（江蘇專用）高考數(shù)學總復習 第八章第5課時 橢圓隨堂檢測（含解析）

1．已知橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)，橢圓的一個頂點為A(0,2)，離心率e＝，則橢圓方程為________． 解析：依題意得 ∴a＝2， 故橢圓方程為＋＝1. 答案：＋＝1 2．下列說法中正確的是________． ①已知F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和等于8的點軌跡是橢圓； ②已知F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和為6的點的軌跡是橢圓； ③到點F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，兩點的距離之和等于點M(5,3)到F1，F(xiàn)2的距離之和的點的軌跡是橢圓； ④到F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)距離相等的點的軌跡是橢圓． 解析：橢圓是到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡，應特別注意橢圓的定義的應用． ①中|F1F2|＝8，故到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和為常數(shù)8的點的軌跡是線段F1F2. ②中到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和為6小于|F1F2|的距離，故這樣的軌跡不存在． ③中點(5,3)到F1，F(xiàn)2的距離之和為＋＝4＞|F1F2|＝8，故③中的軌跡是橢圓． ④中是線段|F1F2|的垂直平分線． 答案：③ 3．在平面直角坐標系xOy中，設橢圓＋＝1(a＞b＞0)的焦距為2c.以點O為圓心，a為半徑作圓M.若過點P所作圓M的兩條切線互相垂直，則該橢圓的離心率為______． 解析：如圖，切線PA、PB互相垂直，又半徑OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故＝a.所以e＝＝. 答案： 4．設F1、F2為橢圓＋＝1的左、右焦點，過橢圓的中心任作一直線與橢圓交于P、Q兩點，當四邊形PF1QF2的面積最大時，·的值等于________． 解析：如圖，由橢圓對稱性知四邊形PF1QF2的面積等于△F1F2P面積的兩倍，且F1F2＝2c＝2，故當P為橢圓短軸端點時，△F1F2P的面積最大，此時兩交點為(0，)或(0，－)．不妨設P(0，)，則由F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)， 得＝(－1，－)，＝(1，－)， 所以·＝－1＋3＝2. 答案：2 5．(2011·高考遼寧卷)如圖，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e.直線l⊥MN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D. (1)設e＝，求|BC|與|AD|的比值； (2)當e變化時，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說明理由． 解：(1)因為C1，C2的離心率相同，故依題意可設C1：＋＝1，C2：＋＝1(a>b>0)． 設直線l：x＝t(|t|<a)，分別與C1，C2的方程聯(lián)立，求得 A，B. 當e＝時，b＝a，分別用yA，yB表示A，B的縱坐標，可知|BC|∶|AD|＝＝＝. (2)t＝0時的l不符合題意．t≠0時，BO∥AN當且僅當BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即＝， 解得t＝－＝－·a. 因為|t|<a，又0<e<1，所以<1，解得<e<1. 所以當0<e≤時，不存在直線l，使得BO∥AN；當<e<1時，存在直線l，使得BO∥AN.