高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七章 推理與證明課堂過(guò)關(guān) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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《高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七章 推理與證明課堂過(guò)關(guān) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七章 推理與證明課堂過(guò)關(guān) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題(30頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第七章 推理與證明 第1課時(shí) 合情推理與演繹推理(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(文)、(理)93~94頁(yè)) 考點(diǎn)新知 能用歸納和類比等方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用;掌握演繹推理的基本方法,并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理;了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和區(qū)別. ① 了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. ② 了解演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理. ③ 了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異. 1. 已知=2,=3,=4,…,類比這些等式,若=6(a、b均為正

2、數(shù)),則a+b=________. 答案:41 解析:觀察下列等式=2,=3,=4,…,第n個(gè)應(yīng)該是=(n+1),則第5個(gè)等式中:a=6,b=a2-1=35,a+b=41. 2. 在平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1,外接圓面積為S2,則=,推廣到空間可以得到類似結(jié)論;已知正四面體PABC的內(nèi)切球體積為V1,外接球體積為V2,則=________. 答案: 解析:正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1∶3,故=. 3. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若存在正整數(shù)m、n(m

3、積為Tn.若存在正整數(shù)m、n(m

4、1)(n∈N*) 解析:由歸納推理得+(n+1)==, ×(n+1)=,所以得出結(jié)論+(n+1)=×(n+1)(n∈N*). 5. 設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,△ABC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,則r=.類比這個(gè)結(jié)論可知:四面體PABC的四個(gè)面的面積分別為S1,S2,S3,S4,內(nèi)切球的半徑為r,四面體PABC的體積為V,則r=________. 答案: 解析:由類比推理可知r=. 1. 歸納推理 (1) 歸納推理的定義 從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論,像這樣的推理通常稱為歸納推理. (2) 歸納推理的思維過(guò)程大致如圖 ―→―→ (3) 歸納推理的特點(diǎn) ① 歸

5、納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象,歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象,該結(jié)論超越了前提所包容的范圍. ② 由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì),結(jié)論是否真實(shí),還需經(jīng)過(guò)邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn),因此,它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具. ③ 歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理,通過(guò)歸納推理得到的猜想,可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn),幫助人們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題. 2. 類比推理 (1) 根據(jù)兩個(gè)(或兩類)對(duì)象之間在某些方面的相似或相同,推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?,這樣的推理稱為類比推理. (2) 類比推理的思維過(guò)程 ―→―→ 3. 演繹推理 (1) 演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(包括定義、公理、

6、定理等),按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過(guò)程. (2) 主要形式是三段論式推理. (3) 三段論的常用格式為 M — P(M是P)① S-M(S是M)② S — P(S是P)③ 其中,①是大前提,它提供了一個(gè)一般性的原理;②是小前提,它指出了一個(gè)特殊對(duì)象;③是結(jié)論,它是根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況作出的判斷. [備課札記](méi) 題型1  歸納推理 例1 在各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}中,數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足. (1) 求a1,a2,a3; (2) 由(1)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (3) 求Sn. 解:(1) 當(dāng)n=1時(shí),

7、S1=,即a21-1=0,解得a1=±1.∵ a1>0,∴ a1=1; 當(dāng)n=2時(shí),S2=,即a+2a2-1=0. ∵ a2>0, ∴ a2=-1.同理可得,a3=-. (2) 由(1)猜想an=-. (3) Sn=1+(-1)+(-)+…+(-)=. 已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=(n∈N*),則a3=________,a1·a2·a3·…·a2 007=________. 答案:- 3 解析:(解法1)分別求出a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,可以發(fā)現(xiàn)a5=a1,且a1·a2·a3·a4=1,故a1·a2·a3·…·a2 007=a2 005·a2 006

8、·a2 007=a1·a2·a3=3. (解法2)由an+1=,聯(lián)想到兩角和的正切公式,設(shè)a1=2=tanθ,則有a2=tan,a3=tan,a4=tan,a5=tan(π+θ)=a1,….則a1·a2·a3·a4=1,故a1·a2·a3·…·a2 007=a2 005·a2 006·a2 007=a1·a2·a3=3. 題型2  類比推理 2 現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題:如圖所示,同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a的正方形,其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心,則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間,有兩個(gè)棱長(zhǎng)均為a的正方體,其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心,則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒

9、為_(kāi)_______. 答案: 解析:在已知的平面圖形中,中心O到兩邊的距離相等(如圖1),即OM=ON.四邊形OPAR是圓內(nèi)接四邊形,Rt△OPN≌Rt△ORM,因此S四邊形OPAR=S正方形OMAN=a2. 同樣地,類比到空間,如圖2. 兩個(gè)棱長(zhǎng)均為a的正方體重疊部分的體積為a3. 在Rt△ABC中,兩直角邊的長(zhǎng)分別為a,b,直角頂點(diǎn)C到斜邊的距離為h,則易證=+.在四面體SABC中,側(cè)棱SA,SB,SC兩兩垂直,SA=a,SB=b,SC=c,點(diǎn)S到平面ABC的距離為h,類比上述結(jié)論,寫(xiě)出h與a,b,c之間的等式關(guān)系并證明. 解:類比得到:=++. 證明:過(guò)S作△ABC

10、所在平面的垂線,垂足為O,連結(jié)CO并延長(zhǎng)交AB于D,連結(jié)SD,∵ SO⊥平面ABC,∴ SO⊥AB.∵ SC⊥SA,SC⊥SB,∴ SC⊥平面ABS,∴ SC⊥AB,SC⊥SD,∴ AB⊥平面SCD,∴ AB⊥SD.在Rt△ABS中,有=+, 在Rt△CDS中,有=+=++. 題型3  演繹推理 ,    3) 設(shè)同時(shí)滿足條件:①≤bn+1(n∈N*);②bn≤M(n∈N*,M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù))的無(wú)窮數(shù)列{bn}叫“特界” 數(shù)列. (1) 若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,a3=4,S3=18,求Sn; (2) 判斷(1)中的數(shù)列{Sn}是否為“特界” 數(shù)列,并說(shuō)明理由.

11、解:(1) 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 則a1+2d=4,3a1+3d=18,解得a1=8,d=-2,Sn=na1+d=-n2+9n. (2) 由-Sn+1= ===-1<0,得

12、2) 證明: 由(1)得 bn===-, 1. 對(duì)一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形進(jìn)行如下操作:第一步,將它分割成3×3方格,接著用中心和四個(gè)角的5個(gè)小正方形,構(gòu)成如圖①所示的幾何圖形,其面積S1=;第二步,將圖①的5個(gè)小正方形中的每個(gè)小正方形都進(jìn)行與第一步相同的操作,得到圖②;依此類推,到第n步,所得圖形的面積Sn=.若將以上操作類比推廣到棱長(zhǎng)為1的正方體中,則到第n步,所得幾何體的體積Vn=________. 答案: 解析:將棱長(zhǎng)為1的正方體分割成3×3×3=27個(gè)全等的小正方體,拿去分別與中間小正方體的六個(gè)面重合的6個(gè)小正方體和分別與中間小正方體有1條棱重合的12個(gè)小正方體,則余

13、下的9個(gè)小正方體體積V1=,第二步,將余下的9個(gè)小正方體作同樣的操作,則余下的9×9個(gè)小正方體的體積V2=,所以到第n步,所得幾何體的體積Vn=. 2. 對(duì)大于或等于2的正整數(shù)的冪運(yùn)算有如下分解方式: 22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,…; 23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,…. 根據(jù)上述分解規(guī)律,若m2=1+3+5+…+11,p3的分解中最小的正整數(shù)是21,則m+p=________. 答案:11 解析:由歸納推理可知,m=6,p=5,∴ m+p=11. 3. (2014·泰州期末)已知在等差數(shù)列{an}中,若m+2n+p=s+

14、2t+r,m、n、p、s、t、r∈N*,則am+2an+ap=as+2at+ar.仿此類比,可得到等比數(shù)列{bn}中的一個(gè)正確命題:若m+2n+p=s+2t+r,m、n、p、s、t、r∈N*,則________. 答案:bm(bn)2bp=bs(bt)2br 解析:由類比推理將加法換成乘法,乘法換成乘方即得結(jié)論. 4. 已知an=,把數(shù)列{an}的各項(xiàng)排成如下的三角形: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 …… 記A(s,t)表示第s行的第t個(gè)數(shù),則A(11,12)=________. 答案: 解析:該三角形數(shù)陣每行所對(duì)應(yīng)元素的個(gè)數(shù)為1,3,5…,那么第1

15、0行的最后一個(gè)數(shù)為a100,第11行的第12個(gè)數(shù)為a112,即A(11,12)=. 5. 觀察下列等式: (1+1)=2×1,(2+1)(2+2)=22×1×3,(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5,…照此規(guī)律, 第n個(gè)等式可為_(kāi)_______. 答案:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1) 解析:觀察規(guī)律可知,左邊為n項(xiàng)的積,最小項(xiàng)和最大項(xiàng)依次為(n+1),(n+n),右邊為連續(xù)奇數(shù)之積乘以2n,則第n個(gè)等式為(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1). 1. 如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼

16、茨調(diào)和三角形”,有=+,=+,=+,…,則運(yùn)用歸納推理得到第11行第2個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))為_(kāi)_______.       1                        … 答案: 解析:由“萊布尼茨調(diào)和三角形”中數(shù)的排列規(guī)律,我們可以推斷:第10行的第一個(gè)數(shù)為,第11行的第一個(gè)數(shù)為,則第11行的第二個(gè)數(shù)為-=. 2. 若等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)的和為Sn,則數(shù)列為等差數(shù)列,公差為.類似地,若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的公比為q,前n項(xiàng)的積為Tn,則數(shù)列{}為等比數(shù)列,公比為_(kāi)_______. 答案: 解析:Tn=bq,=b1()n-1. 3. 已知結(jié)論

17、:在正三角形ABC中,若D是邊BC的中點(diǎn),G是三角形ABC的重心,則=2.若把該結(jié)論推廣到空間,則有結(jié)論:在棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中,若△BCD的中心為M,四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面的距離都相等,則=________. 答案:3 解析:由題意知,O為正四面體的外接球,內(nèi)切球球心,設(shè)正四面體的高為h,由等體積法可求得內(nèi)切球半徑為h,外接球半徑為h,所以=3. 4. 若P0(x0,y0)在橢圓+=1(a>b>0)外,過(guò)P0作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)分別為P1、P2,則切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是+=1.那么對(duì)于雙曲線則有如下命題:若P0(x0,y0)在雙曲線-=1(a>0,b>0)外,過(guò)

18、P0作雙曲線的兩條切線的切點(diǎn)分別為P1、P2,則切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是____________. 答案:-=1 解析:設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P0(x0,y0),則過(guò)P1、P2的切線方程分別是-=1,-=1.因?yàn)镻0(x0,y0)在這兩條切線上,故有-=1,-=1. 這說(shuō)明P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直線-=1上,故切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是-=1. 1. 合情推理主要包括歸納推理和類比推理.?dāng)?shù)學(xué)研究中,在得到一個(gè)新的結(jié)論前,合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前,合情推理常常能為證明提供思路和方法. 2. 合情推理的過(guò)程概

19、括為:從具體問(wèn)題出發(fā)→觀察、分析、比較、聯(lián)想→歸納、類比→提出猜想. 3. 演繹推理是從一般的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況的結(jié)論的推理方法,是由一般到特殊的推理,常用的一般模式是三段論,數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明主要通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行. 4. 合情推理僅是符合情理的推理,他得到的結(jié)論不一定真,而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下).  請(qǐng)使用課時(shí)訓(xùn)練(A)第1課時(shí)(見(jiàn)活頁(yè)). [備課札記](méi) 第2課時(shí) 直接證明與間接證明(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(文)、(理)95~96頁(yè)) 了解分析法

20、、綜合法、反證法,會(huì)用這些方法處理一些簡(jiǎn)單命題. ① 了解直接證明的兩種基本方法:分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn). ② 了解間接證明的一種基本方法——反證法;了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn). 1. 已知向量m=(1,1)與向量n=(x,2-2x)垂直,則x=________. 答案:2 解析:m·n=x+(2-2x)=2-x.∵ m⊥n,∴ m·n=0,即x=2. 2. 用反證法證明命題“如果a>b,那么>”時(shí),假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為_(kāi)_____________. 答案:=或< 解析:根據(jù)反證法的步驟,假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定,即=或<. 3.

21、-2與-的大小關(guān)系是______________. 答案:-2>- 解析: 由分析法可得,要證-2>-,只需證+>+2,即證13+2>13+4,即>2.因?yàn)?2>40,所以-2>-成立. 4. 定義集合運(yùn)算:A·B={Z|Z=xy,x∈A,y∈B},設(shè)集合A={-1,0,1},B={sinα,cosα},則集合A·B的所有元素之和為_(kāi)_______. 答案:0 解析:依題意知α≠kπ+,k∈Z.①α=kπ+(k∈Z)時(shí),B=,A·B=;②α=2kπ或α=2kπ+(k∈Z)時(shí),B={0,1},A·B={0,1,-1};③α=2kπ+π或α=2kπ-(k∈Z)時(shí),B={0,-1},A·B

22、={0,1,-1};④α≠且α≠kπ+(k∈Z)時(shí),B={sinα,cosα},A·B={0,sinα,cosα,-sinα,-cosα}.綜上可知A·B中的所有元素之和為0. 5. 設(shè)a、b為兩個(gè)正數(shù),且a+b=1,則使得+≥μ恒成立的μ的取值范圍是________. 答案:(-∞,4] 解析:∵ a+b=1,且a、b為兩個(gè)正數(shù),∴ +=(a+b)=2++≥2+2=4.要使得+≥μ恒成立,只要μ≤4. 1. 直接證明 (1) 定義:直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法. (2) 一般形式 ABC…本題結(jié)論. (3) 綜合法 ① 定義:從已知條件出發(fā),以

23、已知的定義、公理、定理為依據(jù),逐步下推,直到推出要證明的結(jié)論為止.這種證明方法稱為綜合法. ② 推證過(guò)程 …… (4) 分析法 ① 定義:從問(wèn)題的結(jié)論出發(fā),追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件,逐步上溯,直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實(shí)吻合為止.這種證明方法稱為分析法. ② 推證過(guò)程 …… 2. 間接證明 (1) 常用的間接證明方法有反證法、正難則反等. (2) 反證法的基本步驟 ① 反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假定原結(jié)論的反面為真. ② 歸謬——從反設(shè)和已知出發(fā),經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理,得出矛盾結(jié)果. ③ 存真——由矛盾結(jié)果,斷定反設(shè)不真,從而肯定原結(jié)論成

24、立. 題型1  直接證明(綜合法和分析法) ,    1) 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…),證明: (1) 數(shù)列是等比數(shù)列; (2) Sn+1=4an. 證明:(1) ∵ an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn(n=1,2,3,…),∴ (n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得nSn+1=2(n+1)Sn,∴ =2·,即=2,∴ 數(shù)列是等比數(shù)列. (2) 由(1)知:=4·(n≥2),于是Sn+1=4·(n+1)·=4an(n≥2).又a2=3S1=3,∴ S2=a1+a2=1+3=4a1,∴ 對(duì)一切n∈N*,都有Sn+

25、1=4an. ,    2) 設(shè)a、b、c均為大于1的正數(shù),且ab=10,求證:logac+logbc≥4lgc. 證明:(分析法)由于a>1,b>1,c>1,故要證明logac+logbc≥4lgc,只要證明+≥4lgc,即≥4,因?yàn)閍b=10,故lga+lgb=1.只要證明≥4,由于a>1,b>1,故lga>0,lgb>0,所以0

26、+qmSn總成立,令n=m=1,得S2=S1+qS1,則a2=qa1.令m=1,得Sn+1=S1+qSn ①, 從而Sn+2=S1+qSn+1?、?,②-①得an+2=qan+1(n≥1).綜上得an+1=qan(n≥1),所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列. 題型2  間接證明(反證法) ,    3) 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1+,S3=9+3. (1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn; (2) 設(shè)bn=(n∈N*),求證:數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列. 解:(1) 由已知得 ∴ d=2,故an=2n-1+,Sn=n(n+). (2) 證明:

27、由(1)得bn==n+.假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp,bq,br(p,q,r∈N*,且互不相等)成等比數(shù)列,則b=bpbr.即(q+)2=(p+)(r+).∴ (q2-pr)+(2q-p-r)=0. ∵ p,q,r∈N*,∴ ∴ =pr,(p-r)2=0.∴ p=r,與p≠r矛盾. ∴ 數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列. 求證:y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b(a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù)),三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)交點(diǎn). 證明:假設(shè)這三條拋物線全部與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或沒(méi)有交點(diǎn),則有三式相加,得a2+b2+c2-ab-ac

28、-bc≤0.則(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.∴ a=b=c與已知a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù)矛盾,∴ 這三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)交點(diǎn). 1. (2014·山東)用反證法證明命題“設(shè)a、b為實(shí)數(shù),則方程x2+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是________. 答案:方程x2+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根 解析:“方程x2+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”等價(jià)于“方程x2+ax+b=0有一個(gè)實(shí)根或兩個(gè)實(shí)根”,所以該命題的否定是“方程x2+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根”. 2. 已知a、b、c∈(0,+∞)且a<c,b<c,+=1,若以a、b、c為三邊構(gòu)造三角形,則c的取值

29、范圍是________. 答案:(10,16) 解析:要以a、b、c為三邊構(gòu)造三角形,需要滿足任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊,而ac恒成立.而a+b=(a+b)=10++≥16,∴ c<16.又>,>,∴ <+=1,∴ c>10,∴ 10

30、那么這組學(xué)生最多有________人. 答案:3 解析:假設(shè)A,B兩位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)一樣,由題意知他們語(yǔ)文成績(jī)不一樣,這樣他們的語(yǔ)文成績(jī)總有人比另一個(gè)人高,語(yǔ)文成績(jī)較高的學(xué)生比另一個(gè)學(xué)生“成績(jī)好”,與已知條件“他們之中沒(méi)有一個(gè)比另一個(gè)成績(jī)好”相矛盾.因此,沒(méi)有任意兩位學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)是相同的.因?yàn)閿?shù)學(xué)成績(jī)只有3種,因而學(xué)生數(shù)量最大為3,即 3位學(xué)生的成績(jī)分別為(優(yōu)秀,不合格),(合格,合格),(不合格,優(yōu)秀)時(shí)滿足條件. 4. 設(shè)函數(shù)f(x)=(a≠2). (1) 用反證法證明:函數(shù)f(x)不可能為偶函數(shù); (2) 求證:函數(shù)f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減的充要條件是a>2. 證

31、明:(1) 假設(shè)函數(shù)f(x)是偶函數(shù),則f(-2)=f(2),即=,解得a=2,這與a≠2矛盾,所以函數(shù)f(x)不可能是偶函數(shù). (2) 因?yàn)閒(x)=,所以f′(x)=. ① 充分性:當(dāng)a>2時(shí),f′(x)=<0,所以函數(shù)f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減; ② 必要性:當(dāng)函數(shù)f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減時(shí),有f′(x)=≤0,即a≥2,又a≠2,所以a>2. 綜合①②知,原命題成立. 1. 已知點(diǎn)An(n,an)為函數(shù)y=圖象上的點(diǎn),Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點(diǎn),其中n∈N*,設(shè)cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關(guān)系為_(kāi)_______. 答案:cn+1

32、<cn 解析:由條件得cn=an-bn=-n=, ∴ cn隨n的增大而減?。?cn+1<cn. 2. 一個(gè)平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)距離的最大值稱為該區(qū)域的“直徑”,封閉區(qū)域邊界曲線的長(zhǎng)度與區(qū)域直徑之比稱為區(qū)域的“周率”,下面四個(gè)平面區(qū)域(陰影部分)的周率從左到右依次記為τ1,τ2,τ3,τ4,則τ1,τ2,τ3,τ4的大小關(guān)系為_(kāi)_______. 答案:τ4>τ2>τ3>τ1 解析:在圖(1)中,設(shè)圖形所在的矩形長(zhǎng)為a,寬為b,則其周率為,由不等式的性質(zhì)可知≤2;在圖(2)中設(shè)大圓的半徑為R,則易知外邊界長(zhǎng)為πR,而內(nèi)邊界恰好為一個(gè)半徑為的小圓的周長(zhǎng)πR,故整個(gè)邊界長(zhǎng)為2πR,而

33、封閉曲線的直徑最大值為2R,故周率為π;圖(3)中周長(zhǎng)為直徑的三倍,故周率為3;圖(4)中設(shè)各邊長(zhǎng)為a,則整個(gè)邊界的周長(zhǎng)為12a,直徑為2a,故周率為2,故四個(gè)周率大小τ4>τ2>τ3>τ1. 3. 定義:若存在常數(shù)k,使得對(duì)定義域D內(nèi)的任意兩個(gè)x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2| 成立,則稱函數(shù)f(x)在定義域D上滿足利普希茨條件.若函數(shù)f(x)=(x≥1)滿足利普希茨條件,則常數(shù)k的最小值為_(kāi)_______. 答案: 解析:若函數(shù)f(x)=(x≥1)滿足利普希茨條件,則存在常數(shù)k,使得對(duì)定義域[1,+∞)內(nèi)的任意兩個(gè)x1,x2(x1≠x2),均有

34、|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2| 成立,設(shè)x1>x2,則k≥=.而0<<,所以k的最小值為. 4. 某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù): ① sin213°+cos217°-sin13°cos17°; ② sin215°+cos215°-sin15°cos15°; ③ sin218°+cos212°-sin18°cos12°; ④ sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°; ⑤ sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°. (1) 試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù); (2) 根

35、據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論. 解: (1) 選擇②式,計(jì)算如下:sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=. (2) (解法1)三角恒等式為sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=. 證明如下: sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°·cosα+sin30°sinα)=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2

36、α=. (解法2)三角恒等式為sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=. 證明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=+-sinα(cos30°·cosα+sin30°sinα)=-cos2α++ (cos60°cos2α+sin60°·sin2α)-sinαcosα-sin2α=-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-(1-cos2α)=1-cos2α-+cos2α=. 5. 如圖,已知半徑為r的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相互垂直且交點(diǎn)為P. (1) 若四邊形ABCD中的一條對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為d(0

37、

38、時(shí)等號(hào)成立. ∵ 點(diǎn)P在圓內(nèi)運(yùn)動(dòng),∴ 當(dāng)點(diǎn)P和圓心M重合時(shí)d=0,此時(shí)d1=d2,四邊形的面積最大,且最大值Smax=2r2. 1. 分析法的特點(diǎn)是從未知看已知,逐步靠攏已知,綜合法的特點(diǎn)是從已知看未知,逐步推出未知.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn).分析法思考起來(lái)比較自然,容易尋找到解題的思路和方法,缺點(diǎn)是思路逆行,敘述較煩;綜合法從條件推出結(jié)論,較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題,但不便于思考,實(shí)際證明時(shí)常常兩法兼用,先用分析法探索證明途徑,然后再用綜合法敘述出來(lái). 2. 反證法是從否定結(jié)論出發(fā),經(jīng)過(guò)邏輯推理,導(dǎo)出矛盾,說(shuō)明結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的,從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法.適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題:①

39、結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題;②關(guān)于唯一性、存在性的命題;③結(jié)論以“至多”“至少”等形式出現(xiàn)的命題;④結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體更容易研究的命題.  請(qǐng)使用課時(shí)訓(xùn)練(B)第2課時(shí)(見(jiàn)活頁(yè)). [備課札記](méi) 第3課時(shí) 數(shù)學(xué)歸納法(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(理)97~98頁(yè)) 理解數(shù)學(xué)歸納法的原理,能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.   了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題. 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+1)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證________

40、. 答案:1++<2 解析:∵ n∈N*,n>1,∴ n取的第一個(gè)數(shù)為2,左端分母最大的項(xiàng)為=. 2. (選修22P88練習(xí)題3改編)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“2n>n2+1對(duì)于n≥n0的自然數(shù)n都成立”時(shí),第一步證明中的起始值n0應(yīng)取為_(kāi)_______. 答案:5 解析:當(dāng)n≤4時(shí),2n≤n2+1;當(dāng)n=5時(shí),25=32>52+1=26,所以n0應(yīng)取為5. 3. 設(shè)f(n)=1++++…+(n∈N*),則f(k+1)-f(k)=________. 答案:++ 解析:f(k+1)-f(k)=1++++…+-(1++++…+)=++. 4. 利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式++…+>時(shí),

41、由k遞推到k+1時(shí)左邊應(yīng)添加的因式是________. 答案:- 解析:f(k+1)-f(k)=++…++- (++…+)=+-=-. 5. 已知a1=,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_(kāi)_______________,由此猜想an=________. 答案:、、、  解析:a2====,同理a3===,a4==,a5==,猜想an=. 1. 由一系列有限的特殊現(xiàn)象得出一般性的結(jié)論的推理方法,通常叫做歸納法. 2. 對(duì)某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題常采用下面的方法來(lái)證明它們的正確性:先證明當(dāng)n取第1個(gè)值n0時(shí),命題成立;然后假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N,k≥n0)時(shí)命題

42、成立;證明當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立,這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法. 3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí),其步驟為: (1) 歸納奠基:證明凡取第一個(gè)自然數(shù)n0時(shí)命題成立; (2) 歸納遞推:假設(shè)n=k(k∈N,k≥n0)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立; (3) 由(1)(2)得出結(jié)論. [備課札記](méi) 題型1  證明等式 1 (2014·陜西)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N*,求證:gn(x

43、)=. 證明:(數(shù)學(xué)歸納法)① 當(dāng)n=1時(shí),g1(x)=,結(jié)論成立. ② 假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即gk(x)=.那么,當(dāng)n=k+1時(shí),gk+1(x)=g(gk(x))===,即結(jié)論成立. 由①②可知,結(jié)論對(duì)所有n∈N*均成立. 用數(shù)學(xué)歸納法證明: 1-+-+…+-=++…+(n∈N). 證明:① 當(dāng)n=1時(shí),等式左邊=1-==右邊,等式成立. ② 假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N)時(shí),等式成立,即1-+-+…+-=++…+,那么,當(dāng)n=k+1時(shí),有1-+-+…+-+-=++…++-=++…++,上式表明當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立. 由①②知,等式對(duì)任何n∈N均成立. 題型2 

44、證明不等式 ,    2) (2014·南通二模)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{xn}對(duì)一切n∈N*均滿足xn+<2.證明: (1) xn<xn+1; (2) 1-<xn<1. 證明:(1) ∵ xn>0,xn+<2,∴ 0<<2-xn, ∴ xn+1>,且2-xn>0. ∵ -xn==≥0. ∴ ≥xn,∴ xn≤<xn+1,即xn<xn+1. (2) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:xn>1-. ① 當(dāng)n=1時(shí),由題設(shè)x1>0可知結(jié)論成立; ② 假設(shè)n=k時(shí),xk>1-,當(dāng)n=k+1時(shí), 由(1)得,xk+1>>==1-. 由①②可得,xn>1-. 下面先證明xn≤1. 假設(shè)存在自

45、然數(shù)k,使得xk>1,則一定存在自然數(shù)m,使得xk>1+. 因?yàn)閤k+<2,xk+1>>=,xk+2>>=,…,xk+m-1>=2,與題設(shè)xk+<2矛盾,所以xn≤1.若xk=1,則xk+1>xk=1,根據(jù)上述證明可知存在矛盾.所以xn<1成立. 已知x1,x2,…,xn∈R+,且x1x2…xn=1,求證: (+x1)(+x2)…(+xn)≥(+1)n. 證明(數(shù)學(xué)歸納法):(ⅰ) 當(dāng)n=1時(shí),+x1=+1,不等式成立. (ⅱ) 假設(shè)n=k時(shí)不等式成立,即(+x1)(+x2)…(+xk)≥(+1)k成立. 則n=k+1時(shí),若xk+1=1,則命題成立;若xk+1>1,則x1,x2

46、,…,xk中必存在一個(gè)數(shù)小于1,不妨設(shè)這個(gè)數(shù)為xk,從而(xk-1)(xk+1-1)<0,即xk+xk+1>1+xkxk+1.xk+1<1同理可得, 所以(+x1)(+x2)…(+xk)(+xk+1) =(+x1)(+x2)…[2+(xk+xk+1)+xkxk+1] ≥(+x1)(+x2)…[2+(1+xkxk+1)+xkxk+1] =(+x1)(+x2)…(+xkxk+1)(+1) ≥(+1)n(+1)=(+1)k+1. 故n=k+1時(shí),不等式也成立. 由(ⅰ)(ⅱ)知原不等式成立. 題型3  數(shù)列問(wèn)題 3 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且方程x2-anx-an=0有一根

47、為Sn-1,n=1,2,3,…. (1) 求a1,a2; (2) 猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式,并給出證明. 解:(1) 當(dāng)n=1時(shí),x2-a1x-a1=0有一根為S1-1=a1-1, 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=; 當(dāng)n=2時(shí),x2-a2x-a2=0有一根為S2-1=a2-, 于是-a2-a2=0,解得a2=. (2) 由題設(shè)(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,即S-2Sn+1-anSn=0. 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0.① 由(1)得S1=a1=,S2=a1+a2=+=. 由①可得S3=.

48、由此猜想Sn=,n=1,2,3,…. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論. (ⅰ) n=1時(shí)已知結(jié)論成立. (ⅱ) 假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí)結(jié)論成立,即Sk=, 當(dāng)n=k+1時(shí),由①得Sk+1=, 即Sk+1=,故n=k+1時(shí)結(jié)論也成立. 綜上,由(ⅰ)(ⅱ)可知Sn=對(duì)所有正整數(shù)n都成立. (2014·鎮(zhèn)江期末)已知數(shù)列{an}滿足a1=,an+1·(1+an)=1. (1) 試計(jì)算a2,a3,a4,a5的值; (2) 猜想|an+1-an|與(其中n∈N*)的大小關(guān)系,并證明你的猜想. 解:(1) 由已知計(jì)算得a2=,a3=,a4=,a5=. (2) 由(1)得|

49、a2-a1|=,|a3-a2|=,|a4-a3|=,|a5-a4|=,而n分別取1,2,3,4時(shí),分別為,,,,故猜想|an+1-an|≤.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明以上猜想: ① 當(dāng)n=1時(shí),已證; ② 當(dāng)n=k≥1時(shí), 假設(shè)|ak+1-ak|≤,對(duì)n∈N*:由a1=,an+1=,得an>0,∴ 02+=, ∴ |ak+2-ak+1|==≤≤=.∴ 當(dāng)n=k≥1時(shí),結(jié)論成立.由①和②知,以上猜想成立.

50、題型4  綜合運(yùn)用 ,    4) 若函數(shù)f(x)=x2-2x-3,定義數(shù)列{xn}如下:x1=2,xn+1是過(guò)點(diǎn)P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直線PQn與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),試運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明:2≤xn<xn+1<3. 證明:① 當(dāng)n=1時(shí),x1=2,f(x1)=-3,Q1(2,-3).∴ 直線PQ1的方程為y=4x-11,令y=0,得x2=,因此,2≤x1<x2<3,即n=1時(shí)結(jié)論成立. ② 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,即2≤xk<xk+1<3.∴ 直線PQk+1的方程為y-5=(x-4).又f(xk+1)=x-2xk+1-3,代入上式,令y=0,得xk+2==4-.  由

51、歸納假設(shè),20,即xk+1

52、如下:當(dāng)n=3時(shí),f(3)=0成立;設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時(shí)猜想成立,即f(k)=,則當(dāng)n=k+1時(shí), 考察k+1邊形A1A2…AkAk+1, ① k邊形A1A2…Ak中原來(lái)的對(duì)角線也都是k+1邊形中的對(duì)角線,且邊A1Ak也成為k+1邊形中的對(duì)角線; ② 在Ak+1與A1,A2,…,Ak連結(jié)的k條線段中,除Ak+1A1,Ak+1Ak外,都是k+1邊形中的對(duì)角線, 共計(jì)有f(k+1)=f(k)+1+(k-2)=+1+(k-2)====,即猜想對(duì)n=k+1時(shí)也成立. 綜上,得f(n)=對(duì)任何n≥3,n∈N*都成立. 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n

53、+1)(n∈N*)”,當(dāng)n=k+1時(shí),應(yīng)在n=k時(shí)的等式左邊添加的項(xiàng)是________. 答案:(k+1)2 解析:[12+22+…+k2+(k+1)2]-(12+22+…+k2)=(k+1)2. 2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n+1≥n2+n+2(n∈N*)”時(shí),第一步驗(yàn)證的表達(dá)式為_(kāi)_______. 答案:21+1≥12+1+2(或22≥4或4≥4也算對(duì)) 解析:當(dāng)n=1時(shí),21+1≥12+1+2. 3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y整除”的第二步是____. 答案:假設(shè)n=2k-1(k∈N*)時(shí)正確,再推n=2k+1(k∈N*)正確 解析:因?yàn)閚為正

54、奇數(shù),根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟,第二步應(yīng)先假設(shè)第k個(gè)正奇數(shù)也成立,本題先假設(shè)n=2k-1(k∈N*)正確,再推第k+1個(gè)正奇數(shù),即n=2k+1(k∈N*)正確. 4. (2014·蘇錫常鎮(zhèn)二模)如圖,圓周上有n個(gè)固定點(diǎn),分別為A1,A2,…,An(n∈N*,n≥2),在每一個(gè)點(diǎn)上分別標(biāo)上1,2,3中的某一個(gè)數(shù)字,但相鄰的兩個(gè)數(shù)字不相同,記所有的標(biāo)法總數(shù)為an. (1) 寫(xiě)出a2,a3,a4的值; (2) 寫(xiě)出an的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 解:(1) a2=6,a3=6,a4=18. (2) an=2n+2·(-1)n.(*) 證明如下:① 當(dāng)n=2時(shí),a2=6,符合(*)

55、式. ② 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),(*)式成立,即ak=2k+2·(-1)k成立,那么n=k+1時(shí),因?yàn)锳1有3種標(biāo)法,A2有2種標(biāo)法,…,Ak有2種標(biāo)法,Ak+1若僅與Ak不同,則有2種標(biāo)法:一種與A1數(shù)不同,符合要求,有ak+1種;一種與A1數(shù)相同,不符合要求,但相當(dāng)于k個(gè)點(diǎn)的標(biāo)法總數(shù),有ak種.則有3×2k=ak+1+ak.∴ ak+1=-ak+3×2k=-2k-2·(-1)k+3×2k=2k+1+2(-1)k+1.即n=k+1時(shí),(*)式也成立. 由①②知(*)式成立,即證. 1. (2014·沈陽(yáng)模擬)已知f(n)=1+++…+(n∈N*),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)>時(shí),則f(2

56、k+1)-f(2k)等于________. 答案:++…+ 解析:∵ f(2k+1)=1++++…+++…++++…+,f(2k)=1++++…+++…+,∴ f(2k+1)-f(2k)=++…+. 2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式:+++…+>1(n∈N*且n>1). 證明:①當(dāng)n=2時(shí),左邊=++=>1, ∴ n=2時(shí)不等式成立; ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)不等式成立, 即+++…+>1, 那么當(dāng)n=k+1時(shí), 左邊=+…++ =++…++- >1+(2k+1)·-=1+>1. 綜上,對(duì)于任意n∈N*,n>1不等式均成立,原命題得證. 3. 已知函數(shù)f(x)=-x3+

57、ax在(-1,0)上是增函數(shù). (1) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍A; (2) 當(dāng)a為A中最小值時(shí),定義數(shù)列{an}滿足:a1∈(-1,0),且2an+1=f(an),用數(shù)學(xué)歸納法證明an∈(-1,0),并判斷an+1與an的大?。? 解 :(1) ∵ f′(x)=-3x2+a≥0即a≥3x2在x∈(-1,0)恒成立,∴ A=[3,+∞) (2) 用數(shù)學(xué)歸納法證明:an∈(-1,0). (ⅰ) n=1時(shí),由題設(shè)a1∈(-1,0); (ⅱ) 假設(shè)n=k時(shí),ak∈(-1,0),則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=f(ak)=(-a+3ak),由(1)知:f(x)=-x3+3x在(-1,0)上是增函數(shù),又

58、ak∈(-1,0),所以[-(-1)3+3×(-1)]=-1

59、f′1(x)=′-′=--+,所以f1=-,f2=-+.故2f1+f2=-1. (2) 證明:由已知,得xf0(x)=sinx,等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo),得f0(x)+xf′0(x)=cosx, 即f0(x)+xf1(x)=cosx=sin,類似可得2f1(x)+xf2(x)=-sinx=sin(x+π), 3f2(x)+xf3(x)=-cosx=sin,4f3(x)+xf4(x)=sinx=sin(x+2π). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin對(duì)所有的n∈N*都成立. ① 當(dāng)n=1時(shí),由上可知等式成立. ② 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即kfk-1(x)+x

60、fk(x)=sin. 因?yàn)閇kfk-1(x)+xfk(x)]′=kf′k-1(x)+fk(x)+xf′k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),′=cos· ′=sin, 所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin. 因此當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立. 綜合①②可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin對(duì)所有的n∈N*都成立. 令x=,可得nfn-1+fn=sin(+)(n∈N*).所以=(n∈N*). 1. 數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與整數(shù)有關(guān)命題的一種方法,分兩步,第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù),兩步缺一不可. 2. 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)易犯的錯(cuò)誤:①對(duì)項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤,特別是尋找n=k與n=k+1的關(guān)系時(shí),項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯(cuò);②沒(méi)有利用歸納假設(shè);③關(guān)鍵步驟含糊不清,“假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,利用此假設(shè)證明n=k+1時(shí)結(jié)論也成立”,是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步,也是證明問(wèn)題最重要的環(huán)節(jié),對(duì)推導(dǎo)的過(guò)程要把步驟寫(xiě)完整,注意證明過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性.   [備課札記](méi)

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