數(shù)列的前項(xiàng)和. 22. 已知函數(shù) （1）求的單調(diào)區(qū)間和極值； （2）若對(duì)任意，成立，求實(shí)數(shù)m的最大值． 【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，極小值，無極大值 （2）4 【解析】 【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可求出極值； （2）對(duì)任意，成立，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可得解. 【小問1詳解】 由，得， 令，得；令，得， ∴的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是， 故在處有極小值，無極大值； 【小問2詳解】 由及，得恒成立， 令，則， 由，由， 所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)， 所以， 因此，所以m的最大值是4．