（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過關(guān)練 第30練 空間角的突破方略 理

第30練　空間角的突破方略 題型一　異面直線所成的角 例1　在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，求異面直線BA1與AC所成的角． 破題切入點(diǎn)　利用·＝||·||·cos〈，〉，求出向量與的夾角〈，〉，再根據(jù)異面直線BA1，AC所成角的范圍確定異面直線所成角．還可用幾何法或坐標(biāo)法． 解　方法一　 因?yàn)椋剑剑? 所以·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋·. 因?yàn)锳B⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 所以·＝0，·＝0， ·＝0，·＝－a2. 所以·＝－a2. 又·＝||·||·cos〈，〉， cos〈，〉＝＝－. 所以〈，〉＝120°. 所以異面直線BA1與AC所成的角為60°. 方法二　 連結(jié)A1C1，BC1，則由條件可知A1C1∥AC， 從而BA1與AC所成的角亦為BA1與A1C1所成的角， 由于該幾何體為邊長(zhǎng)為a的正方體， 于是△A1BC1為正三角形，∠BA1C1＝60°， 從而所求異面直線BA1與AC所成的角為60°. 方法三　由于該幾何體為正方體，所以DA，DC，DD1兩兩垂直且長(zhǎng)度均為a， 于是以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 于是有A(a,0,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，B(a，a,0)， 從而＝(－a，a,0)，＝(0，－a，a)， 且||＝||＝a，·＝－a2， ∴cos〈，〉＝＝－， 〈，〉＝120°， 所以所求異面直線BA1與AC所成角為60°. 題型二　直線與平面所成的角 例2　如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD的中點(diǎn)． (1)證明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值． 破題切入點(diǎn)　平面的法向量是利用向量方法解決位置關(guān)系或夾角的關(guān)鍵，本題可通過建立坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出平面PEH的法向量． (1)證明　 以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，線段HA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)， 則A(1,0,0)，B(0,1,0)． 設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n) (m<0，n>0)，則D(0，m,0)， E. 可得＝，＝(m，－1,0)． 因?yàn)?#183;＝－＋0＝0，所以PE⊥BC. (2)解　由已知條件可得m＝－，n＝1， 故C，D，E， P(0,0,1)． 設(shè)n＝(x，y，z)為平面PEH的法向量， 則即 因此可以取平面PEH的一個(gè)法向量n＝(1，，0)． 又＝(1,0，－1)，所以|cos〈，n〉|＝. 所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為. 題型三　二面角 例3　如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點(diǎn)，AF＝AB＝BC＝FE＝AD. (1)求異面直線BF與DE所成的角的大?。? (2)證明：平面AMD⊥平面CDE； (3)求二面角A－CD－E的余弦值． 破題切入點(diǎn)　以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系． (1)解　 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)AB＝1，依題意得B(1,0,0)，C(1,1,0)， D(0,2,0)，E(0,1,1)， F(0,0,1)， M. ＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)， 于是cos〈，〉＝＝＝. 所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°. (2)證明　由＝，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)，可得·＝0，·＝0. 因此，CE⊥AM，CE⊥AD.又AM∩AD＝A， 故CE⊥平面AMD.而CE?平面CDE， 所以平面AMD⊥平面CDE. (3)解　設(shè)平面CDE的法向量為u＝(x，y，z)，則 于是 令x＝1可得平面CDE的一個(gè)法向量u＝(1,1,1)． 又由題設(shè)，平面ACD的一個(gè)法向量為v＝(0,0,1)． 所以cos u，v＝＝＝. 因?yàn)槎娼茿－CD－E為銳角，所以其余弦值為. 總結(jié)提高　空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角． (1)異面直線所成的角的范圍是(0，]．求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動(dòng)直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決． 具體步驟如下： ①利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上； ②證明作出的角即為所求的角； ③利用三角形來求角． (2)直線與平面所成的角的范圍是[0，]．求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法． 具體步驟如下： ①找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線； ②連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角； ③把該角置于三角形中計(jì)算． 注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若θ為線面角，α為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有θ≤α. (3)確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法： ①斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上； ②如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上； ③兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上； ④利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置： a．如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心； b．如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)； c．如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心； (4)二面角的范圍是(0，π]，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求．作二面角的平面角常有三種方法． ①棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角； ②面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)(即斜足)，斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角； ③空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角． 1．(2014·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ改編)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為________． 答案　 解析　方法一　由于∠BCA＝90°，三棱柱為直三棱柱，且BC＝CA＝CC1， 可將三棱柱補(bǔ)成正方體． 建立如圖(1)所示空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)， ∴＝(－1，－1,2)，＝(0,1,2)． ∴cos〈，〉＝ ＝＝ ＝. 方法二　如圖(2)，取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)MN，ND，AD，由于MN綊B1C1綊BD，因此有ND綊BM，則ND與NA所成的角即為異面直線BM與AN所成的角．設(shè)BC＝2，則BM＝ND＝，AN＝，AD＝，因此cos∠AND＝＝. 2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成的角的正弦值是________． 答案　 解析　建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示． 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1， 直線BC1與平面A1BD所成的角為θ， 則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)， ∴＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,0,1)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面A1BD的一個(gè)法向量， 則令z＝1，則x＝－1，y＝1. ∴n＝(－1,1,1)， ∴sin θ＝|cos〈n，〉|＝||＝. 3．如圖，過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是________． 答案　45° 解析　如圖，取PD中點(diǎn)E，連結(jié)AE，則AE⊥平面PCD， 故二面角的平面角∠APE＝45°. 4.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是________． 答案　 解析　以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，A1(1,0,2)，B(0,1,0)，A(1，0,0)，C(0,0,0)， 則＝(－1,1，－2)， ＝(－1,0,0)， cos〈，〉＝ ＝＝. 5．在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝a.點(diǎn)E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，又作DF⊥PB交PB于點(diǎn)F，則PB與平面EFD所成角為________． 答案　90° 解析　 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，則P(0,0，a)，B(a，a,0)， E(0，，)． 故＝(a，a，－a)， ＝， 所以·＝0＋－＝0， 所以PB⊥DE，由已知DF⊥PB，且DF∩DE＝D， 所以PB⊥平面EFD，所以PB與平面EFD所成角為90°. 6．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是CC1，AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于________． 答案　 解析　以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系， ∴F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)， ∴＝(－1,0,2)， ＝(－1,1,1)， ∴cos〈，〉＝＝. 7．如圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是________． 答案　60° 解析　以BC，BA，BB1所在直線為x軸，y軸，z軸， 建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)AB＝BC＝AA1＝2， 則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)， 則＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)， ∴·＝2， ∴cos〈，〉＝＝， ∴EF和BC1所成的角為60°. 8．(2014·蘇州調(diào)研)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為________． 答案　 解析　如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz， 則D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)， 所以＝(0,2,0)， ＝(－1,2,0)，＝(0,2，－1)， 設(shè)平面A1BC1的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)， 由 得令y＝1，得n＝(2,1,2)， 設(shè)D1C1與平面A1BC1所成角為θ，則 sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝. 9.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是棱CD、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成角的大小是________． 答案　90° 解析　方法一　連結(jié)MD1，易證△DD1M≌△CDN，則∠NDM＝∠DD1M， ∴∠NDM＋∠D1MD＝∠DD1M＋∠D1MD＝90°， 即DN⊥D1M，又A1D1⊥平面DC1， ∴A1D1⊥DN，∴DN⊥平面A1D1M. ∵A1M?平面A1D1M，∴A1M⊥DN. 即A1M與DN所成的角為90°. 方法二　(空間向量法) 以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸， 設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2， 則D(0,0,0)，N(0,2,1)，M(0,1,0)，A1(2,0,2)， ∴＝(0,2,1)，＝(2，－1,2)， cos〈，〉＝＝0， ∴A1M與DN的夾角為90°. 10．正四棱錐S－ABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC所成的角是________． 答案　30° 解析　如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz. 設(shè)OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P(0，－，)， 則＝(2a,0,0)，＝(－a，－，)，＝(a，a,0)． 設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為n，可求得n＝(0,1,1)， 則cos〈，n〉＝＝＝. ∴〈，n〉＝60°， ∴直線BC與平面PAC所成的角為90°－60°＝30°. 11．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，M是棱PC的中點(diǎn)，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝. (1)求證：PE⊥平面ABCD； (2)求直線BM與平面ABCD所成角的正切值； (3)求直線BM與CD所成角的余弦值． (1)證明　因?yàn)镻A＝PD，E為AD的中點(diǎn)， 所以PE⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD， 且平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以PE⊥平面ABCD. (2)解　 連結(jié)EC，設(shè)EC的中點(diǎn)為H， 連結(jié)MH，HB，如圖． 因?yàn)镸是PC的中點(diǎn)，H是EC的中點(diǎn)，所以MH∥PE. 由(1)，知PE⊥平面ABCD， 所以MH⊥平面ABCD， 所以HB是BM在平面ABCD內(nèi)的射影． 所以∠MBH為直線BM與平面ABCD所成的角． 因?yàn)锳D∥BC，BC＝AD，E為AD的中點(diǎn)，∠ADC＝90°， 所以四邊形BCDE為矩形， 所以EC＝2，HB＝EC＝1. 又MH＝PE＝， 所以在△MHB中，tan∠MBH＝＝. 所以直線BM與平面ABCD所成角的正切值為. (3)解　由(2)，知CD∥BE， 所以直線BM與CD所成角為直線BM與BE的夾角． 連結(jié)ME，在Rt△MHE中，ME＝， 同理求得BM＝，又BE＝CD＝， 所以在△MEB中，cos∠MBE＝ ＝＝， 所以直線BM與CD所成角的余弦值為. 12.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB＝60°，AD＝2，AM＝1，E是AB的中點(diǎn)． (1)求證：AN∥平面MEC； (2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使二面角P－EC－D的大小為？若存在，求出AP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由． (1)證明　由已知，MN∥AD∥BC，連結(jié)BN， 設(shè)CM與BN交于F，連結(jié)EF，如圖所示． 又MN＝AD＝BC， 所以四邊形BCNM是平行四邊形，F(xiàn)是BN的中點(diǎn)． 又E是AB的中點(diǎn)， 所以AN∥EF. 因?yàn)镋F?平面MEC， AN?平面MEC， 所以AN∥平面MEC. (2)解　如圖所示，假設(shè)在線段AM上存在點(diǎn)P， 使二面角P－EC－D的大小為. 延長(zhǎng)DA，CE交于點(diǎn)Q， 過A作AH⊥EQ于H，連結(jié)PH. 因?yàn)樗倪呅蜛DNM是矩形， 平面ADNM⊥平面ABCD， 所以MA⊥平面ABCD， 又CQ?平面ABCD，所以MA⊥EQ， 又MA∩AH＝A，所以EQ⊥平面PAH， 所以EQ⊥PH，∠PHA為二面角P－EC－D的平面角． 由題意，知∠PHA＝. 在△QAE中，AE＝1，AQ＝2，∠QAE＝120°， 則EQ＝＝， 所以AH＝＝. 又在Rt△PAH中，∠PHA＝， 則AP＝AH×tan 30°＝×＝＝<1. 所以在線段AM上存在點(diǎn)P， 使二面角P－EC－D的大小為， 此時(shí)AP的長(zhǎng)為.