（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 考前三個月 中檔大題規(guī)范練3 空間平行與垂直 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

3．空間平行與垂直 1．(2017·南京學(xué)情調(diào)研)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別為線段A1B，AC1的中點． (1)求證：MN∥平面BB1C1C； (2)若D在邊BC上，AD⊥DC1，求證：MN⊥AD. 證明　(1)如圖，連結(jié)A1C，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C為平行四邊形，又因為N為線段AC1的中點，所以A1C與AC1相交于點N，即A1C經(jīng)過點N，且N為線段A1C的中點． 因為M為線段A1B的中點， 所以MN∥BC. 又MN?平面BB1C1C，BC?平面BB1C1C， 所以MN∥平面BB1C1C. (2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC， 又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD. 因為AD⊥DC1，DC1?平面BB1C1C，CC1?平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，所以AD⊥平面BB1C1C. 又BC?平面BB1C1C，所以AD⊥BC. 由(1)知MN∥BC，所以MN⊥AD. 2．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，PC⊥底面ABCD，E為PB上一點，G為PO的中點． (1)若PD∥平面ACE，求證：E為PB的中點； (2)若AB＝PC，求證：CG⊥平面PBD. 證明　(1)連結(jié)OE，由四邊形ABCD是正方形知，O為BD的中點， 因為PD∥平面ACE，PD?平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝OE， 所以PD∥OE. 因為O為BD的中點，所以E為PB的中點． (2)在四棱錐P－ABCD中，AB＝PC， 因為四邊形ABCD是正方形，所以O(shè)C＝AB， 所以PC＝OC. 因為G為PO的中點，所以CG⊥PO. 又因為PC⊥底面ABCD，BD?底面ABCD， 所以PC⊥BD. 而四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD， 因為AC，PC?平面PAC，AC∩PC＝C， 所以BD⊥平面PAC， 因為CG?平面PAC，所以BD⊥CG. 因為PO，BD?平面PBD，PO∩BD＝O， 所以CG⊥平面PBD. 3．如圖，已知平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M是AE的中點． (1)若N是PA的中點，求證：平面CMN⊥平面PAC； (2)若MN∥平面ABC，求證：N是PA的中點． 證明　(1)因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，AC⊥BC，BC?平面ABC， 所以BC⊥平面PAC， 因為M，N分別為AE，AP的中點，所以MN∥PE， 又因為PE∥BC，所以MN∥BC， 即MN⊥平面PAC，又MN?平面CMN， 所以平面CMN⊥平面PAC. (2)因為PE∥CB，BC?平面ABC，PE?平面ABC， 所以PE∥平面ABC， 設(shè)平面PAE與平面ABC的交線為l，則PE∥l. 又MN∥平面ABC，MN?平面PAE，所以MN∥l. 所以MN∥PE， 因為M是AE的中點，所以N為PA的中點． 4．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱BC上一點． (1)若AB＝AC，D為棱BC的中點，求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1； (2)若A1B∥平面ADC1，求的值． (1)證明　因為AB＝AC，點D為BC的中點， 所以AD⊥BC. 因為ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC. 因為AD?平面ABC，所以BB1⊥AD. 因為BC∩BB1＝B，BC?平面BCC1B1，BB1?平面BCC1B1， 所以AD⊥平面BCC1B1. 因為AD?平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BCC1B1. (2)解　連結(jié)A1C，交AC1于O，連結(jié)OD，所以O(shè)為A1C的中點． 因為A1B∥平面ADC1，A1B?平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，所以A1B∥OD. 因為O為A1C的中點，所以D為BC的中點， 所以＝1.