第05章 市場風(fēng)險：波動率

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1、王 鵬 博士西南財經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院Chapter 05 市 場 風(fēng) 險 ： 波 動 率 Copyright Wang Peng， 20102/76 引 言v對金融市場波動性的研究是現(xiàn)代金融理論的核心內(nèi)容之一。v波動性不僅是金融風(fēng)險資產(chǎn)的決定因素，還是金融衍生產(chǎn)品定價中的一個關(guān)鍵參數(shù)。v能否對市場波動做出準(zhǔn)確的刻畫和預(yù)測，直接關(guān)系到風(fēng)險管理的有效性和衍生產(chǎn)品定價的合理性等重要問題。 Copyright Wang Peng， 20103/76 內(nèi) 容 提 要v波動率的定義v采用歷史數(shù)據(jù)估計波動率v收益率是否服從正態(tài)分布v監(jiān)測日波動率v指數(shù)加權(quán)移動平均模型vGARCH模型、隨機波動模型、隱含波動率模型

2、、實現(xiàn)波動率模型v模型選擇和極大似然估計 Copyright Wang Peng， 20104/76 5.1 波 動 率 的 定 義v波動率：單位時間內(nèi)連續(xù)復(fù)利收益率的標(biāo)準(zhǔn)差v期權(quán)定價：一年v風(fēng)險控制：一天v不同期限波動率之間的轉(zhuǎn)換：時間的平方根規(guī)則 Copyright Wang Peng， 20105/76 5.1 波 動 率 的 定 義vExamplev一股票價格為50美元，其波動率為每年30，對應(yīng)于每周的價格百分比變化的標(biāo)準(zhǔn)差近似為：v因此，股票價格每周變化的標(biāo)準(zhǔn)差為500.0416，即2.08美元。30% 152 4.16% Copyright Wang Peng， 20106/76

3、5.1 波 動 率 的 定 義v方差變化率v方差：波動率的平方v波動率與時間的平方根成正比v方差與時間本身成正比 Copyright Wang Peng， 20107/76 5.1 波 動 率 的 定 義v交易天數(shù)與日歷天數(shù)v計算波動率時，應(yīng)該采用交易天數(shù) or 日歷天數(shù)？v研究人員證明：價格在交易時間內(nèi)的波動比無交易時間的波動大得多，所以采用歷史數(shù)據(jù)估計波動率時，應(yīng)該忽略無交易的天數(shù)v美國：約252個交易日v中國：約250個交易日 Copyright Wang Peng， 20108/76 5.1 波 動 率 的 定 義v若為某資產(chǎn)的年波動率year，day為相應(yīng)的日波動率，則：v或252

4、year day 250year day Copyright Wang Peng， 20109/76 5.1 波 動 率 的 定 義v思考：波動率由何而來？ 圖6-1 標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)和上證綜指收益率的波動情況 Copyright Wang Peng， 201010/76 5.1 波 動 率 的 定 義v一個自然假設(shè)：波動率是由到達(dá)市場的新信息引起v上述假設(shè)并未得到實證研究（Fama，1965；French，1980；French and Roll，1980）的支持vFama等學(xué)者的研究思路：v計算（1）中間不含非交易日時，一個交易日結(jié)束到下一個交易日結(jié)束時股票價格收益率的方差；（2）周五收

5、盤到下周一收盤時收益率的方差 Copyright Wang Peng， 201011/76 5.1 波 動 率 的 定 義v若假設(shè)成立，第（2）項方差應(yīng)為第（1）項方差的3倍v實證研究結(jié)論：第（2）項方差為第（1）項方差的1.22倍、1.19倍、1.107倍v這樣結(jié)果出現(xiàn)的原因是否在于開盤時有更多新信息？vRoll（1984）對橙子期貨價格的類似研究并不支持這樣的解釋 Copyright Wang Peng， 201012/76 5.2 采 用 歷 史 數(shù) 據(jù) 估 計 波 動 率v假定樣本數(shù)據(jù)為日數(shù)據(jù)v步驟：v（1）計算樣本期內(nèi)每天的連續(xù)復(fù)利收益率rt；v（2）計算rt的標(biāo)準(zhǔn)差；v（3）根據(jù)“

6、時間的平方根”法則對進行調(diào)整。v計算實例：HS300.xls 2111 n t ii r rn (6-1) Copyright Wang Peng， 201013/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布vEMH和Black-Scholes模型：v資產(chǎn)價格為獨立連續(xù)變化，波動率為常數(shù)v這意味著在任意時間t內(nèi)，收益率均服從正態(tài)分布且標(biāo)準(zhǔn)差為：v現(xiàn)實是這樣的嗎？t Copyright Wang Peng， 201014/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布 v擇時交易的小概率困境Real World (%) Normal Model (%)1 SD 25.04

7、31.732 SD 5.27 4.553 SD 1.34 0.274 SD 0.29 0.015 SD 0.08 0.006 SD 0.03 0.00 表6-1 價格變化大于16個標(biāo)準(zhǔn)差的天數(shù)占全部觀察日的比例注 ： 表 中 ， SD表 示 價 格 變 化 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 。資 料 來 源 ： H ull J, White A. Journal of Derivatives, 1998, 5(3): 9-19. Copyright Wang Peng， 201015/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布v資產(chǎn)日收益率并不服從正態(tài)分布，差異主要表現(xiàn)在：v（1）實際分布的尾部較

8、正態(tài)分布更厚v（2）分布的尖峰較正態(tài)分布更高v意味著什么？v金融市場中，較小的價格變化和較大的價格變化出現(xiàn)的概率往往大于正態(tài)分布下的情況！ Copyright Wang Peng， 201016/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布 圖6-3 正態(tài)分布與某一厚尾分布的比較 Copyright Wang Peng， 201017/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布v正態(tài)分布的代替：冪律分布（Power law）v對于變量v，當(dāng)x很大時：Prob(v x) = Kx-av其中，K 和 a 為常數(shù)。v(6-2)式已被證明適用于許多變量，如個人收入、城市規(guī)模和

9、網(wǎng)頁被點擊的次數(shù)等。(6-2) Copyright Wang Peng， 201018/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布v由式(6-2)：ln Prob(v x) = ln K a lnxv可以通過lnProb(v x) lnx的線性關(guān)系來驗證式(6-2)x lnx Prob(vx) lnProb(vx) x lnx Prob(vx) lnProb(vx)1 0.000 0.12520 -2.078 4 1.386 0.00145 -6.536 2 0.693 0.02635 -3.636 5 1.609 0.00040 -7.8243 1.099 0.00670 -5

10、.006 6 1.792 0.00015 -8.805表6-2 由表6-1得出的數(shù)值 Copyright Wang Peng， 201019/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布 圖6-4 基于表6-1的雙對數(shù)圖 Copyright Wang Peng， 201020/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布v圖6-4表明，價格變化大于x個標(biāo)準(zhǔn)差的概率的對數(shù)與ln x呈線性關(guān)系，這說明了冪律的正確性。v利用x3，4，5，6的數(shù)據(jù)，可以得出最優(yōu)擬合曲線為：v即： ln Pr 1.06 5.51lnv x x 1.06 2.88K e 5.51 Copyrigh

11、t Wang Peng， 201021/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布v一個大于4.5倍標(biāo)準(zhǔn)差的變化（可正可負(fù)）出現(xiàn)的概率為：v一個大于7倍標(biāo)準(zhǔn)差的變化（可正可負(fù)）出現(xiàn)的概率為：5.512 2.88 4.5 0.00146 5.512 2.88 7 0.0000642 Copyright Wang Peng， 201022/76 5.4 監(jiān) 測 日 波 動 率v日波動率為常數(shù)的假設(shè)與實際嚴(yán)重不符v可以利用最新價格不斷更正對波動率的估計，從而得到每天不同的波動率v計算實例：HS300.xlsv對式(6-1)的調(diào)整：v（1）令 ；（2）用n代替n-1v調(diào)整后：0r 2 2

12、11 nt t ii rn (6-3) Copyright Wang Peng， 201023/76 5.4 監(jiān) 測 日 波 動 率v加權(quán)權(quán)重v式(6-3)：不同滯后期發(fā)生的各種事件對未來波動率都具有相同權(quán)重的影響v缺陷：幽靈效應(yīng)（Ghost effect）v金融市場中，不同時期的歷史數(shù)據(jù)對于未來波動率會有不同程度的影響，即越是近期的數(shù)據(jù)，對于未來波動的影響應(yīng)該越大。 Copyright Wang Peng， 201024/76 5.4 監(jiān) 測 日 波 動 率v對(6-3)的一個自然改進：v其中，權(quán)重系數(shù)ai隨滯后期數(shù)i的增加而減小，且2 21nt i t ii r 1 2 1n (6-4)i

13、 j 當(dāng)i j 時， Copyright Wang Peng， 201025/76 5.4 監(jiān) 測 日 波 動 率v假定存在某一長期平均方差VL，則可將式(6-4)寫為：v其中，為VL所對應(yīng)的權(quán)重，且繼續(xù)有：2 21nt L i t iiV r 1 1n ii (6-5) Copyright Wang Peng， 201026/76 5.4 監(jiān) 測 日 波 動 率v式(6-5)：ARCH(n) 模型Engle（1982）vARCH(n)：方差的估計值與長期平均方差以及最近n個觀察值有關(guān)，且觀察數(shù)據(jù)越久遠(yuǎn)，其權(quán)重越小。v令 ，有： LV 2 21nt i t ii r Copyright Wan

14、g Peng， 201027/76 5.5 指 數(shù) 加 權(quán) 移 動 平 均 模 型v指數(shù)加權(quán)移動平均模型EWMA：式(6-4)的一個特殊形式，其中的權(quán)重系數(shù)ai隨滯后時期延長而按指數(shù)速度衰減：v其中，為一取值為01的常數(shù)v由此出發(fā)，波動率估計模型可以表示為： 1i i 2 2 2 1 21 1 11 1 n it t t t iir r Copyright Wang Peng， 201028/76 5.5 指 數(shù) 加 權(quán) 移 動 平 均 模 型v歷史信息對于未來波動的影響隨時間間隔增大而衰減的速度通過衰減因子（decay factor）反映。v一個較大的值意味著歷史信息對于未來波動影響的衰減速

15、度較慢，而一個較小的值意味著這一衰減速度較快。 vEWMA模型中的波動率估計完全依賴于其中的唯一參數(shù)衰減因子 ，這給該模型的應(yīng)用帶來了較大便利。v但 究竟取何值合適并沒有一致的標(biāo)準(zhǔn)，并且保持常數(shù)顯然與市場的時變波動特征相抵觸。 Copyright Wang Peng， 201029/76 5.5 指 數(shù) 加 權(quán) 移 動 平 均 模 型vJ.P. Morgan投資銀行開發(fā)的RiskMetrics技術(shù)曾建議將取為0.94，但該技術(shù)在金融風(fēng)險測度領(lǐng)域中的糟糕表現(xiàn)，說明這一取值并不具備較強的合理性和實用性。 v另外，EWMA模型還隱含著未來各期波動率的期望值都是當(dāng)前的波動率水平，即 ，這顯然忽視了近期

16、數(shù)據(jù)特征對于波動過程的較強影響。 2 2 1,2,3,t k tE k Copyright Wang Peng， 201030/76 5.6 GARCH類 模 型vGARCH類模型是目前金融研究中居于統(tǒng)治地位的一類波動率測度方法 。v該方法起源于Engle（1982）提出自回歸條件異方差模型（Auto-regressive Conditional Heteroscedastics，ARCH）的開創(chuàng)性工作。vEngle的學(xué)生Bollerslev（1986）通過將ARCH模型拓展，提出了廣義自回歸條件異方差模型（GARCH）。 Copyright Wang Peng， 201031/76 5.6

17、GARCH類 模 型Robert F. Engle 2003年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者Tim Bollerslev Copyright Wang Peng， 201032/76 5.6 GARCH類 模 型v在GARCH模型中， 是由長期平均方差VL 、rt-1、 所組成。v研究中最常用的GARCH(1,1)模型表示為：v且：2t 1t 2 2 21 1t L t tV r 1 Copyright Wang Peng， 201033/76 5.6 GARCH類 模 型vEWMA模型是GARCH(1,1)模型對應(yīng)于0，1 ，的情形。vGARCH(1,1)模型中的(1,1)代表 是由最近的收益率觀察值

18、以及最近的方差估計所得。vGARCH(p,q): 2t 2 2 21 1p qt L i t i i t ii iV r Copyright Wang Peng， 201034/76 5.6 GARCH類 模 型v令 ，GARCH(1,1):v繼續(xù)有：v且LV 2 2 21 1t t tr 1 LV 1 (6-6) Copyright Wang Peng， 201035/76 5.6 GARCH類 模 型v權(quán)重v將 代入式(6-6)，可得：v繼續(xù)代入 ： 2 2 2 21 2 2 2 2 2 21 2 2 t t t tt t tr rr r 21t 2 2t 2 2 2 2 2 2 3 21

19、 2 3 3t t t t tr r r Copyright Wang Peng， 201036/76 5.6 GARCH類 模 型v繼續(xù)代入，可以看到 的權(quán)重為 ，即權(quán)重以指數(shù)速度下降，參數(shù)可被解釋為衰減率（Decay rate），類似于EWMA模型中的系數(shù)，決定了不同時期ri的重要性。v0.9： 的重要性只是 的90， 的重要性只是 的81， 與EWMA不同，GARCH(1,1)對長期平均方差也施加了權(quán)重。2t ir 1i 22tr 21tr 23tr21tr Copyright Wang Peng， 201037/76 5.6 GARCH類 模 型vGARCH模型較好地刻畫了收益率波動的

20、聚集性，但卻無法描述波動的非對稱效應(yīng)。v為了解決這一問題，有學(xué)者提出了幾種非對稱GARCH模型，其中最常用的包括Nelson（1990）提出的EGARCH（Expotional GARCH）模型；Glosten et al.（1993）提出的GJR模型；以及Ding et al.（1993）提出的APARCH（Asymmetric power ARCH）模型。 Copyright Wang Peng， 201038/76 5.6 GARCH類 模 型v另外，在研究一些金融時間序列時，有學(xué)者還注意到誤差項的自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)典型的雙曲率衰減特征，這引發(fā)了ARCH模型與長記憶過程相結(jié)合的研究熱潮。 F

21、IGARCH-BBM FIGARCH-Chuang FIEGARCH FIAPARCH Copyright Wang Peng， 201039/76 5.6 GARCH類 模 型vGARCH類模型本身還是存在若干無法克服的缺陷v在所有GARCH類模型中，系數(shù)都衡量了金融市場隨機因素對未來波動的沖擊程度，而 系數(shù)則衡量了波動率的持續(xù)程度。v由于GARCH類模型的平穩(wěn)性要求 ，所以在隨機因素沖擊程度和波動率持續(xù)性程度之間就存在數(shù)值上的平衡（即兩者不能同時增加，從而導(dǎo)致 情況的出現(xiàn)），從而導(dǎo)致GARCH類過程很難捕捉到金融市場突然發(fā)生的 大幅波動。1 1 Copyright Wang Peng， 2

22、01040/76 5.7 隨 機 波 動 模 型v隨機波動（Stochastic volatility）模型又稱隨機方差（Stochastic variance）模型，簡稱SV模型 。v廣義的SV模型可以分為兩種：連續(xù)時間SV模型和離散時間SV模型。v目前，在文獻(xiàn)中常用的是Taylor提出的離散時間SV模型。 Copyright Wang Peng， 201041/76 5.7 隨 機 波 動 模 型v與ARCH模型不同的是，該模型假定條件波動率是不可觀測的（Unobservable），且其服從以下形式的隨機過程：v其中，不可觀測的對數(shù)波動率（log-volatility）ht滿足：v且有 2

23、 *2expt th 1 1t t th h 0,1t NID 2 21 0, 1h NID Copyright Wang Peng， 201042/76 5.7 隨 機 波 動 模 型v在SV模型中，由于條件波動率是一個不可觀測的變量，很難計算出其精確的似然函數(shù)，故對SV 模型的估計存在著較大困難。 v一直以來，盡管眾多學(xué)者不斷在嘗試提出各種不同類型的估計方法，但SV模型始終沒有像ARCH族模型一樣，成為被金融理論界與實務(wù)界所普遍使用的波動率測度方法。 Copyright Wang Peng， 201043/76 5.8 實 現(xiàn) 波 動 率 模 型v實現(xiàn)波動率（Realized volati

24、lity，RV）是基于日內(nèi)收益數(shù)據(jù)平方和的一種波動率測度，這一概念由Andersen and Bollerslev（1998）首次提出。v他們認(rèn)為，使用高頻的交易日內(nèi)收益數(shù)據(jù)可以獲得對日波動率更精確的描述。 Torben G. Andersen Copyright Wang Peng， 201044/76 5.8 實 現(xiàn) 波 動 率 模 型vAndersen and Bollerslev（1998）同時也指出，傳統(tǒng)上運用日收益率的平方作為日波動率的測度將會面臨非常嚴(yán)重的測量誤差和噪聲問題，而使用交易日內(nèi)的高頻收益數(shù)據(jù)將大大降低這些誤差和噪聲對潛在波動率過程的影響，并且隨著高頻收益率頻率的增加，

25、這種測量的誤差將會越來越小。v但是，由于市場微觀結(jié)構(gòu)效應(yīng)的影響，在實際運用當(dāng)中，也并非高頻收益率的頻率越高越好。 Copyright Wang Peng， 201045/76 5.8 實 現(xiàn) 波 動 率 模 型 Copyright Wang Peng， 201046/76 5.8 實 現(xiàn) 波 動 率 模 型vTorben G. Andersen是實現(xiàn)波動率測度研究的集大成者，他與Bollerslev等學(xué)者對這一波動率測度方法的一系列理論及實證分析發(fā)表于Econometrica等頂級金融計量雜志上。v這一系列的研究發(fā)現(xiàn)，對數(shù)實現(xiàn)波動率序列往往具有長記憶、同方差、非條件正態(tài)等典型特征，而這些特征可

26、以通過不帶自回歸項的ARFIMA(p,d,0) 模型來刻畫，因此，文獻(xiàn)中涉及RV建模時，一般采用ARFIMA(p,d,0)模型。 Copyright Wang Peng， 201047/76 5.8 實 現(xiàn) 波 動 率 模 型v盡管RV測度及其模型具備非常良好的理論性質(zhì)及較強的對真實波動率的刻畫能力，但這一方法也不是無懈可擊的。vAndersen et al.（2006）曾對RV估計及建模中所面臨的一些難題進行了總結(jié)，其中最為突出就是對估計RV時所采用的高頻數(shù)據(jù)抽樣頻率無法取得一致標(biāo)準(zhǔn)。 Copyright Wang Peng， 201048/76 5.8 實 現(xiàn) 波 動 率 模 型vEngl

27、e and Gallo（2006）也指出，由于無法避免市場微觀結(jié)構(gòu)噪音的影響，基于高頻數(shù)據(jù)的RV測度并不像其理論描述的那樣完美。v另外，運用ARFIMA(p,d,0)為RV序列建模也會導(dǎo)致實現(xiàn)波動率過程中的跳躍（Jumps）和擴散（Diffusive）成分被割裂，因此更為合理的RV動力學(xué)模型也有待于進一步發(fā)掘。 Copyright Wang Peng， 201049/76 5.9 隱 含 波 動 率 模 型v隱含波動率IV是從期權(quán)價格中反推出的波動率vBlack-Scholes期權(quán)定價公式：v其中： exp tc S k rT X k T 2ln 2tS T rXk T Copyright W

28、ang Peng， 201050/76 5.9 隱 含 波 動 率 模 型vIV模型的基本思想：利用在現(xiàn)實市場中觀察到的期權(quán)價格數(shù)據(jù)和已有的期權(quán)定價公式，反推出與現(xiàn)實期權(quán)價格一致的標(biāo)的資產(chǎn)波動率。v求解方法1： , , , ; BS tc c S r X T 21min , , , ;n mktBS i BS t i iiMSE c c S r X T Copyright Wang Peng， 201051/76 5.9 隱 含 波 動 率 模 型v求解方法2：迭代法v基礎(chǔ)：期權(quán)價格與波動率之間的單調(diào)變化關(guān)系v步驟：v（1）取一個初始的波動率值，計算一個理論價格cBS;v（2）將cBS與期權(quán)市

29、場價格cmkt比較，若cBS cmkt ，增加，反之減小；v（3）每次迭代都使得所在的區(qū)間減半，不斷重復(fù)第一步和第二步，直至選取的值使得 c BS cmkt 。v基于多分形波動率測度的權(quán)證定價方法研究 Copyright Wang Peng， 201052/76 5.9 隱 含 波 動 率 模 型vVIX指數(shù)v隱含波動率反映了投資者對于未來市場波動率的預(yù)期v芝加哥期權(quán)交易所發(fā)表隱含期權(quán)指數(shù)v最流行的是VIX指數(shù)，它是對S&P500指數(shù)隱含波動率的一種測度 Copyright Wang Peng， 201053/76 5.9 隱 含 波 動 率 模 型 圖6-2 VIX指數(shù) Copyright

30、Wang Peng， 201054/76 5.9 隱 含 波 動 率 模 型vIV模型與歷史方差模型、指數(shù)加權(quán)移動平均模型、ARCH類模型的最大不同在于：IV模型來源于期權(quán)價格數(shù)據(jù)。v由于期權(quán)價格在很大程度上反映了市場參與者對標(biāo)的資產(chǎn)未來價格的一種心理預(yù)期，因此基于IV模型其實是“向前看”（Forward-looking ）的；v由于其余三種模型都是基于歷史數(shù)據(jù)，因此可以被認(rèn)為是“向后看”（Back-looking）的波動率測度方法。 Copyright Wang Peng， 201055/76 5.9 隱 含 波 動 率 模 型v或許正是由于具備“向前看”的特殊性質(zhì)，IV模型在有關(guān)波動率預(yù)測

31、的實證研究領(lǐng)域有著較為優(yōu)異的表現(xiàn)。 vIV模型的波動率測度精度嚴(yán)重依賴于所使用的期權(quán)定價公式的正確性，而現(xiàn)有的很多期權(quán)定價公式本身都具有這樣或那樣的局限。 Copyright Wang Peng， 201056/76 5.9 隱 含 波 動 率 模 型v另外，IV方法也只能運用于具有相應(yīng)期權(quán)產(chǎn)品的資產(chǎn)波動率度量。v對于大部分金融資產(chǎn)，由于沒有相應(yīng)的期權(quán)產(chǎn)品交易，故不能使用IV方法測度其波動率（這一點在我國金融市場中的表現(xiàn)尤為明顯）。v因此，盡管這一方法具有非常良好的理論出發(fā)點和實證表現(xiàn)，但并沒有像GARCH族模型一樣得到廣泛應(yīng)用。 Copyright Wang Peng， 201057/76

32、5.10 極 大 似 然 估 計v隨機抽取某天中10只股票的價格，發(fā)現(xiàn)其中一只價格在這一天中下降了，而其它9只股票價格有所升高或至少沒有下跌。v問：一只股票價格下降的概率的最好估計是多少？v自然是0.1 !v0.1是否是極大似然估計（Maximum Likelihood Estimation）所給出的結(jié)果呢？ Copyright Wang Peng， 201058/76 5.10 極 大 似 然 估 計v將股票價格下降的概率記為p，則10只股票中只有一只股票價格下跌，而其它股票價格不跌的概率為p(1-p)9v應(yīng)用極大似然估計，最好的估計值就是使得p(1-p)9取得最大值的那個數(shù)。v將p(1-p

33、) 9對p求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為零，得出該數(shù)字為0.1 Copyright Wang Peng， 201059/76 5.10 極 大 似 然 估 計v極大似然估計的基本思想:v在一次抽樣中，若得觀測值 ，則選取 作為的估計值。使得當(dāng)： 時，樣本出現(xiàn)的概率最大。1 2, , Tx x x, 1 2 , , Tx x x , 1 2 , , Tx x x , Copyright Wang Peng， 201060/76 5.10 極 大 似 然 估 計v估計常數(shù)方差v假定某隨機變量X服從正態(tài)分布，并且期望值為0，目前已取得該變量的T個觀察值，要求：運用MLE估計X的方差v假定觀察值為 ，并記方差為v，

34、則觀察值Xut的概率等于X的概率密度函數(shù)在ut處的取值，即： 1 2, , , Tu u u 21 exp 22 tuvv Copyright Wang Peng， 201061/76 5.10 極 大 似 然 估 計vT個觀察值恰好為 的概率為：v應(yīng)用MLE，使得式(6-7)達(dá)到最大值的v即為最優(yōu)估計值。21 1 exp 22T tt uvv (6-7)1 2, , , Tu u u Copyright Wang Peng， 201062/76 5.10 極 大 似 然 估 計v具體求解：對式(6-7)求對數(shù)，并忽略常數(shù)項，得：v或：v將以上表達(dá)式對v求一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，可得v的MLE

35、估計值： 21 lnT tt uv v 21ln T tt uT v v 2 11 T tt uT Copyright Wang Peng， 201063/76 5.10 極 大 似 然 估 計v估計GARCH(1,1)或EWMA中的參數(shù)v令 為第t天方差的估計，我們需要得出最佳參數(shù)使得以下表達(dá)式最大化：2t tv 21 1 exp 22T tt tt uvv Copyright Wang Peng， 201064/76 5.10 極 大 似 然 估 計v對上式求對數(shù)，可以得出求解最大化的等價公式：v求解方法：迭代法 21 lnT ttt tuv v Copyright Wang Peng，

36、201065/76 5.10 極 大 似 然 估 計 注：表中所標(biāo)i應(yīng)為t。 表6-3 估計GARCH(1,1)模型中的參數(shù)0.00000176 0.0626 0.8991 ， ，解得： Copyright Wang Peng， 201066/76 5.10 極 大 似 然 估 計v長期平均方差VL為：v長期波動率為 ，即每天0.6650.00000176 0.000044221 1 0.0626 0.8991 0.00004422 Copyright Wang Peng， 201067/76 5.10 極 大 似 然 估 計 圖6-5 日元/美元匯率19881997年的日波動率 Copyri

37、ght Wang Peng， 201068/76 5.10 極 大 似 然 估 計v另一種估計方法：方差目標(biāo)法（Variance targeting）v將長期平均方差VL設(shè)定為由數(shù)據(jù)計算出的抽樣方差，則只需估計剩余的另個參數(shù)vEWMA模型的估計v由于 ，因此只需估計一個參數(shù)0 1 ， ， Copyright Wang Peng， 201069/76 5.10 極 大 似 然 估 計v模型表現(xiàn)如何v檢驗原理：GARCH模型假定波動率的變化與時間有關(guān)，在某一段時間波動率較高，而在其它階段波動率較低v首先計算 的自相關(guān)系數(shù)v假定 確實具有自相關(guān)性，如果GARCH模型有效，自相關(guān)性就會被剔除，即 不再

38、具有自相關(guān)性，從而可以認(rèn)為：有關(guān)的 模型確實解釋了 中的自相關(guān)性。 2tu2tu 2 2t tu 2tut Copyright Wang Peng， 201070/76 5.10 極 大 似 然 估 計表6-4 采用GARCH(1,1)模型前后的自相關(guān)系數(shù) Copyright Wang Peng， 201071/76 5.10 極 大 似 然 估 計v更為科學(xué)的檢驗：Ljung-Box方法（Ljung and Box，1978）v某序列中有n個觀察值，Ljung-Box Q統(tǒng)計量定義為：v其中， 是時滯為k的自相關(guān)系數(shù)，K為所考慮的最大時滯.vQ統(tǒng)計量服從自由度為K的卡方分布，即 2(m)21

39、( 2) K kkQ n n n k k Copyright Wang Peng， 201072/76 5.10 極 大 似 然 估 計v對于K15，當(dāng)Ljung-Box統(tǒng)計量值大于25時，我們可以有95的把握拒絕自相關(guān)系數(shù)為0這一假設(shè)。v表9-4中， 序列的Ljung-Box的統(tǒng)計量值為123，說明自相關(guān)性確實顯著存在。v對于 序列，Ljung-Box統(tǒng)計量值為8.62，這說明GARCH模型確實剔除了數(shù)據(jù)中的自相關(guān)性。v如何選取K？2tu 2 2t tu Copyright Wang Peng， 201073/76 5.11 采 用 GARCH(1,1)模 型 預(yù) 測 波 動 率v由GARC

40、H(1,1)模型： 2 2 21 12 2 21 1 2 2 21 12 2 12 22 21n L n nn L n L n Ln t L n t L n t Ln t L n t Ltn t L n Ltn t L n LV uV u V VV u V VE V E VE V VE V V (6-8) Copyright Wang Peng， 201074/76 5.11 采 用 GARCH(1,1)模 型 預(yù) 測 波 動 率v式(6-8)表明，我們可以運用第n-1天結(jié)束時的所有信息來預(yù)測第n+t天的波動率。vEWMA中 ，所以將來方差的期望值與當(dāng)前方差 相等。v當(dāng) 時，式(9-6)中的最

41、后一項隨時間增加而逐漸減?。悍讲畹木祷貧w性質(zhì)，回歸水平為V L，回歸速度為1 2n1 1 Copyright Wang Peng， 201075/76 5.11 采 用 GARCH(1,1)模 型 預(yù) 測 波 動 率 圖6-6 方差的預(yù)期路徑：(a)當(dāng)前方差高于長期方差；(b)當(dāng)前方差低于長期方差 Copyright Wang Peng， 201076/76 5.11 采 用 GARCH(1,1)模 型 預(yù) 測 波 動 率v當(dāng) 時，對應(yīng)于長期平均方差的權(quán)重為負(fù)，這時方差不再具有均值回歸性質(zhì)，而呈現(xiàn)均值逃離（Mean fleeting）性態(tài)。v表(6-3)中， ，假定當(dāng)前方差為0.00006（日波動率0.77），則10天后方差期望值為：v仍高于長期波動率（0.665），但100天后的預(yù)期方差為0.00004451，即預(yù)期波動率0.677，和長期波動率已非常接近。1 0.9617 0.00004422 LV ， 100.00004422 0.9617 0.00006 0.00004422 0.00005476 王 鵬 博士西南財經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院