（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八篇《第51講 立體幾何中的向量方法(2)——求空間角與距離》理（含解析） 蘇教版

A級　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練 (時(shí)間：45分鐘　滿分：80分) 一、填空題(每小題5分，共35分) 1．如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1上的動點(diǎn)，則直線NO、AM的位置關(guān)系是________． 解析　建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長為2，則A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，＝(－1,1－t，－2)，＝(－2,0,1)，·＝0，則直線NO、AM的位置關(guān)系是異面垂直． 答案　異面垂直 2．在正方體ABCD­A1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則sin〈，〉的值為________． 解析　設(shè)正方體的棱長為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)， cos〈，〉＝－，所以sin〈，〉＝. 答案　 3．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為________． 解析　建立坐標(biāo)系如圖， 則A(1,0,0)，E(0,2,1)， B(1,2,0)，C1(0,2,2)． ＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)， cos〈，〉＝＝. 所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為. 答案　 4．(2011·全國卷改編)已知直二面角αlβ，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足，點(diǎn)B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD＝________. 解析　如圖，建立直角坐標(biāo)系D­xyz，由已知條件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)，由AB＝2解得t＝. 答案　 5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中點(diǎn)，G是DD1中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)且FB＝BC，則GB與EF所成的角為________． 解析　如圖建立直角坐標(biāo)系Dxyz， 設(shè)DA＝1，由已知條件 G，B，E，F(xiàn)，＝， ＝ cos〈，〉＝＝0， 則⊥. 答案　90° 6．正四棱錐S ­ABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC的夾角的大小為________． 解析　如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz. 設(shè)OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P. 則＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)． 設(shè)平面PAC的法向量為n，可求得n＝(0,1,1)， 則cos〈，n〉＝＝＝. ∴〈，n〉＝60°， ∴直線BC與平面PAC的夾角為90°－60°＝30°. 答案　30° 7．(2011·全國卷改編)已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為________． 解析　如圖，建立直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)DA＝1由已知條件A(1,0,0)，E，F(xiàn) ＝，＝ 設(shè)平面AEF的法向量為n＝(x，y，z)， 面AEF與面ABC所成的二面角為θ 由 令y＝1，z＝－3，x＝－1，則n＝(－1,1，－3) 平面ABC的法向量為m＝(0,0，－1) cos θ＝cos〈n，m〉＝，tan θ＝. 答案　 二、解答題(每小題15分，共45分) 8．如圖，已知四棱錐P­ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點(diǎn)． (1)證明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值． 解　以H為原點(diǎn)，HA、HB、HP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，線段HA的長為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系如圖， 則A(1,0,0)，B(0,1,0)． (1)證明　設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n)(m＜0，n＞0)， 則D(0，m,0)，E. 可得＝，＝(m，－1,0)． 因?yàn)?#183;＝－＋0＝0， 所以PE⊥BC. (2)由已知條件及(1)可得m＝－，n＝1，則P(0,0,1)． ＝，＝(－1,0,1)． 由(1)知為面PEH的一個(gè)向量． ∴＝＝， 因此直線PA與平面PEH所成角的正弦值為. 9．如圖所示，在四棱錐A­BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝，AB＝AC. (1)證明：AD⊥CE； (2)設(shè)側(cè)面ABC為等邊三角形，求二面角C­AD­E的大小． (1)證明　取BC中點(diǎn)O， 連接AO，則AO⊥BC 由已知條件AO⊥平面BCDE， 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz， 則A(0,0，t)，D(1，，0) C(1,0,0)，E(－1，，0)， ＝(1，，－t) ＝(－2，，0) 則·＝0，因此AD⊥CE. (2)解　作CF⊥AD垂足為F，連接EF， 則AD⊥平面CEF從而EF⊥AD 則∠CFE為二面角C­AD­E的平面角． 在Rt△ACD中，CF＝＝， 在等腰△ADE中，EF＝， cos∠CFE＝＝－. ∴二面角C-AD-E的余弦值為－. 10．(2011·揚(yáng)州調(diào)研)如圖，在三棱錐P­ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA＝90°，PB＝BC＝CA＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是PC，PA的中點(diǎn)，求二面角A­BE­F的余弦值． 解　如圖，以BP所在直線為z軸，BC所在直線y軸，建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則B(0,0，0)，A(4，4，0)，C(0，4，0)，P(0,0，4)，E(0，2，2)，F(xiàn)(2，2，2)． 因?yàn)镻B⊥平面ABC， 所以PB⊥AC. 又AC⊥CB， 所以AC⊥平面PBC. 所以AC⊥PC. 所以EF⊥PC. 又BE⊥PC， 所以PC⊥平面BEF. 而＝(0,4，－4)， 所以平面BEF的一個(gè)法向量n1＝(0,1，－1)． 設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量n2＝(x，y，z)， 則 取x＝1，則平面ABE的一個(gè)法向量n2＝(1，－1,1)． 所以cos〈n1，n2〉＝－. 由圖知二面角ABEF的平面角為銳角． 所以二面角A­BE­F的平面角的余弦值為. B級　綜合創(chuàng)新備選 (時(shí)間：40分鐘　滿分：90分) 一、填空題(每小題5分，共15分) 1．如圖，在四棱錐P­ABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，且滿足MP＝MC，則點(diǎn)M 在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為________． 解析　以D為原點(diǎn)，DA、DC所在直線分別為x、y軸建系如圖： 設(shè)M(x，y,0)，設(shè)正方形邊長為a，則P，C(0，a,0)，則MC＝， MP＝. 由MP＝MC得x＝2y，所以點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為直線y＝x的一部分． 答案?、? 2．已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)P在線段BD1上，當(dāng)∠APC最大時(shí)，三棱錐PABC的體積為________． 解析　以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BB1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)． 設(shè)B＝λ，可得：P(λ，λ，λ)． 再由cos ∠APC＝可求得 當(dāng)λ＝時(shí)，∠APC最大． 故VPABC＝××1×1×＝. 答案　 3．P是二面角α­AB­β棱上的一點(diǎn)，分別在α、β平面上引射線PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α­AB­β的大小為________． 解析　不妨設(shè)PM＝a，PN＝b，如圖， 作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F， ∵∠EPM＝∠FPN＝45°， ∴PE＝a，PF＝b， ∴·＝(－)·(－) ＝·－·－·＋· ＝abcos 60°－a×bcos 45°－abcos 45°＋a×b ＝－－＋＝0， ∴⊥，∴二面角α­AB­β的大小為90°. 答案　90° 二、解答題(每小題15分，共75分) 4．(2011·南京模擬)如圖，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝，M是CC1的中點(diǎn)． (1)求證：A1B⊥AM； (2)求二面角B ­AM­C的平面角的大?。? (1)證明　以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CB、CA、CC1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，如圖所示， 則B(1,0,0)，A(0，，0)，A1(0，，)，M. 所以＝(1，－，－)，＝. 因?yàn)?#183;＝1×0＋(－)×(－)＋(－)×＝0，所以A1B⊥AM. (2)解　因?yàn)锳BC ­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以CC1⊥BC. 因?yàn)椤螦CB＝90°，即BC⊥AC，所以BC⊥平面ACC1，即BC⊥平面AMC. 所以是平面AMC的一個(gè)法向量，＝(1,0,0)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面BAM的一個(gè)法向量， ＝(－1，，0)，＝. 由得令x＝，得y＝，z＝2. 所以n＝(，，2) 因?yàn)閨|＝1，|n|＝2，所以cos〈，n〉＝＝，因此二面角B ­AM­C的大小為45°. 5．(2011·蘇錫常鎮(zhèn)揚(yáng)五市調(diào)研)如圖，正方體ABCD ­A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別在棱AA1和CC1上(含線段端點(diǎn))． (1)如果AE＝C1F，試證明B，E，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面； (2)在(1)的條件下，是否存在一點(diǎn)E，使得直線A1B和平面BFE所成角等于？如果存在，確定點(diǎn)E的位置；如果不存在，試說明理由． (1)證明　以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz， 設(shè)AE＝GF＝t. 則B(1,0,0)，D1(0,1,1)，E(0,0，t)，F(xiàn)(1,1,1－t)，其中0≤t≤1. 則＝＝(－1,0，t)，所以BE∥FD1. 所以B，E，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面． (2)解　＝(－1,0,1)，＝(－1,0，t)，＝(0,1,1－t)， 可求平面BFE的法向量n＝(t，t－1,1)， 若直線A1B與平面BFE所成的角等于，則有sin＝，即＝，解得t＝0，所以點(diǎn)E存在，且坐標(biāo)為E(0,0,0)，即E在頂點(diǎn)A處． 6．(2011·南通調(diào)研)在正方體ABCD ­A1B1C1D1中，O是AC的中點(diǎn)，E是線段D1O上一點(diǎn)，且D1E＝λEO. (1)若λ＝1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值； (2)若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值． 解　(1)不妨設(shè)正方體的棱長為1，以，，為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D ­xyz. 則A(1,0,0)，O，C(0,1,0)，D1(0,0,1)， (1)由題意知E. 于是＝，＝(0，－1,1)． 由cos〈，〉＝＝. 所以異面直線DE與CD1所成角的余弦值為. (2)設(shè)平面CD1O的法向量為m＝(x1，y1，z1)， 由m·＝0，m·＝0， 得 取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m＝(1,1,1)． 由D1E＝λEO， 則E， ＝. 又設(shè)平面CDE的法向量為n＝(x2，y2，z2)， 由n·＝0，n·＝0， 得 取x2＝2，得z2＝－λ，即n＝(2,0，－λ)． 因?yàn)槠矫鍯DE⊥平面CD1O， 所以m·n＝0，得λ＝2. 7．(2011·常州調(diào)研)如圖，在四棱錐PABCD中，已知PB⊥底面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝AD＝2，CD⊥PD，異面直線PA和CD所成角等于60°. (1)求直線PC和平面PAD所成角的正弦值的大??； (2)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角ABED的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)E在棱PA上的位置；若不存在，說明理由． 解　如圖，以B為原點(diǎn)，BA，BC，BP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC＝a，BP＝b，則B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0，a,0)，D(2,2,0)，P(0,0，b)． ∵P＝(2,2，－b)，C＝(2,2－a,0)，CD⊥PD， ∴C·P＝0.∴4＋4－2a＝0，a＝4. 又P＝(2,0，－b)，C＝(2，－2,0)，異面直線PA和CD所成角等于60°， ∴＝，即＝， 解得b＝2. (1)P＝(0,4，－2)，A＝(0,2,0)，P＝(2,0，－2)． 設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為n1＝(x1，y1，z1)， 則由得 取n1＝(1,0,1)， ∵sin θ＝＝＝， ∴直線PC和平面PAD所成角的正弦值為. (2)假設(shè)存在，設(shè)P＝λP，且E(x，y，z)，則(x，y，z－2)＝λ(2,0，－2)，E(2λ，0,2－2λ)． 設(shè)平面DEB的一個(gè)法向量為n2＝(x2，y2，z2)， 則由得 取n2＝(λ－1,1－λ，λ)，又平面ABE的法向量n3＝(0,1,0)， 由cos θ＝＝，得＝，解得λ＝或λ＝2(不合題意)． ∴存在這樣的E點(diǎn)，E為棱PA上的靠近A的三等分點(diǎn)． 8．(2010·山東)如圖，在五棱錐P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形． (1)求證：平面PCD⊥平面PAC； (2)求直線PB與平面PCD所成角的大小； (3)求四棱錐P­ACDE的體積． (1)證明　在△ABC中，因?yàn)椤螦BC＝45°，BC＝4，AB＝2， 所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 45°＝8， 因此AC＝2，故BC2＝AC2＋AB2， 所以∠BAC＝90°. 又PA⊥平面ABCDE，AB∥CD， 所以CD⊥PA，CD⊥AC， 又PA，AC?平面PAC，且PA∩AC＝A， 所以CD⊥平面PAC.又CD?平面PCD， 所以平面PCD⊥平面PAC. (2)解　法一　因?yàn)椤鱌AB是等腰三角形，所以PA＝AB＝2， 因此PB＝＝4.又AB∥CD， 所以點(diǎn)B到平面PCD的距離等于點(diǎn)A到平面PCD的距離， 由于平面PCD⊥平面PAC，在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝2， 所以PC＝4， 故PC邊上的高為2，此即為點(diǎn)A到平面PCD的距離．所以B到平面PCD的距離為h＝2. 設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為θ， 則sin θ＝＝＝. 又θ∈，所以θ＝. 法二　由(1)知AB，AC，AP兩兩相互垂直，分別以AB、AC、AP為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由于△PAB是等腰三角形，所以PA＝AB＝2.又AC＝2， 因此A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2，0)，P(0,0,2)． 因?yàn)锳C∥ED，CD⊥AC， 所以四邊形ACDE是直角梯形． 因?yàn)锳E＝2，∠ABC＝45°，AE∥BC， 所以∠BAE＝135°，因此∠CAE＝45°， 故CD＝AE·sin 45°＝2×＝， 所以D(－，2，0)． 因此＝(0，－2，2)，＝(－，0,0)． 設(shè)m＝(x，y，z)是平面PCD的一個(gè)法向量， 則m·＝0，m·＝0， 解得x＝0，y＝z，取y＝1，得m＝(0,1,1)． 又＝(－2，0,2)， 設(shè)θ表示向量與平面PCD的法向量m所成的角， 則cos θ＝＝，所以θ＝， 因此直線PB與平面PCD所成的角為. (3)解　因?yàn)锳C∥ED，CD⊥AC， 所以四邊形ACDE是直角梯形． 因?yàn)锳E＝2，∠ABC＝45°，AE∥BC， 所以∠BAE＝135°，因此∠CAE＝45°， 故CD＝AE·sin 45°＝2×＝， ED＝AC－AE·cos 45°＝2－2×＝， 所以S四邊形ACDE＝ ×＝3. 又PA⊥平面ABCDE， 所以VP­ACDE＝×3×2＝2.