（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 考前三個月 必考題型過關(guān)練 第10練 化解抽象函數(shù)快捷有效的幾個途徑 理

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1、第10練　化解抽象函數(shù)快捷有效的幾個途徑 題型一　與抽象函數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)問題 例1　已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的________條件． 破題切入點　周期函數(shù)的概念，同時考查單調(diào)性及充要條件． 答案　充要 解析　①∵f(x)在R上是偶函數(shù)， ∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱． ∵f(x)為[0,1]上的增函數(shù)， ∴f(x)為[－1,0]上的減函數(shù)． 又∵f(x)的周期為2， ∴f(x)為區(qū)間[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的減函數(shù)． ②∵f(x)為[3,4]上的減函數(shù)，且f(x

2、)的周期為2， ∴f(x)為[－1,0]上的減函數(shù)． 又∵f(x)在R上是偶函數(shù)， ∴f(x)為[0,1]上的增函數(shù)． 由①②知“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的充要條件． 題型二　與抽象函數(shù)有關(guān)的函數(shù)零點問題 例2　設(shè)函數(shù)f(x)在R上滿足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在閉區(qū)間[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，則方程f(x)＝0在閉區(qū)間[－2 011,2 011]上的根的個數(shù)為________． 破題切入點　將條件轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識． 答案　805 解析　f(7－x)＝f(7＋x)＝f(2＋(5＋

3、x))＝f(2－(5＋x))＝f(－3－x)， 即f(x＋10)＝f(x)，所以函數(shù)的周期為10， 且對稱軸為x＝2，x＝7，在[0,10]內(nèi)， f(1)＝f(3)＝f(11)＝f(13)， 所以一個周期內(nèi)只有2個零點， 在[0,2 011]內(nèi)2 011＝201×10＋1有201×2＋1＝403個， 在[－2 011,0]內(nèi)－2 011＝201×(－10)－1， 有201個周期且f(－1)≠0，此時有201×2＝402個零點，合計805. 題型三　與抽象函數(shù)有關(guān)的新概念問題 例3　設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合．若映射f：V→R滿足： 對任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(

4、x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)， 則稱映射f具有性質(zhì)P， 現(xiàn)給出如下映射： ①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V； ②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V； ③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V. 其中，具有性質(zhì)P的映射為________．(寫出所有具有性質(zhì)P的映射的序號) 破題切入點　準(zhǔn)確把握性質(zhì)P的含義． 答案?、佗? 解析　a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λa＋(1－λ)b＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)． 對于①，∵f1

5、(m)＝x－y， ∴f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]－[λy1＋(1－λ)·y2]＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)， 而λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)， ∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)， ∴①具有性質(zhì)P. 對于②，f2(m)＝x2＋y，設(shè)a＝(0,0)，b＝(1,2)，λa＋(1－λ)b＝(1－λ，2(1－λ))，f(λa＋(1－λ)b)＝(1－λ)2＋2(1－λ)＝λ2－4λ＋3， 而λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(02＋0)＋(1－λ)(12＋2)＝3(1－λ)， 又λ

6、是任意實數(shù)， ∴f(λa＋(1－λ)b)≠λf(a)＋(1－λ)f(b)， 故②不具有性質(zhì)P. 對于③，f3(m)＝x＋y＋1， f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]＋[λy1＋(1－λ)y2]＋1 ＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1， 又λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1) ＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋λ＋(1－λ) ＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1， ∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)． ∴③具有性質(zhì)P. 綜上，具有性質(zhì)P的映射的序號為

7、①③. 總結(jié)提高　(1)讓抽象函數(shù)不再抽象的方法主要是賦值法和單調(diào)函數(shù)法，因此學(xué)會賦值、判斷并掌握函數(shù)單調(diào)性和奇偶性是必須過好的兩關(guān)，把握好函數(shù)的性質(zhì)． (2)解答抽象函數(shù)問題時，學(xué)生往往盲目地用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等來代替函數(shù)來解答問題而導(dǎo)致出錯，要明確抽象函數(shù)是具有某些性質(zhì)的一類函數(shù)而不是具體的某一個函數(shù)，因此掌握這類函數(shù)的關(guān)鍵是把握函數(shù)的性質(zhì)以及賦值的方法． 1．設(shè)f(x)為偶函數(shù)，對于任意的x>0，都有f(2＋x)＝－2f(2－x)，已知f(－1)＝4，那么f(－3)＝________. 答案?。? 解析　∵f(x)為偶函數(shù)， ∴f(1)＝f(－1)＝4，f(－3)＝f(3)

8、， 當(dāng)x＝1時，f(2＋1)＝(－2)·f(2－1)， ∴f(3)＝(－2)×4＝－8，∴f(－3)＝－8. 2．對于函數(shù)y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”是“y＝f(x)是奇函數(shù)”的________條件． 答案　必要不充分 解析　若函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)．此時|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，因此y＝|f(x)|是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，但當(dāng)y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱時，未必能推出y＝f(x)為奇函數(shù)，故“y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”是“y＝f(x)是奇函數(shù)”的必要不充分條件． 3．若f(x)為

9、奇函數(shù)，且在(－∞，0)內(nèi)是增函數(shù)，又f(－2)＝0，則xf(x)<0的解集為________． 答案　(－2,0)∪(0,2) 解析　因為f(x)為奇函數(shù)，且f(－2)＝0， 所以f(2)＝0. 作出f(x)大致圖象，如圖所示，由圖象可知： 當(dāng)－20， 所以xf(x)<0； 當(dāng)0

10、＝1，y＝0，由已知得f(0)＝， 令x＝y(tǒng)＝1，則f(2)＝4f2(1)－f(0)＝4×()2－ ＝－. 取x＝n，y＝1，有f(n)＝f(n＋1)＋f(n－1)，① 同理f(n＋1)＝f(n＋2)＋f(n)，② 聯(lián)立①②，得f(n＋2)＝－f(n－1)， 所以f(n＋3)＝－f(n)，f(n＋6)＝－f(n＋3)＝f(n)， 所以函數(shù)f(x)的周期為6， f(2 014)＝f(335×6＋4)＝f(4) ＝4f2(2)－f(0)＝－.故填－. 5．已知函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)的定義域及值域均為[－a，a](常數(shù)a>0)，其圖象如圖所示，則方程f(g(x))＝0根的

11、個數(shù)為________． 答案　6 解析　由f(x)的圖象可知方程f(x)＝0有三個根，分別設(shè)為x1，x2，x3，因為f(g(x))＝0，所以g(x)＝x1，g(x)＝x2或g(x)＝x3，因為－a

12、　12 解析　由圖象可知偶函數(shù)f(x)的1個零點是0，另外2個零點分別在區(qū)間(－2，－1)與(1,2)中，值域是[－1,1]；奇函數(shù)g(x)的1個零點是0，另外2個零點分別在區(qū)間(－1,0)與(0,1)中，值域是[－2,2]．①只有當(dāng)f(x)＝0時，f(f(x))＝0，故實根個數(shù)m＝3.②存在3個實數(shù)x，使g(x)＝0，f(g(x))＝0；存在3個實數(shù)x，使g(x)∈(－2，－1)，f(g(x))＝0；存在3個實數(shù)x，使g(x)∈(1,2)，f(g(x))＝0，故實根個數(shù)n＝9.從而m＋n＝12. 7．若對于定義在R上的函數(shù)f(x)，存在常數(shù)t(t∈R)，使得f(x＋t)＋tf(x)＝0對

13、任意實數(shù)x均成立，則稱f(x)是t階回旋函數(shù)，則下列命題正確的是________．(填序號) ①f(x)＝2x是－階回旋函數(shù)； ②f(x)＝sin(πx)是1階回旋函數(shù)； ③f(x)＝x2是1階回旋函數(shù)； ④f(x)＝logax是0階回旋函數(shù)． 答案?、? 解析　對于函數(shù)f(x)＝sin πx，由誘導(dǎo)公式可知當(dāng)t＝1時滿足f(x＋1)＋f(x)＝sin π(x＋1)＋sin πx＝0，故f(x)＝sin πx是1階回旋函數(shù)，②正確． 8．設(shè)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于函數(shù)y＝f(x)的判斷： ①y＝f(x

14、)是周期函數(shù)； ②y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱； ③y＝f(x)在[0,1]上是增函數(shù)； ④f()＝0. 其中正確判斷的序號是________． 答案?、佗冖? 解析　由f(x＋1)＝－f(x)可得f(x＋2)＝f(x)，①正確；因為y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，可知y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，②正確；顯然③錯誤；由f(－＋1)＝－f(－)＝－f()＝f()得f()＝0，④正確． 9．函數(shù)f(x)的定義域為A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)時總有x1＝x2，則稱f(x)為單函數(shù)．例如，函數(shù)f(x)＝2x＋1(x∈R)是單函數(shù)．下列命題： ①函數(shù)f(

15、x)＝x2(x∈R)是單函數(shù)； ②若f(x)為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)； ③若f：A→B為單函數(shù)，則對于任意b∈B，它至多有一個原象； ④函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f(x)一定是單函數(shù)． 其中的真命題是________．(寫出所有真命題的序號) 答案?、冖? 解析　當(dāng)f(x)＝x2時，不妨設(shè)f(x1)＝f(x2)＝4，有x1＝2，x2＝－2，此時x1≠x2，故①不正確；由f(x1)＝f(x2)時總有x1＝x2可知，當(dāng)x1≠x2時，f(x1)≠f(x2)，故②正確；若b∈B，b有兩個原象時，不妨設(shè)為a1，a2，可知a1≠a2，但f(a1)＝

16、f(a2)，與題中條件矛盾，故③正確；函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性時整個定義域上不一定單調(diào)，因而f(x)不一定是單函數(shù)，故④不正確．故答案為②③. 10．(2013·湖南)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0. (1)記集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能構(gòu)成一個三角形的三條邊長，且a＝b}，則(a，b，c)∈M所對應(yīng)的f(x)的零點的取值集合為________． (2)若a，b，c是△ABC的三條邊長，則下列結(jié)論正確的是____________．(寫出所有正確結(jié)論的序號) ①?x∈(－∞，1)，f(x)>0； ②?x∈R，使ax，bx，cx不能構(gòu)成一

17、個三角形的三條邊長； ③若△ABC為鈍角三角形，則?x∈(1,2)，使f(x)＝0. 答案　(1){x|0a>0，c>b>0，a＝b且a，b，c不能構(gòu)成三角形的三邊， ∴0<2a≤c，∴≥2. 令f(x)＝0得2ax＝cx，即x＝2. ∴x＝log2.∴＝log2≥1. ∴0c. ∵c>a>0，c>b>0，∴0<<1,0<<1. ∴當(dāng)x∈(－∞，1)時， f(x)＝ax＋bx－cx＝cx >cx＝cx·>0. ∴?x∈(－∞，1)，f(x)>0.故①正確． ②令

18、a＝2，b＝3，c＝4，則a，b，c可以構(gòu)成三角形． 但a2＝4，b2＝9，c2＝16卻不能構(gòu)成三角形，故②正確． ③∵c>a，c>b，且△ABC為鈍角三角形， ∴a2＋b2－c2<0， 又f(1)＝a＋b－c>0，f(2)＝a2＋b2－c2<0， ∴函數(shù)f(x)在(1,2)上存在零點，故③正確． 11．已知定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足f()＝f(x1)－f(x2)，且當(dāng)x>1時，f(x)<0. (1)求f(1)的值； (2)判斷f(x)的單調(diào)性； (3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2. 解　(1)令x1＝x2>0， 代入得f(1)＝f(x1)

19、－f(x2)＝0，故f(1)＝0. (2)任取x1、x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，則>1. ∵當(dāng)x>1時，f(x)<0. ∴f()<0，即f(x1)－f(x2)<0，有f(x1)9，∴x<－9或x>9， ∴不等式的解集為{x|x<－9或x>9}． 12．設(shè)集合Pn＝{1,2，…，n}，n∈N*，記f(

20、n)為同時滿足下列條件的集合A的個數(shù)： ①A?Pn；②若x∈A，則2x?A； ③若x∈?PnA，則2x??PnA. (1)求f(4)； (2)求f(n)的解析式(用n表示)． 解　(1)當(dāng)n＝4時，符合條件的集合A為：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f(4)＝4. (2)任取偶數(shù)x∈Pn，將x除以2，若商仍為偶數(shù)，再除以2，…，經(jīng)過k次以后，商必為奇數(shù)，此時記商為m，于是x＝m·2k，其中m為奇數(shù)，k∈N*. 由條件知，若m∈A，則x∈A?k為偶數(shù)； 若m?A，則x∈A?k為奇數(shù)． 于是x是否屬于A由m是否屬于A確定． 設(shè)Qn是Pn中所有奇數(shù)的集合，因此f(n)等于Qn的子集個數(shù)． 當(dāng)n為偶數(shù)(或奇數(shù))時，Pn中奇數(shù)的個數(shù)是， 所以f(n)＝