電磁場(chǎng)與電磁波第二章電磁場(chǎng)的基本規(guī)律

第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 1 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 2 2.1 電 荷 守 恒 定 律2.2 真 空 中 靜 電 場(chǎng) 的 基 本 規(guī) 律2.3 真 空 中 恒 定 磁 場(chǎng) 的 基 本 規(guī) 律2.4 媒 質(zhì) 的 電 磁 特 性2.5 電 磁 感 應(yīng) 定 律2.6 位 移 電 流2.7 麥 克 斯 韋 方 程 組 2.8 電 磁 場(chǎng) 的 邊 界 條 件本 章 討 論 內(nèi) 容 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 32.1 電 荷 守 恒 定 律本 節(jié) 討 論 的 內(nèi) 容 ： 電 荷 模 型 、 電 流 模 型 、 電 荷 守 恒 定 律 電 磁 場(chǎng) 物 理 模 型 中 的 基 本 物 理 量 可 分 為 源 量 和 場(chǎng) 量 兩 大 類(lèi) 。電 荷 電 流電 場(chǎng) 磁 場(chǎng) （ 運(yùn) 動(dòng) ） 源 量 為 電 荷 q ( r， t )和 電 流 I ( r， t )， 分 別 用 來(lái) 描 述 產(chǎn) 生 電磁 效 應(yīng) 的 兩 類(lèi) 場(chǎng) 源 。 電 荷 是 產(chǎn) 生 電 場(chǎng) 的 源 ， 電 流 是 產(chǎn) 生 磁 場(chǎng) 的 源 。 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 4 電 荷 是 物 質(zhì) 基 本 屬 性 之 一 。 1897年 英 國(guó) 科 學(xué) 家 湯 姆 遜 (J.J.Thomson)在 實(shí) 驗(yàn) 中 發(fā) 現(xiàn) 了電 子 。 1907 1913年 間 ， 美 國(guó) 科 學(xué) 家 密 立 根 (R.A.Miliken)通 過(guò)油 滴 實(shí) 驗(yàn) ， 精 確 測(cè) 定 電 子 電 荷 的 量 值 為 e =1.602 177 33 10-19 (單 位 ： C)確 認(rèn) 了 電 荷 量 的 量 子 化 概 念 。 換 句 話(huà) 說(shuō) ， e 是 最 小 的 電 荷 量 ，而 任 何 帶 電 粒 子 所 帶 電 荷 都 是 e 的 整 數(shù) 倍 。 所 以 ， 帶 電 體 上 的電 荷 是 以 離 散 方 式 分 布 的 。 宏 觀 分 析 時(shí) ， 電 荷 常 是 數(shù) 以 億 計(jì) 的 電 子 電 荷 e的 組 合 ， 故可 不 考 慮 其 量 子 化 的 事 實(shí) ， 而 認(rèn) 為 電 荷 量 q可 任 意 連 續(xù) 取 值 。2.1.1 電 荷 與 電 荷 密 度 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 51. 電 荷 體 密 度 VrqVrqr V d )(d)(lim)( 0 V Vrq d)(單 位 ： C/m3 (庫(kù) 侖 /米 3 ) 根 據(jù) 電 荷 密 度 的 定 義 ， 如 果 已 知某 空 間 區(qū) 域 V中 的 電 荷 體 密 度 ， 則 區(qū)域 V中 的 總 電 量 q為 電 荷 連 續(xù) 分 布 于 體 積 V內(nèi) ， 用 電 荷 體 密 度 來(lái) 描 述 其 分 布 理 想 化 實(shí) 際 帶 電 系 統(tǒng) 的 電 荷 分 布 形 態(tài) 分 為 四 種 形 式 ： 點(diǎn) 電 荷 、 體 分 布 電 荷 、 面 分 布 電 荷 、 線(xiàn) 分 布 電 荷q V yx zo r V 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 6 若 電 荷 分 布 在 薄 層 上 的 情 況 ， 當(dāng) 僅 考 慮 在 薄 層 外 、 距 薄 層的 距 離 要 比 薄 層 的 厚 度 大 得 多 的 電 場(chǎng) 、 而 不 分 析 和 計(jì) 算 該 薄 層內(nèi) 的 電 場(chǎng) 時(shí) ， 可 將 該 薄 層 的 厚 度 忽 略 ， 認(rèn) 為 電 荷 是 面 分 布 。 面分 布 的 電 荷 可 用 電 荷 面 密 度 表 示 。 2. 電 荷 面 密 度單 位 : C/m 2 (庫(kù) 侖 /米 2) 如 果 已 知 某 空 間 曲 面 S上 的 電 荷面 密 度 ， 則 該 曲 面 上 的 總 電 量 q 為 S s Srq d)( SrqSrqr SS d )(d)(lim)( 0 yx zo r qS S 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 7 在 電 荷 分 布 在 細(xì) 線(xiàn) 上 的 情 況 ， 當(dāng) 僅 考 慮 細(xì) 線(xiàn) 外 、 距 細(xì) 線(xiàn) 的 距離 要 比 細(xì) 線(xiàn) 的 直 徑 大 得 多 的 電 場(chǎng) 、 而 不 分 析 和 計(jì) 算 線(xiàn) 內(nèi) 的 電 場(chǎng)時(shí) ， 可 將 細(xì) 線(xiàn) 的 直 徑 （ 橫 截 面 積 ） 忽 略 ， 認(rèn) 為 電 荷 是 線(xiàn) 分 布 。 3. 電 荷 線(xiàn) 密 度 lrqlrqr ll d )(d)()( lim0 如 果 已 知 某 空 間 曲 線(xiàn) 上 的 電 荷 線(xiàn)密 度 ， 則 該 曲 線(xiàn) 上 的 總 電 量 q 為 C l lrq d)(單 位 : C/m (庫(kù) 侖 /米 ) yx zo r ql 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 8當(dāng) 不 帶 電 體 的 尺 寸 遠(yuǎn) 小 于 觀 察 點(diǎn) 至 帶 電 體 的 距 離 時(shí) ， 就可 將 帶 電 體 所 帶 的 電 荷 看 成 集 中 在 帶 電 體 的 中 心 上 、 即 把 帶 電體 抽 象 成 一 個(gè) 幾 何 點(diǎn) 模 型 ， 稱(chēng) 為 點(diǎn) 電 荷 。 點(diǎn) 電 荷 的 電 荷 密 度 表 示 V rr rrdVrr rr rrrr rrqr 的 點(diǎn)積 分 區(qū) 域 包 含 的 點(diǎn)積 分 區(qū) 域 不 包 含且式 中 ,1,0)( ,0)( )()( 4. 點(diǎn) 電 荷 yx zo r q 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 92.1.2 電 流 與 電 流 密 度說(shuō) 明 ： 電 流 通 常 時(shí) 時(shí) 間 的 函 數(shù) ， 不 隨 時(shí) 間 變 化 的 電 流 稱(chēng) 為 恒 定 電 流 ， 用 I 表 示 。形 成 電 流 的 條 件 ： 存 在 可 以 自 由 移 動(dòng) 的 電 荷 存 在 電 場(chǎng)單 位 : A （ 安 培 ）電 流 方 向 : 正 電 荷 的 流 動(dòng) 方 向0lim ( ) d dti q t q t 電 流 電 荷 的 定 向 運(yùn) 動(dòng) 而 形 成 ， 用 i 表 示 ， 其 大 小 定 義 為 ： 單 位 時(shí) 間 內(nèi) 通 過(guò) 某 一 橫 截 面 S的 電 荷 量 ， 即 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 10 0 dlim dn nS i iJ e eS S 電 荷 在 某 一 體 積 內(nèi) 定 向 運(yùn) 動(dòng) 所 形成 的 電 流 稱(chēng) 為 體 電 流 ， 用 電 流 密 度 矢量 來(lái) 描 述 。J單 位 ： A/m2 。 一 般 情 況 下 ， 在 空 間 不 同 的 點(diǎn) ， 電 流 的 大 小 和 方 向 往 往 是 不同 的 。 在 電 磁 理 論 中 ， 常 用 體 電 流 、 面 電 流 和 線(xiàn) 電 流 來(lái) 描 述 電 流的 分 別 狀 態(tài) 。 1. 體 電 流 S SJI d流 過(guò) 任 意 截 面 S 的 電 流 為 體 電 流 密 度 矢 量 JneS正 電 荷 運(yùn) 動(dòng) 的 方 向 ， 面 積元 的 外 法 線(xiàn) 方 向 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 112. 面 電 流 電 荷 在 一 個(gè) 厚 度 可 以 忽 略 的薄 層 內(nèi) 定 向 運(yùn) 動(dòng) 所 形 成 的 電 流 稱(chēng)為 面 電 流 ， 用 面 電 流 密 度 矢 量 來(lái) 描 述 其 分 布 SJ 面 電 流 密 度 矢 量 d 0tenel SJ 0h0 dlim dS t tl i iJ e el l ( d ) S nli J e l 單 位 ： A/m。通 過(guò) 薄 導(dǎo) 體 層 上 任 意 有 向 曲 線(xiàn) 的 電 流 為l正 電 荷 運(yùn) 動(dòng) 的 方 向薄 導(dǎo) 體 層 的 法 向 單 位 矢 量 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 12d dd dd d S VqJ S Vt t 2.1.3. 電 荷 守 恒 定 律 （ 電 流 連 續(xù) 性 方 程 ）電 荷 守 恒 定 律 :電 荷 既 不 能 被 創(chuàng) 造 ， 也 不 能 被 消 滅 ， 只 能 從 物 體 的 一 部 分 轉(zhuǎn) 移 到 另 一 部 分 ， 或 者 從 一 個(gè) 物 體 轉(zhuǎn) 移 到 另 一 個(gè) 物 體 。電 流 連 續(xù) 性 方 程積 分 形 式 J t 微 分 形 式 單 位 時(shí) 間 流 出 閉 曲 面S的 電 流 等 于 體 積 V內(nèi) 所 減 少 的 電 荷 量恒 定 電 流 的 連 續(xù) 性 方 程 0t 0d S SJ 0J 、 恒 定 電 流 是 無(wú) 散 度 場(chǎng) ，電 流 線(xiàn) 是 連 續(xù) 的 閉 合 曲線(xiàn) ， 既 無(wú) 起 點(diǎn) 也 無(wú) 終 點(diǎn)電 荷 守 恒 定 律 是 電 磁 現(xiàn) 象 中 的 基 本 定 律 之 一 。 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 132.2 真 空 中 靜 電 場(chǎng) 的 基 本 規(guī) 律1. 庫(kù) 侖 （ Coulomb） 定 律 (1785年 ) 1 2 1 2 1212 2 30 12 0 124 4R q q q q RF e R R 2.2.1. 庫(kù) 侖 定 律 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 靜 電 場(chǎng) ： 由 空 間 位 置 固 定 、 電 量 不 隨 時(shí) 間 變 化 的 電 荷 產(chǎn) 生 的 電 場(chǎng)重 要 特 征 ： 對(duì) 位 于 電 場(chǎng) 中 的 電 荷 有 電 場(chǎng) 力 作 用真 空 中 靜 止 點(diǎn) 電 荷 q1 對(duì) q2 的 作 用 力 : yx zo 1r 1q 2r12R 12F2q ， 滿(mǎn) 足 牛 頓 第 三 定 律 。 21 12F F 大 小 與 兩 電 荷 的 電 荷 量 成 正 比 ， 與 兩 電 荷 距 離 的 平 方 成 反 比 ； 方 向 沿 q1 和 q2 連 線(xiàn) 方 向 ， 同 性 電 荷 相 排 斥 ， 異 性 電 荷 相 吸 引 ； 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 14 電 場(chǎng) 力 服 從 疊 加 原 理 3 1 1 04iN N iq q q ii i iqqF F RR ( )i iR r r 真 空 中 的 N個(gè) 點(diǎn) 電 荷 （ 分 別 位 于 ）對(duì) 點(diǎn) 電 荷 （ 位 于 ） 的 作 用 力 為1 2 Nq q q、 、 、q 1 2 Nr r r 、 、 、r qq1q2q3 q4 q5q6q7 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 152. 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 空 間 某 點(diǎn) 的 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 定 義 為 置 于 該 點(diǎn) 的 單 位 點(diǎn) 電 荷 （ 又 稱(chēng)試 驗(yàn) 電 荷 ） 受 到 的 作 用 力 ， 即 00 )(lim)( 0 qrFrE q 304)( RRqrE 如 果 電 荷 是 連 續(xù) 分 布 呢 ？ 根 據(jù) 上 述 定 義 ， 真 空 中 靜 止 點(diǎn)電 荷 q 激 發(fā) 的 電 場(chǎng) 為 ： ( )R r r 描 述 電 場(chǎng) 分 布 的 基 本 物 理 量 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 矢 量 E 0q 試 驗(yàn) 正 電 荷 yx zor q rR EM 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 16體 密 度 為 的 體 分 布 電 荷 產(chǎn) 生 的 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度)(r 31 0 30( )( ) 41 ( ) d4 i i ii iVr V RE r Rr R VR 30 ( )1( ) d4 SS r RE r SR 30 ( )1( ) d4 lC r RE r lR )(rl 線(xiàn) 密 度 為 的 線(xiàn) 分 布電 荷 的 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度)(rS 面 密 度 為 的 面 分 布電 荷 的 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度小 體 積 元 中 的 電 荷 產(chǎn) 生 的 電 場(chǎng) ( )r V yx zor iV r M 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 17例 題 ： 計(jì) 算 電 偶 極 子 的 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度解 ： 采 用 球 坐 標(biāo) 系 ， 場(chǎng) 點(diǎn) P的 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 E是 正 負(fù) 電 荷 產(chǎn) 生電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 的 矢 量 和 。 場(chǎng) 點(diǎn) P的 位 置 矢 量 是 兩 個(gè) 點(diǎn) 電 荷 的 位 置 矢 量 分 別 是 rer r 2der z2der z )()()( 3zz3zz03223110 2der 2der2der 2der4 qrrrr4 qrE )( 2z33z r der231r2der )( 2z33z r der231r2der dr )()( derr der3r4 qrE z2z30 P(r, , )+qo-q rr1r2z 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 18 例 2.2.2 計(jì) 算 均 勻 帶 電 的 環(huán) 形 薄 圓 盤(pán) 軸 線(xiàn) 上 任 意 點(diǎn) 的 電 場(chǎng) 強(qiáng)度 。 解 ： 如 圖 所 示 ， 環(huán) 形 薄 圓 盤(pán) 的 內(nèi) 半 徑 為 a 、 外 半 徑 為 b， 電 荷面 密 度 為 。 在 環(huán) 形 薄 圓 盤(pán) 上 取 面 積 元 ， 其 位 置 矢 量 為 ，它 所 帶 的 電 量 為 。而 薄 圓 盤(pán) 軸 線(xiàn) 上 的 場(chǎng) 點(diǎn) 的 位 置矢 量 為 ， 因 此 有Sd d d S r e d d d d S Sq S (0,0, )P zzr e z 2 2 2 3/20 0( ) d d 4 ( )b zS a e z eE r z P(0,0,z)b r R yzx均 勻 帶 電 的 環(huán) 形 薄 圓 盤(pán)dSadE 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 19 ba ba 202322 2202322z0S ba 20 2322z0S dez ddz dze4 ddz eze4rE )()( )()( 0deede 20 yx20 )sincos( 212221220Szba 23220Sz bz 1az 12 zez d2 zerE )()()()( 2d20 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 202 2 3 2 0(0,0, ) 2 ( )lz a zE z a z + 均 勻 帶 電 圓 環(huán) 軸 線(xiàn) 上 的 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 ： l yx zoMa均 勻 帶 電 圓 環(huán) 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 21例 一 個(gè) 半 徑 為 a的 均 勻 帶 電 圓 環(huán) ， 求 軸 線(xiàn) 上 的 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 。 解 ： 取 圓 柱 坐 標(biāo) 系 ， 圓 環(huán) 位 于 xoy平 面 ， 圓 環(huán) 中 心 與 坐 標(biāo) 原點(diǎn) 重 合 ， 電 荷 線(xiàn) 密 度 為 l 。 l yx zoMa均 勻 帶 電 圓 環(huán) addl azrr ear ezr z )( 2/122 zl yxzl eza za adza eaeaezrE 2/3220 2/322200 )(2 )( )sincos(4)( 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 22 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 232.2.2 靜 電 場(chǎng) 的 散 度 與 旋 度 0( )( ) rE r VS VrSrE )d(1d)( 0 高 斯 定 理 表 明 ： 靜 電 場(chǎng) 是 有 源 場(chǎng) ， 電 場(chǎng) 線(xiàn) 起 始 于 正 電 荷 ， 終 止 于 負(fù) 電 荷 。 靜 電 場(chǎng) 的 散 度 （ 微 分 形 式 ）1. 靜 電 場(chǎng) 散 度 與 高 斯 定 理 對(duì) 上 式 兩 邊 取 體 積 分 ， 并 利 用 散 度 定 理 可 以 得 到 靜 電 場(chǎng) 的 高斯 定 理 （ 積 分 形 式 ）表 明 空 間 任 意 一 點(diǎn) 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 的 散 度 與 該 處 的 電 荷 密 度 有 關(guān) ；靜 電 荷 是 靜 電 場(chǎng) 的 通 量 源 。 電 荷 密 度 為 正 ， 稱(chēng) 為 發(fā) 散 源 ； 為 負(fù) ，稱(chēng) 為 匯 聚 源 。 若 電 荷 分 布 具 有 一 定 對(duì) 稱(chēng) 性 ， 可 利 用 高 斯 定 理 方 便 的 計(jì) 算電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 。 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 24( ) 0E r ( ) d 0 C E r l 環(huán) 路 定 理 表 明 ： 靜 電 場(chǎng) 是 無(wú) 旋 場(chǎng) ， 是 保 守 場(chǎng) ， 電 場(chǎng) 力 做 功 與路 徑 無(wú) 關(guān) 。靜 電 場(chǎng) 的 旋 度 （ 微 分 形 式 ）2. 靜 電 場(chǎng) 旋 度 與 環(huán) 路 定 理 對(duì) 任 意 曲 面 求 積 分 ， 并 利 用 斯 托 克 斯 定 理 ， 可 以 得 到 靜電 場(chǎng) 的 環(huán) 路 定 理 （ 積 分 形 式 ） 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 25 當(dāng) 電 場(chǎng) 分 布 具 有 一 定 對(duì) 稱(chēng) 性 的 情 況 下 ， 可 以 利 用 高 斯 定 理 計(jì)算 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 。 3. 利 用 高 斯 定 理 計(jì) 算 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度具 有 以 下 幾 種 對(duì) 稱(chēng) 性 的 場(chǎng) 可 用 高 斯 定 理 求 解 ： 球 對(duì) 稱(chēng) 分 布 ： 包 括 均 勻 帶 電 的 球 面 ， 球 體 和 多 層 同 心 球 殼 等 。 均 勻 帶 電 球 體帶 電 球 殼 多 層 同 心 球 殼 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 26 無(wú) 限 大 平 面 電 荷 ： 如 無(wú) 限 大 的 均 勻 帶 電 平 面 、 平 板 等 。 軸 對(duì) 稱(chēng) 分 布 ： 如 無(wú) 限 長(zhǎng) 均 勻 帶 電 的 直 線(xiàn) ， 圓 柱 面 ， 圓 柱 殼 等 。 (a) (b) 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 27 例 2.2.3 求 真 空 中 均 勻 帶 電 球 體 的 場(chǎng) 強(qiáng) 分 布 。 已 知 球 體 半 徑為 a ， 電 荷 密 度 為 0 。 解 ： （ 1） 球 外 某 點(diǎn) 的 場(chǎng) 強(qiáng) 0300 341d aqSES （ 2） 求 球 體 內(nèi) 一 點(diǎn) 的 場(chǎng) 強(qiáng)VSE VoS d1d 0 a r0r rE a20 303 raE 332 343414 raqEr o orE 30 （ r a時(shí) ， 因 2 2 3/2 3( )z a z ， 故 220 02 2 3/2 2 2 3/20( ) d 4 ( ) 2( )zIa Iae aB z z a z a 2 20 0d ( cos sin )d 0 x ye e e 由 于 ， 所 以 在 圓 環(huán) 的 中 心 點(diǎn) 上 ， z = 0， 磁 感 應(yīng) 強(qiáng) 度 最 大 ， 即 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 351、 選 取 適 當(dāng) 坐 標(biāo) 做 出 草 圖2、 場(chǎng) 源 距 離 矢 量 計(jì) 算 R, r r3、 微 小 源 的 表 達(dá) 式 ： 如 dq=dt ; Idl 等4、 代 入 相 應(yīng) 的 公 式 計(jì) 算 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 363. 幾 種 典 型 電 流 分 布 的 磁 感 應(yīng) 強(qiáng) 度 載 流 直 線(xiàn) 段 的 磁 感 應(yīng) 強(qiáng) 度 ：0 1 2(cos cos )4 IB e （ 有 限 長(zhǎng) ）（ 無(wú) 限 長(zhǎng) ） 02 IB e I 1 z M2載 流 直 線(xiàn) 段 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 37例 2.3.2 計(jì) 算 長(zhǎng) 度 為 l直 線(xiàn) 電 流 的 磁 場(chǎng)解 ： 采 用 圓 柱 坐 標(biāo) 系 ， 有 軸 對(duì) 稱(chēng) 關(guān) 系z(mì)eer z 場(chǎng) 位 置 矢 量 ： zIdelId zer z z ;微 電 流 量 ：點(diǎn) 源 位 置 矢 量 ： C R RlIdrB 30 4)( )( zzeerrR z 圖 2.7.1有 限 長(zhǎng) 線(xiàn) l電 流 I的 磁 場(chǎng) l/2 l/2 z r R P(r,z) Idl 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 38)( zzererrR zr 源 距 離 ：場(chǎng)帶 入 公 式 有 ： 22 23220 )( )(4)( ll zrz zzr zzereezIdrB 210 coscos4)( rIerB 0若 l為 無(wú) 限 長(zhǎng) ， （ 無(wú) 限 長(zhǎng) ）02 IB e 圖 2.7.1有 限 長(zhǎng) 線(xiàn) l電 流 I的 磁 場(chǎng) l/2 l/2 z r R P(r,z) Idl 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 392.3.2 恒 定 磁 場(chǎng) 的 散 度 和 旋 度 )()( 0 rJrB ISrJlrB SC 00 d)(d)( 1. 恒 定 磁 場(chǎng) 的 散 度 與 磁 通 連 續(xù) 性 原 理( ) 0B r ( ) d 0S B r S 磁 通 連 續(xù) 性 原 理 表 明 ： 恒 定 磁 場(chǎng) 是 無(wú) 散 場(chǎng) （ 無(wú) 通 量 源 ） ， 磁 場(chǎng)線(xiàn) 是 無(wú) 起 點(diǎn) 和 終 點(diǎn) 的 閉 合 曲 線(xiàn) 。恒 定 場(chǎng) 的 散 度 （ 微 分 形 式 ） 磁 通 連 續(xù) 性 原 理 （ 積 分 形 式 ）安 培 環(huán) 路 定 理 表 明 ： 恒 定 磁 場(chǎng) 是 有 旋 場(chǎng) ， 是 非 保 守 場(chǎng) 、 恒 定 電 流是 產(chǎn) 生 恒 定 磁 場(chǎng) 的 旋 渦 源 。恒 定 磁 場(chǎng) 的 旋 度 （ 微 分 形 式 ）2. 恒 定 磁 場(chǎng) 的 旋 度 與 安 培 環(huán) 路 定 理 安 培 環(huán) 路 定 理 （ 積 分 形 式 ） 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 40 當(dāng) 磁 場(chǎng) 分 布 具 有 一 定 對(duì) 稱(chēng) 性 的 情 況 下 ， 可 以 利 用 安 培 環(huán) 路定 理 計(jì) 算 磁 感 應(yīng) 強(qiáng) 度 。 3. 利 用 安 培 環(huán) 路 定 理 計(jì) 算 磁 感 應(yīng) 強(qiáng) 度 例 ： 半 徑 為 a的 無(wú) 限 長(zhǎng) 直 導(dǎo) 線(xiàn) ， 載 有 電 流 I， 計(jì) 算 導(dǎo) 體 內(nèi) 、外 的 磁 感 應(yīng) 強(qiáng) 度 。 解 : SC SdJrBldB 02 在 導(dǎo) 線(xiàn) 內(nèi) 電 流 均 勻 分 布 ， 導(dǎo) 線(xiàn) 外 電 流 為 零 ， ， r a 0 2aIeJ z ， ra 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 41 當(dāng) ra時(shí) ， 積 分 回 路 包 圍 的 電 流 為 I； 當(dāng) ra時(shí) ， 包 圍 電 流 為Ir2/a2。 所 以 當(dāng) ra時(shí) ， 20 2 2022 aIrB aIrrB 當(dāng) ra時(shí) ， rIB IrB 22 0 0 寫(xiě) 成 矢 量 形 式 為 arrIe araIreB ,2 ,20 20 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 422.4 媒 質(zhì) 的 電 磁 特 性 1. 電 介 質(zhì) 的 極 化 現(xiàn) 象 電 介 質(zhì) 的 分 子 分 為 無(wú) 極 分 子 和 有極 分 子 。 在 電 場(chǎng) 作 用 下 ， 介 質(zhì) 中 無(wú) 極分 子 的 束 縛 電 荷 發(fā) 生 位 移 ， 有 極 分 子 的 固 有 電 偶 極 矩 的 取 向 趨 于 電 場(chǎng) 方 向 ，這 種 現(xiàn) 象 稱(chēng) 為 電 介 質(zhì) 的 極 化 。 通 常 ，無(wú) 極 分 子 的 極 化 稱(chēng) 為 位 移 極 化 ， 有 極分 子 的 極 化 稱(chēng) 為 取 向 極 化 。2.4.1 電 介 質(zhì) 的 極 化 電 位 移 矢 量 無(wú) 極 分 子 有 極 分 子無(wú) 外 加 電 場(chǎng) 媒 質(zhì) 對(duì) 電 磁 場(chǎng) 的 響 應(yīng) 可 分 為 三 種 情 況 ： 極 化 、 磁 化 和 傳 導(dǎo) 。 描 述 媒 質(zhì) 電 磁 特 性 的 參 數(shù) 為 ： 介 電 常 數(shù) 、 磁 導(dǎo) 率 和 電 導(dǎo) 率 。 無(wú) 極 分 子 有 極 分 子有 外 加 電 場(chǎng) E 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 432. 極 化 強(qiáng) 度 矢 量 )mC( 2P0lim iV pP npV 極 化 強(qiáng) 度 矢 量 是 描 述 介 質(zhì) 極 化 程 度 的 物 理 量 ， 定 義 為PP 的 物 理 意 義 ： 單 位 體 積 內(nèi) 分 子 電 偶 極 矩 的 矢 量 和 。 極 化 強(qiáng) 度 與 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 有 關(guān) ， 其 關(guān) 系 一 般 比 較 復(fù) 雜 。 在 線(xiàn) 性 、 各 向 同 性 的 電 介 質(zhì) 中 ， 與 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 成 正 比 ， 即 P 0eP E ( 0)e 電 介 質(zhì) 的 電 極 化 率 E pnP ipp 分 子 的 平 均 電 偶 極 矩 iii dqp 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 44 由 于 極 化 ， 正 負(fù) 電 荷 發(fā) 生 位 移 ， 在 電 介 質(zhì) 內(nèi) 部 可 能 出 現(xiàn) 凈 極化 電 荷 分 布 ， 同 時(shí) 在 電 介 質(zhì) 的 表 面 上 有 面 分 布 的 極 化 電 荷 。3. 極 化 電 荷( 1 ) 極 化 電 荷 體 密 度 在 電 介 質(zhì) 內(nèi) 任 意 作 一 閉 合 面 S， 只有 電 偶 極 矩 穿 過(guò) S 的 分 子 對(duì) S 內(nèi) 的 極 化電 荷 有 貢 獻(xiàn) 。 由 于 負(fù) 電 荷 位 于 斜 柱 體 內(nèi)的 電 偶 極 矩 才 穿 過(guò) 小 面 元 dS ， 則 穿 出面 積 元 dS的 正 電 荷 為 ：與 之 相 對(duì) 應(yīng) ， 留 在 閉 合 面 S內(nèi) 的 極 化 電 荷 量 為Pq VSP VPSPq dd PP E SPSdVdSePSdPSddNq n 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 45( 2 ) 極 化 電 荷 面 密 度 SP nP e 緊 貼 電 介 質(zhì) 表 面 取 如 圖 所 示 的 閉 曲 面 ， 則 穿 過(guò) 面 積 元 的極 化 電 荷 為 dS 故 得 到 電 介 質(zhì) 表 面 的 極 化 電 荷 面 密 度 為 nedSS PdSePSdPSddNq n 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 464. 電 位 移 矢 量 介 質(zhì) 中 的 高 斯 定 理 介 質(zhì) 的 極 化 過(guò) 程 包 括 兩 個(gè) 方 面 ：q 外 加 電 場(chǎng) 的 作 用 使 介 質(zhì) 極 化 ， 產(chǎn) 生 極 化 電 荷 ；q 極 化 電 荷 反 過(guò) 來(lái) 激 發(fā) 電 場(chǎng) ， 兩 者 相 互 制 約 ， 并 達(dá) 到 平 衡 狀 態(tài) 。 無(wú) 論 是 自 由 電 荷 ， 還 是 極 化 電 荷 ， 它 們 都 激 發(fā) 電 場(chǎng) ， 服 從 同 樣 的 庫(kù) 侖 定 律 和 高 斯 定 理 。 V pS VSE )d(1d 0 pE 0自 由 電 荷 和 極 化 電 荷 共 同 激 發(fā) 的 結(jié) 果 介 質(zhì) 中 的 電 場(chǎng) 應(yīng) 該 是 外 加 電 場(chǎng) 和 極 化 電 荷 產(chǎn) 生 的 電 場(chǎng) 的 疊加 ， 應(yīng) 用 高 斯 定 理 得 到 ： 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 47PED 0 任 意 閉 合 曲 面 電 位 移 矢量 D 的 通 量 等 于 該 曲 面包 含 自 由 電 荷 的 代 數(shù) 和 小 結(jié) ： 靜 電 場(chǎng) 是 有 源 無(wú) 旋 場(chǎng) ， 電 介 質(zhì) 中 的 基 本 方 程 為 0 E P 引 入 電 位 移 矢 量 （ 單 位 為 C/m2 )p P 將 極 化 電 荷 體 密 度 表 達(dá) 式 代 入 ， 有0 PE D 則 有 VS VSD dd 其 積 分 形 式 為 d d( ) d 0 S VC D S VE r l （ 積 分 形 式 ） 0DE （ 微 分 形 式 ） ， 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 48EP e 0 EEED re 00 )1( 在 這 種 情 況 下 00 )1( re er 1其 中 稱(chēng) 為 介 質(zhì) 的 介 電 常 數(shù) ， 稱(chēng) 為 介質(zhì) 的 相 對(duì) 介 電 常 數(shù) （ 無(wú) 量 綱 ） 。* 介 質(zhì) 有 多 種 不 同 的 分 類(lèi) 方 法 ， 如 ： 均 勻 和 非 均 勻 介 質(zhì) 各 向 同 性 和 各 向 異 性 介 質(zhì) 時(shí) 變 和 時(shí) 不 變 介 質(zhì) 線(xiàn) 性 和 非 線(xiàn) 性 介 質(zhì) 確 定 性 和 隨 機(jī) 介 質(zhì)5. 電 介 質(zhì) 的 本 構(gòu) 關(guān) 系 E 極 化 強(qiáng) 度 與 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 之 間 的 關(guān) 系 由 介 質(zhì) 的 性 質(zhì) 決 定 。對(duì) 于 線(xiàn) 性 各 向 同 性 介 質(zhì) ， 和 有 簡(jiǎn) 單 的 線(xiàn) 性 關(guān) 系P EP 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 49例 題 ： 半 徑 為 a的 球 形 區(qū) 域 充 滿(mǎn) 分 布 不 均 勻 的 體 密 度 電 荷 ，設(shè) 其 密 度 為 (r),若 已 知 電 場(chǎng) 分 布 ， 試 求 電 荷 的 體 密 度 。 arrAaae arArreE rr ,)( ),( 245 23 )(1)()( 2200 rErdrdrrEr ar )5()(1)( 2023220 ArrArrrdrdrr ar 0)(1)( 245220 rAaardrdrr 解 ： 由 高 斯 定 理 的 微 分 形 式 ， 可 得 ： 已 知 ：所 以 ： 時(shí)時(shí)可 見(jiàn) ， 體 密 度 電 荷 只 分 布 在 球 形 區(qū) 域 內(nèi) ， 球 外 無(wú) 電 荷 分 布 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 50例 題 ： 半 徑 為 a， 介 電 常 數(shù) 為 的 球 形 電 介 質(zhì) 內(nèi) 極 化 強(qiáng) 度 已 知 。（ 1） 計(jì) 算 極 化 電 荷 的 體 密 度 和 面 密 度 （ 2） 計(jì) 算 電 介 質(zhì) 球 內(nèi)的 自 由 電 荷 體 密 度 。 rkeP r 22222 )(1)(1 rkrkrdrdrPrdrdrP rP akerkeeP arrrnSP |解 ： （ 1） 已 知 電 介 質(zhì) 球 內(nèi) 的 極 化 電 荷 體 密 度 為在 r a處 極 化 電 荷 面 密 度 為 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 51PED 0 PDPEPED 000 )( PD )1( 0 D 200 11 rkPD （ 2） 因 故因 故 電 介 質(zhì) 球 內(nèi) 的 自 由 電 荷 體 密 度 為 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 522.4.2 磁 介 質(zhì) 的 磁 化 磁 場(chǎng) 強(qiáng) 度1. 磁 介 質(zhì) 的 磁 化 介 質(zhì) 中 分 子 或 原 子 內(nèi) 的 電 子 運(yùn) 動(dòng) 形成 分 子 電 流 ， 形 成 分 子 磁 矩 無(wú) 外 加 磁 場(chǎng) 外 加 磁 場(chǎng)B 在 外 磁 場(chǎng) 作 用 下 ， 分 子 磁 矩 定 向排 列 ， 宏 觀 上 顯 示 出 磁 性 ， 這 種 現(xiàn) 象稱(chēng) 為 磁 介 質(zhì) 的 磁 化 。mp i S 無(wú) 外 磁 場(chǎng) 作 用 時(shí) ， 分 子 磁 矩 不 規(guī)則 排 列 ， 宏 觀 上 不 顯 磁 性 。 mp i S 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 53 0lim m mV pM npV B 2. 磁 化 強(qiáng) 度 矢 量 M 磁 化 強(qiáng) 度 是 描 述 磁 介 質(zhì) 磁 化程 度 的 物 理 量 ， 定 義 為 單 位 體 積 中的 分 子 磁 矩 的 矢 量 和 ， 即 M mM np 單 位 為 A/m。 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 543. 磁 化 電 流 磁 介 質(zhì) 被 磁 化 后 ， 在 其 內(nèi) 部與 表 面 上 可 能 出 現(xiàn) 宏 觀 的 電 流 分布 ， 稱(chēng) 為 磁 化 電 流 。 d d dM MC C SI I M l M S 考 察 穿 過(guò) 任 意 圍 線(xiàn) C所 圍 曲 面 S的 電 流 。 只 有 那 些 環(huán) 繞 周 界 曲線(xiàn) C的 分 子 電 流 才 對(duì) 磁 化 電 流 有 貢 獻(xiàn) 。 與 線(xiàn) 元 dl相 交 鏈 的 分 子 電流 ， 中 心 位 于 如 圖 所 示 的 斜 圓 柱 內(nèi) ， 所 交 鏈 的 電 流d d d dM mI ni S l np l M l BC dldl mpS穿 過(guò) 曲 面 S的 磁 化 電 流 為（ 1） 磁 化 電 流 體 密 度 MJ 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 55MJ M dM MSI J S 由 ， 即 得 到 磁 化 電 流 體 密 度d d d d M t tI M l M e l M l 在 緊 貼 磁 介 質(zhì) 表 面 取 一 長(zhǎng) 度 元dl， 與 此 交 鏈 的 磁 化 電 流 為（ 2） 磁 化 電 流 面 密 度 SMJSM tJ M則即 SM nJ M e 的 切 向 分 量M SMJ neM ld磁 介 質(zhì) 表 面 的 切 向 單 位 矢 量 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 564. 磁 場(chǎng) 強(qiáng) 度 介 質(zhì) 中 安 培 環(huán) 路 定 理 )( 0 MJJB S MC SJJlB d)(d 0MJJ 、 分 別 是 傳 導(dǎo) 電 流 密 度 和 磁 化 電 流 密 度 。 將 磁 化 電 流 體 密 度 表 達(dá) 式 代 入 ， 有 MJ M )(0 MJJB JMB )( 0 )( 0 MHB , 即 外 加 磁 場(chǎng) 使 介 質(zhì) 發(fā) 生 磁 化 ， 磁 化 導(dǎo) 致 磁 化 電 流 。 磁 化 電 流 同樣 也 激 發(fā) 磁 感 應(yīng) 強(qiáng) 度 ， 兩 種 相 互 作 用 達(dá) 到 平 衡 ， 介 質(zhì) 中 的 磁 感 應(yīng)強(qiáng) 度 B 應(yīng) 是 傳 導(dǎo) 電 流 和 磁 化 電 流 共 同 激 勵(lì) 的 結(jié) 果 ： MBH 0定 義 磁 場(chǎng) 強(qiáng) 度 為 ：H 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 57)()( rJrH SC SrJlrH d)(d)( 0)( rB 0d)( S SrB 則 得 到 介 質(zhì) 中 的 安 培 環(huán) 路 定 理 為 ：磁 通 連 續(xù) 性 定 理 為小 結(jié) ： 磁 介 質(zhì) 中 的 基 本 方 程 為 （ 積 分 形 式 ） （ 微 分 形 式 ） 0)( )()(rB rJrH 0d)( d)(d)(S SC SrB SrJlrH 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 58HM m HHB m )1(0m其 中 ， 稱(chēng) 為 介 質(zhì) 的 磁 化 率 （ 也 稱(chēng) 為 磁 化 系 數(shù) ） 。這 種 情 況 下 00 )1( rm mr 1其 中 稱(chēng) 為 介 質(zhì) 的 磁 導(dǎo) 率 ， 稱(chēng) 為 介 質(zhì)的 相 對(duì) 磁 導(dǎo) 率 （ 無(wú) 量 綱 ） 。 順 磁 質(zhì)抗 磁 質(zhì)鐵 磁 質(zhì)磁 介 質(zhì) 的 分 類(lèi) 11rr 1 r 5. 磁 介 質(zhì) 的 本 構(gòu) 關(guān) 系 磁 化 強(qiáng) 度 和 磁 場(chǎng) 強(qiáng) 度 之 間 的 關(guān) 系 由 磁 介 質(zhì) 的 物 理 性 質(zhì) 決定 ， 對(duì) 于 線(xiàn) 性 各 向 同 性 介 質(zhì) ， 與 之 間 存 在 簡(jiǎn) 單 的 線(xiàn) 性 關(guān) 系 ：M H HM 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 59例 題 ： 半 徑 r a的 球 形 磁 介 質(zhì) 的 磁 化 強(qiáng) 度 已 知 ， 求 磁 化 電 流密 度 。 M reeOz)( 2 BAzeM z 0 MJ M arrarnSM eMeMJ | sincos eee rz cosaz )cos)(sincos()( 222 BAaeeBAzeM rz sin)cos(| 22 BAaeeMJ arrSM 解 ： 已 知r a處 的 磁 化 電 流 面 密 度 為球 面 上 任 意 一 點(diǎn) ， 有所 以 ， 將 磁 化 強(qiáng) 度 換 成 球 坐 標(biāo) 系 表 示 為故磁 化 電 流 體 密 度 為 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 60IHlHC 2d磁 場(chǎng) 強(qiáng) 度 02IeH 磁 化 強(qiáng) 度 a aIeHBM 0 20 00 磁 感 應(yīng) 強(qiáng) 度 aIe aIeB 2 020 H MB 例 2.4.1 有 一 磁 導(dǎo) 率 為 ， 半 徑 為 a 的 無(wú) 限 長(zhǎng) 導(dǎo) 磁 圓 柱 ， 其軸 線(xiàn) 處 有 無(wú) 限 長(zhǎng) 的 線(xiàn) 電 流 I， 圓 柱 外 是 空 氣 （ 0 ） ， 試 求 圓 柱 內(nèi)外 的 、 和 的 分 布 。 解 磁 場(chǎng) 具 有 軸 對(duì) 稱(chēng) 性 ， 應(yīng) 用 安 培 環(huán) 路 定 律 ， 得 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 61例 題 ： 內(nèi) 外 半 徑 分 別 為 a， b的 圓 筒 形 磁 介 質(zhì) 中 ， 沿 軸 向 有 電 流 密度 為 J的 傳 導(dǎo) 電 流 ， 設(shè) 磁 介 質(zhì) 的 磁 導(dǎo) 率 為 ， 求 磁 化 電 流 分 布 。解 ： 設(shè) 磁 介 質(zhì) 為 無(wú) 限 長(zhǎng) ， 則 其 磁 場(chǎng) 分 布 具 有 軸 對(duì) 稱(chēng) 性 ， 可 用 安 培環(huán) 路 定 理 求 各 個(gè) 區(qū) 域 內(nèi) 由 傳 導(dǎo) 電 流 產(chǎn) 生 的 磁 場(chǎng) 分 布 。在 a的 區(qū) 域 ， 有在 ab的 區(qū) 域 ， 有 02 1 H 0,0 11 BH )(2),(2 )(2 2202222022 2202 aJeHBaJeHeH aJH )(2),(2 )(2 220030322033 2203 abJeHBabJeHeH abJH 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 62磁 介 質(zhì) 的 磁 化 強(qiáng) 度 ：磁 介 質(zhì) 內(nèi) 的 磁 化 電 流 密 度 ： )(2)1( 2200 020202 aJeHHBM 00 0 JeMJ zM 0)(2|)( 2200 0 aaJaeeMeMJ zanSM )(2| 2200 0 abJbeeMeMJ zbnSM 在 磁 介 質(zhì) 圓 筒 外 表 面 ， 有 ：在 磁 介 質(zhì) 圓 筒 內(nèi) 表 面 ， 有 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 632.4.3 媒 質(zhì) 的 傳 導(dǎo) 特 性 對(duì) 于 線(xiàn) 性 和 各 向 同 性 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) ， 媒 質(zhì) 內(nèi) 任 一 點(diǎn) 的 電 流 密 度 矢量 J 和 電 場(chǎng) 強(qiáng) 度 E 成 正 比 ， 表 示 為 EJ 這 就 是 歐 姆 定 律 的 微 分 形 式 。 式 中 的 比 例 系 數(shù) 稱(chēng) 為 媒 質(zhì) 的 電導(dǎo) 率 ， 單 位 是 S/m（ 西 門(mén) 子 /米 ） 。 晶 格帶 電 粒 子 存 在 可 以 自 由 移 動(dòng) 帶 電 粒 子 的 介 質(zhì) 稱(chēng) 為 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) 。 在 外 場(chǎng) 作用 下 ， 導(dǎo) 電 媒 質(zhì) 中 將 形 成 定 向 移 動(dòng) 電 流 。 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 642.5 電 磁 感 應(yīng) 定 律 和 位 移 電 流2.5.1 電 磁 感 應(yīng) 定 律 自 從 1820年 奧 斯 特 發(fā) 現(xiàn) 電 流 的 磁 效 應(yīng) 之 后 ， 人 們 開(kāi) 始 研 究 相反 的 問(wèn) 題 ， 即 磁 場(chǎng) 能 否 產(chǎn) 生 電 流 。 1881年 法 拉 弟 發(fā) 現(xiàn) ， 當(dāng) 穿 過(guò) 導(dǎo) 體 回 路 的 磁 通 量 發(fā) 生 變 化 時(shí) ，回 路 中 就 會(huì) 出 現(xiàn) 感 應(yīng) 電 流 和 電 動(dòng) 勢(shì) ， 且 感 應(yīng) 電 動(dòng) 勢(shì) 與 磁 通 量 的 變 化 有 密 切 關(guān) 系 ， 由 此 總 結(jié) 出 了 著 名 的 法 拉 電 磁 感 應(yīng) 定 律 。 電 磁 感 應(yīng) 定 律 揭 示 時(shí) 變 磁 場(chǎng) 產(chǎn) 生 電 場(chǎng) 位 移 電 流 揭 示 時(shí) 變 電 場(chǎng) 產(chǎn) 生 磁 場(chǎng) 重 要 結(jié) 論 ： 在 時(shí) 變 情 況 下 ， 電 場(chǎng) 與 磁 場(chǎng) 相 互 激 勵(lì) ， 形 成 統(tǒng) 一 的 電 磁 場(chǎng) 。 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 65負(fù) 號(hào) 表 示 感 應(yīng) 電 流 產(chǎn) 生 的 磁 場(chǎng) 總 是 阻 止 磁 通 量 的 變 化 。t in dd 1. 法 拉 弟 電 磁 感 應(yīng) 定 律 的 表 述 S SB d n B C S dl 設(shè) 任 意 導(dǎo) 體 回 路 C圍 成 的 曲 面 為 S， 其單 位 法 向 矢 量 為 ， 則 穿 過(guò) 回 路 的 磁 通 為 ne Sin SBt ddd 當(dāng) 通 過(guò) 導(dǎo) 體 回 路 所 圍 面 積 的 磁 通 量 發(fā)生 變 化 時(shí) ， 回 路 中 產(chǎn) 生 的 感 應(yīng) 電 動(dòng) 勢(shì) in的 大小 等 于 磁 通 量 的 時(shí) 間 變 化 率 的 負(fù) 值 ， 方 向 是要 阻 止 回 路 中 磁 通 量 的 改 變 ， 即 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 66din inC E l 導(dǎo) 體 回 路 中 存 在 感 應(yīng) 電 動(dòng) 勢(shì) 是 回 路 中 存 在 感 應(yīng) 電 場(chǎng) 的 結(jié) 果 ，感 應(yīng) 電 動(dòng) 勢(shì) 等 于 感 應(yīng) 電 場(chǎng) 沿 回 路 的 線(xiàn) 積 分 ， 即 ： inE 感 應(yīng) 電 場(chǎng) 是 由 變 化 的 磁 場(chǎng) 所 激 發(fā) 的 電 場(chǎng) ； 感 應(yīng) 電 場(chǎng) 是 有 旋 場(chǎng) ； 感 應(yīng) 電 場(chǎng) 不 僅 存 在 于 導(dǎo) 體 回 路 中 ， 也 存 在 于 導(dǎo) 體 回 路 之 外 的 空 間 ； 對(duì) 空 間 中 的 任 意 回 路 （ 不 一 定 是 導(dǎo) 體 回 路 ） C ， 都 有因 而 有 dd ddinC SE l B St dd ddinC SE l B St 對(duì) 感 應(yīng) 電 場(chǎng) 的 討 論 ： 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 67 相 應(yīng) 的 微 分 形 式 為(1) 回 路 不 變 ， 磁 場(chǎng) 隨 時(shí) 間 變 化d d dd S S BB S St t 這 就 是 推 廣 的 法 拉 第 電 磁 感 應(yīng) 定 律 。d 0cC E l 若 空 間 同 時(shí) 存 在 自 由 電 荷 產(chǎn) 生 的 電 場(chǎng) ,則 總 電 場(chǎng) 應(yīng) 為 與 之 和 ， 即 。 由 于 ， 故 有 E inE cEin cE E E cE2. 引 起 回 路 中 磁 通 變 化 的 幾 種 情 況 ：磁 通 量 的 變 化 由 磁 場(chǎng) 隨 時(shí) 間 變 化 引 起 ， 因 此 有dd ddC SE l B St BE t d dC S BE l St 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 68稱(chēng) 為 動(dòng) 生 電 動(dòng) 勢(shì) ， 這 就 是 發(fā) 電 機(jī) 工 作 原 理 。( 2 ) 導(dǎo) 體 回 路 在 恒 定 磁 場(chǎng) 中 運(yùn) 動(dòng)d ( ) din C CE l v B l ( 3 ) 回 路 在 時(shí) 變 磁 場(chǎng) 中 運(yùn) 動(dòng)d ( ) d d in C C S BE l v B l St )( BvtBE 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 69 （ 1） ， 矩 形 回 路 靜 止 ；)cos(0 tBeB z x baoy x 均 勻 磁 場(chǎng) 中 的 矩 形 環(huán)L vB0 0d cos( ) d sin( )in z zS SB S e B t e S abB tt t （ 3） ， 且 矩 形 回 路上 的 可 滑 動(dòng) 導(dǎo) 體 L以 勻 速 運(yùn) 動(dòng) 。vev x)cos(0 tBeB z 解 ： (1) 均 勻 磁 場(chǎng) 隨 時(shí) 間 變 化 ，而 回 路 靜 止 ， 因 而 回 路 內(nèi) 的 感 應(yīng) 電 動(dòng) 勢(shì)是 由 磁 場(chǎng) 變 化 產(chǎn) 生 的 ， 故B 例 2.5.1 長(zhǎng) 為 a、 寬 為 b 的 矩 形 環(huán) 中 有 均 勻 磁 場(chǎng) 垂 直 穿 過(guò) ，如 圖 所 示 。 在 以 下 三 種 情 況 下 ， 求 矩 形 環(huán) 內(nèi) 的 感 應(yīng) 電 動(dòng) 勢(shì) 。B （ 2） ， 矩 形 回 路 的 寬 邊 b = 常 數(shù) ， 但 其 長(zhǎng) 邊 因 可 滑 動(dòng)導(dǎo) 體 L以 勻 速 運(yùn) 動(dòng) 而 隨 時(shí) 間 增 大 ；0BeB z xv e v 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 70 ( 3 ) 矩 形 回 路 中 的 感 應(yīng) 電 動(dòng) 勢(shì) 是 由 磁 場(chǎng) 變 化 以 及 可 滑 動(dòng) 導(dǎo) 體 L在 磁 場(chǎng) 中 運(yùn) 動(dòng) 產(chǎn) 生 的 ， 故 得 0 0( ) d ( ) din x z yC Cv B l e v e B e l vB b 0 00 0d ( ) d( cos ) d ( cos ) dsin cosin S Cz z x z yS CB S v B lte B t e S e v e B t e ltvt bB t vbB t ( 2 ) 均 勻 磁 場(chǎng) 為 恒 定 磁 場(chǎng) ， 而 回 路 上 的 可 滑 動(dòng) 導(dǎo) 體 以 勻 速運(yùn) 動(dòng) ， 因 而 回 路 內(nèi) 的 感 應(yīng) 電 動(dòng) 勢(shì) 全 部 是 由 導(dǎo) 體 L在 磁 場(chǎng) 中 運(yùn) 動(dòng) 產(chǎn)生 的 ， 故 得 B或 0 0d dd ( )d din S B S bB vt bB vt t 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 71 （ 1） 線(xiàn) 圈 靜 止 時(shí) 的 感 應(yīng) 電 動(dòng) 勢(shì) ； 解 : （ 1） 線(xiàn) 圈 靜 止 時(shí) ， 感 應(yīng) 電 動(dòng) 勢(shì) 是 由 時(shí) 變 磁 場(chǎng) 引 起 ， 故 （ 2） 線(xiàn) 圈 以 角 速 度 繞 x 軸 旋 轉(zhuǎn) 時(shí) 的 感 應(yīng) 電 動(dòng) 勢(shì) 。 a b 例 2.5.2 在 時(shí) 變 磁 場(chǎng) 中 ， 放 置 有 一 個(gè) 的矩 形 線(xiàn) 圈 。 初 始 時(shí) 刻 ， 線(xiàn) 圈 平 面 的 法 向 單 位 矢 量 與 成 角 ， 如圖 所 示 。 試 求 ： 0 sinyB e B t ne yed d in c BE l St 0( sin d )y ns e B t e St 0 cos cos ds B t S 0 cos cosB ab t x yz ab B時(shí) 變 磁 場(chǎng) 中 的 矩 形 線(xiàn) 圈 ne 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 72 假 定 時(shí) ， 則 在 時(shí) 刻 t 時(shí) ， 與 y 軸 的 夾 角 ，故 0t 0 ne t 方 法 一 ： 利 用 式 計(jì) 算d ddin S B St （ 2） 線(xiàn) 圈 繞 x 軸 旋 轉(zhuǎn) 時(shí) ， 的 指 向 將 隨 時(shí) 間 變 化 。 線(xiàn) 圈 內(nèi) 的感 應(yīng) 電 動(dòng) 勢(shì) 可 以 用 兩 種 方 法 計(jì) 算 。ne0 0 0 0d ddd dsin d ( sin cos )d dd 1( sin2 ) cos2d 2in S y nS B St e B t e S abB t tt tB ab t B ab tt 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 73 1 023 04 0( ) d ( ) sin d2( ) sin d2sin sinn y xc n y xbv B l e e B t e xbe e B t e xB ab t 0 0 2 20 00 cos cos sin sincos sincos2in ab B t B ab tB ab t B ab tB ab t 上 式 右 端 第 一 項(xiàng) 與 ( 1 )相 同 ， 第 二 項(xiàng) x yz ab B時(shí) 變 磁 場(chǎng) 中 的 矩 形 線(xiàn) 圈 ne1 234 方 法 二 ： 利 用 式( ) d din c S Bv B l St 計(jì) 算 。 線(xiàn) 速 度 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 742.5.2 位 移 電 流 靜 態(tài) 情 況 下 的 電 場(chǎng) 基 本 方 程 在 非 靜 態(tài) 時(shí) 發(fā) 生 了 變 化 ， 即0 E tBE 這 不 僅 是 方 程 形 式 的 變 化 ， 而 是 一 個(gè) 本 質(zhì) 的 變 化 ， 其 中 包 含 了重 要 的 物 理 事 實(shí) ， 即 時(shí) 變 磁 場(chǎng) 可 以 激 發(fā) 電 場(chǎng) 。 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 751. 全 電 流 定 律而 由 JH 時(shí) 變 情 況 下 ， 電 荷 分 布 隨 時(shí) 間 變 化 ， 由 電 流 連 續(xù) 性 方 程 有 )( DtJ 發(fā) 生 矛 盾在 時(shí) 變 的 情 況 下 不 適 用 解 決 辦 法 ： 對(duì) 安 培 環(huán) 路 定 理 進(jìn) 行 修 正由 D 0)( HJ 0)( tDJ 0 tJ 將 修 正 為 ： JH tDJH 矛 盾 解 決時(shí) 變 電 場(chǎng) 會(huì) 激 發(fā) 磁 場(chǎng) 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 76全 電 流 定 律 ： tDJH 微 分 形 式StDJlHC s d)(d 積 分 形 式 全 電 流 定 律 揭 示 不 僅 傳 導(dǎo) 電 流 激 發(fā) 磁 場(chǎng) ， 變 化 的 電 場(chǎng) 也 可以 激 發(fā) 磁 場(chǎng) 。 它 與 變 化 的 磁 場(chǎng) 激 發(fā) 電 場(chǎng) 形 成 自 然 界 的 一 個(gè) 對(duì) 偶關(guān) 系 。 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 77t DJd 2. 位 移 電 流 密 度q 電 位 移 矢 量 隨 時(shí) 間 的 變 化 率 ， 能 像 電流 一 樣 產(chǎn) 生 磁 場(chǎng) ， 故 稱(chēng) “ 位 移 電 流 ” 。注 ： 在 絕 緣 介 質(zhì) 中 ， 無(wú) 傳 導(dǎo) 電 流 ， 但 有 位 移 電 流 ； 在 理 想 導(dǎo) 體 中 ， 無(wú) 位 移 電 流 ， 但 有 傳 導(dǎo) 電 流 ； 在 一 般 介 質(zhì) 中 ， 既 有 傳 導(dǎo) 電 流 ， 又 有 位 移 電 流 。q 位 移 電 流 只 表 示 電 場(chǎng) 的 變 化 率 ， 與 傳導(dǎo) 電 流 不 同 ， 它 不 產(chǎn) 生 熱 效 應(yīng) 。q 位 移 電 流 的 引 入 是 建 立 麥 克 斯 韋 方 程 組 的 至 關(guān) 重 要 的 一 步 ， 它揭 示 了 時(shí) 變 電 場(chǎng) 產(chǎn) 生 磁 場(chǎng) 這 一 重 要 的 物 理 概 念 。 dJ 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 78 例 2.5.3 海 水 的 電 導(dǎo) 率 為 4S/m， 相 對(duì) 介 電 常 數(shù) 為 81， 求 頻 率為 1MH z時(shí) ， 位 移 電 流 振 幅 與 傳 導(dǎo) 電 流 振 幅 的 比 值 。 解 ： 設(shè) 電 場(chǎng) 隨 時(shí) 間 作 正 弦 變 化 ， 表 示 為則 位 移 電 流 密 度 為其 振 幅 值 為傳 導(dǎo) 電 流 的 振 幅 值 為故 tEeE mx cos tEetDJ mrxd sin0 mmrdm EEJ 30 105.4 mmcm EEJ 4 310125.1 cmdmJJ 第 2章 電 磁 場(chǎng) 與 電 磁 波 79cos( ) A/mx mH e H t kz 2( )cos( )sin( ) A/md x y z x xx