（江蘇專用）高考數(shù)學 考前三個月 必考題型過關練 第34練 雙曲線的漸近線和離心率 理

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1、第34練　雙曲線的漸近線和離心率 題型一　雙曲線的漸近線問題 例1　(2013·課標全國Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為________． 破題切入點　根據(jù)雙曲線的離心率求出a和b的比例關系，進而求出漸近線． 答案　y＝±x 解析　由e＝＝知，a＝2k，c＝k，k∈(0，＋∞)， 由b2＝c2－a2＝k2，知b＝k.所以＝. 即漸近線方程為y＝±x. 題型二　雙曲線的離心率問題 例2　已知O為坐標原點，雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，以OF為直徑作圓與雙曲線的漸近線交于異于原點的兩點A，B，若(＋)·＝0，則雙曲線的離心

2、率e為________． 破題切入點　數(shù)形結(jié)合，畫出合適圖形，找出a，b間的關系． 答案　 解析　如圖，設OF的中點為T，由(＋)·＝0可知AT⊥OF， 又A在以OF為直徑的圓上，∴A， 又A在直線y＝x上，∴a＝b，∴e＝. 題型三　雙曲線的漸近線與離心率綜合問題 例3　已知A(1,2)，B(－1,2)，動點P滿足⊥.若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是________． 破題切入點　先由直接法確定點P的軌跡(為一個圓)，再由漸近線與該軌跡無公共點得到不等關系，進一步列出關于離心率e的不等式進行求解． 答案　(1,

3、2) 解析　設P(x，y)，由題設條件， 得動點P的軌跡為(x－1)(x＋1)＋(y－2)·(y－2)＝0， 即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓． 又雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，即bx±ay＝0， 由題意，可得>1，即>1， 所以e＝<2， 又e>1，故11的條件，常用到數(shù)形結(jié)合． (2)在求雙曲線的漸近線方程時要掌握其簡易求法．由y＝±x?±＝0?－＝0，所以可以把標準方程

4、－＝1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替換即可得出漸近線方程．雙曲線的離心率是描述雙曲線“張口”大小的一個數(shù)據(jù)，由于＝＝，當e逐漸增大時，的值就逐漸增大，雙曲線的“張口”就逐漸增大． 1．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)以及雙曲線－＝1的漸近線將第一象限三等分，則雙曲線－＝1的離心率為________． 答案　2或 解析　由題意，可知雙曲線－＝1的漸近線的傾斜角為30°或60°，則＝或. 則e＝＝＝ ＝ ＝或2. 2．已知雙曲線C：－＝1 (a>0，b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若F2H的中點M在雙曲線C上，則雙曲線

5、C的離心率為________． 答案　 解析　取雙曲線的漸近線y＝x，則過F2與漸近線垂直的直線方程為y＝－(x－c)，可解得點H的坐標為，則F2H的中點M的坐標為，代入雙曲線方程－＝1可得－＝1，整理得c2＝2a2，即可得e＝＝. 3．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為________． 答案　－＝1 解析　∵雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x， 圓C的標準方程為(x－3)2＋y2＝4， ∴圓心為C(3,0)． 又漸近線方程與圓C相切， 即直線bx－ay＝0與圓C相切， ∴

6、＝2，∴5b2＝4a2.① 又∵－＝1的右焦點F2(，0)為圓心C(3,0)， ∴a2＋b2＝9.② 由①②得a2＝5，b2＝4. ∴雙曲線的標準方程為－＝1. 4．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左，右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，若雙曲線上存在點P使＝，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________． 答案　(1，＋1) 解析　根據(jù)正弦定理得＝， 由＝， 可得＝，即＝＝e， 所以PF1＝ePF2. 因為e>1， 所以PF1>PF2，點P在雙曲線的右支上． 又PF1－PF2＝ePF2－PF2＝PF2(e－1)＝2a， 解得PF2＝. 因為PF2

7、>c－a(不等式兩邊不能取等號，否則題中的分式中的分母為0，無意義)， 所以>c－a，即>e－1， 即(e－1)2<2，解得e<＋1. 又e>1，所以e∈(1，＋1)． 5．(2014·湖北)已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F1PF2＝，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為________． 答案　 解析　設PF1＝r1，PF2＝r2(r1>r2)， F1F2＝2c，橢圓長半軸長為a1，雙曲線實半軸長為a2，橢圓、雙曲線的離心率分別為e1，e2， 由(2c)2＝r＋r－2r1r2cos ， 得4c2＝r＋r－r1r2. 由得 所以＋

8、＝＝. 令m＝＝＝ ＝， 當＝時，mmax＝， 所以()max＝， 即＋的最大值為. 6．(2014·山東改編)已知a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為________． 答案　x±y＝0 解析　由題意知e1＝，e2＝， ∴e1·e2＝·＝＝. 又∵a2＝b2＋c，c＝a2＋b2， ∴c＝a2－b2， ∴＝＝1－()4， 即1－()4＝， 解得＝±，∴＝. 令－＝0，解得bx±ay＝0， ∴x±y＝0. 7．若橢圓＋＝1(a>b>0)與雙曲線－＝1的離心率分別為e1，e2，則e1e2的取值

9、范圍為________． 答案　(0,1) 解析　可知e＝＝1－， e＝＝1＋， 所以e＋e＝2>2e1e1?00，b>0)的左焦點F作圓x2＋y2＝的切線，切點為E，延長FE交雙曲線的右支于點P，若E為PF的中點，則雙曲線的離心率為________． 答案　 解析　設雙曲線的右焦點為F′，由于E為PF的中點，坐標原點O為FF′的中點，所以EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且PF′＝2×＝a，故PF＝3a，根據(jù)勾股定理得FF′＝a.所以雙曲線的離心率為＝. 9．(2014·浙江)設直線x－3y＋m＝0(m≠0)與雙曲線－＝

10、1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點A，B.若點P(m,0)滿足PA＝PB，則該雙曲線的離心率是________． 答案　 解析　雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x. 由得A(，)， 由得B(，)， 所以AB的中點C坐標為(，)． 設直線l：x－3y＋m＝0(m≠0)， 因為PA＝PB，所以PC⊥l， 所以kPC＝－3，化簡得a2＝4b2. 在雙曲線中，c2＝a2＋b2＝5b2， 所以e＝＝. 10．(2013·湖南)設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點，若PF1＋PF2＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則雙曲線C的離心率

11、為________． 答案　 解析　不妨設PF1>PF2， 則PF1－PF2＝2a， 又∵PF1＋PF2＝6a， ∴PF1＝4a，PF2＝2a. 又在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°， 由正弦定理得，∠PF2F1＝90°，∴F1F2＝2a， ∴雙曲線C的離心率e＝＝. 11．P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)上一點，M，N分別是雙曲線E的左，右頂點，直線PM，PN的斜率之積為. (1)求雙曲線的離心率； (2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足＝λ＋，求λ的值． 解　(1)

12、點P(x0，y0)(x0≠±a)在雙曲線－＝1上， 有－＝1. 由題意有·＝， 可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2， 則e＝＝. (2)聯(lián)立得4x2－10cx＋35b2＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)． 則① 設＝(x3，y3)，＝λ＋， 即 又C為雙曲線上一點，即x－5y＝5b2， 有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2. 化簡得λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2. 又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上， 所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2. 由(1)可知c2＝6b2， 由①式又有

13、x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2. 得λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4. 12．(2014·江西)如圖，已知雙曲線C：－y2＝1(a>0)的右焦點為F.點A，B分別在C的兩條漸近線上，AF⊥x軸，AB⊥OB，BF∥OA(O為坐標原點)． (1)求雙曲線C的方程； (2)過C上一點P(x0，y0)(y0≠0)的直線l：－y0y＝1與直線AF相交于點M，與直線x＝相交于點N.證明：當點P在C上移動時，恒為定值，并求此定值． 解　(1)設F(c,0)， 直線OB方程為y＝－x， 直線BF的方程為y＝(x－c)，解得B(，－)． 又直線OA的方程為y＝x， 則A(c，)，kAB＝＝. 又因為AB⊥OB，所以·(－)＝－1， 解得a2＝3， 故雙曲線C的方程為－y2＝1. (2)由(1)知a＝，則直線l的方程為 －y0y＝1(y0≠0)，即y＝. 因為c＝＝2，所以直線AF的方程為x＝2， 所以直線l與AF的交點為M(2，)； 直線l與直線x＝的交點為N(，)． 則＝＝ ＝·. 因為P(x0，y0)是C上一點，則－y＝1， 代入上式得＝· ＝·＝， 即＝＝為定值．