（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 第47課 基本不等式及其應(yīng)用（一）要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)　各個(gè)擊破 利用基本不等式證明 　已知a>0,b>0,c>0,求證:++≥a+b+c. [思維引導(dǎo)]先局部運(yùn)用基本不等式,再利用不等式的性質(zhì)相加得到. [證明]因?yàn)閍>0,b>0,c>0, 所以+≥2=2c(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)); +≥2=2b(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)); +≥2=2a(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)). 以上三式相加得2≥2(a+b+c)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)), 即++≥a+b+c. [精要點(diǎn)評(píng)]利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況,證明思路是從已證不等式和問(wèn)題的已知條件出發(fā),借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理,經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問(wèn)題. 　已知a>0,b>0,a+b=1,求證:≥9. [證明]因?yàn)閍>0,b>0,a+b=1, 所以1+=1+=2+. 同理,1+=2+. 所以=·=5+2≥5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立. 利用基本不等式求函數(shù)的最值 　(2014·重慶卷)若log4(3a+4b)=log2,求a+b的最小值. [思維引導(dǎo)]基本不等式的應(yīng)用一定要注意一正、二定、三相等,特別是等號(hào)成立的條件. [解答]由題意知ab>0,且3a+4b>0,所以a>0,b>0. 又log4(3a+4b)=log2, 所以3a+4b=ab,所以+=1. 所以a+b=(a+b)=7++≥7+2=7+4, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=4+2,b=3+2時(shí),等號(hào)成立. 故a+b的最小值為7+4. [精要點(diǎn)評(píng)]一正、二定、三相等不滿足時(shí),相應(yīng)的處理方法分別是一正不滿足則變?yōu)檎?二定不滿足則湊定值,三相等不滿足則轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性. 　(2014·北京東城區(qū)期末)求函數(shù)y=+的最大值. [解答]因?yàn)楹瘮?shù)y=+的定義域?yàn)閇0,1], 所以y2=x+(1-x)+2=1+2≤1+[x+(1-x)]=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1-x,即x=時(shí)等號(hào)成立. 因?yàn)閥>0,所以ymax=. 利用基本不等式解決恒成立問(wèn)題 　(2014·河南中原名校聯(lián)考)已知x>0,y>0,若+>m2+2m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　. [答案](-4,2) [解析]因?yàn)?≥2=8,要使+>m2+2m恒成立,則m2+2m<8,解得-4<m<2. [精要點(diǎn)評(píng)]分離參數(shù)是處理此類問(wèn)題的首選的方法,一般轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值或某個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題.要注意恒成立問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為a≤f(x)min或是a≥f(x)max. 　已知正實(shí)數(shù)x,y滿足lnx+lny=0,且k(x+2y)≤x2+4y2恒成立,那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是　　　　. [答案](-∞,] [解析]方法一:由題意知xy=1,x>0,y>0,k≤==(x+2y)-,令m=x+2y,則k≤. 因?yàn)閙=x+2y≥2=2,且y=m-在[2,+∞)上單調(diào)遞增, 所以當(dāng)m=2時(shí),=2-=,即k≤. 方法二:令t=x+2y,t≥2,因此t2-kt-4≥0對(duì)t∈[2,+∞)恒成立, 記f(t)=t2-kt-4,則f(2)=4-2k≥0Þk≤. 某地區(qū)的農(nóng)產(chǎn)品A第x天(1≤x≤20)的銷售價(jià)格p=50-|x-6|(單位:元∕百斤),一農(nóng)戶在第x天(1≤x≤20)農(nóng)產(chǎn)品A的銷售量q=40+|x-8|(單位:百斤). (1) 求該農(nóng)戶在第7天銷售農(nóng)產(chǎn)品A的收入; (2) 這20天中該農(nóng)戶在哪一天的銷售收入最大? [規(guī)范答題](1) 由已知得第7天的銷售價(jià)格p=49,銷售量q=41. 所以第7天的銷售收入W7=49×41=2009 (元) .(3分) (2) 設(shè)第x天的銷售收入為Wx, 則Wx= (6分) 當(dāng)1≤x≤6時(shí),Wx=(44+x)(48-x)≤=2116(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)). 所以當(dāng)x=2時(shí)取最大值W2=2116.(9分) 當(dāng)8≤x≤20時(shí),Wx=(56-x)(32+x)≤=1936(當(dāng)且僅當(dāng)x=12時(shí)取等號(hào)). 所以當(dāng)x=12時(shí)取最大值W12=1936. (12分) 由于W2>W7>W12, 所以第2天該農(nóng)戶的銷售收入最大. (13分) 答:第7天的銷售收入為2009元;第2天該農(nóng)戶的銷售收入最大. (14分) 1. 若x>0,則x+的最小值為　　　　. [答案]2 [解析]因?yàn)閤>0Þx+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=Þx=時(shí),取等號(hào). 2. 已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+2b=1,那么a2+4b2+的最小值為　　　　. [答案] [解析]因?yàn)?=a+2b≥2Þab≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=時(shí)取等號(hào).又因?yàn)閍2+4b2+≥2a·(2b)+=4ab+.令t=ab,所以f(t)=4t+在上單調(diào)遞減,所以f(t)min=f=,此時(shí)a=2b=. 3. (2014·上海卷)若實(shí)數(shù)x,y滿足xy=1,則x2+2y2的最小值為　　　　. [答案]2 [解析]x2+2y2≥2=2·=2,當(dāng)且僅當(dāng)x2=2y2時(shí)等號(hào)成立. 4. (2014·福建卷改編)要制作一個(gè)容積為4 m3,高為1 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元,側(cè)面造價(jià)是每平方米10元,求該容器的最低總造價(jià)(單位:元). [解答]設(shè)底面矩形的一邊長(zhǎng)為x,由容器的容積為4 m3,高為1 m,得另一邊長(zhǎng)為 m. 記容器的總造價(jià)為y元,則 y=4×20+2×1×10 =80+20 ≥80+20×2 =160, 當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=2時(shí),等號(hào)成立. 因此,當(dāng)x=2時(shí),y取得最小值160,即容器的最低總造價(jià)為160元. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套檢測(cè)與評(píng)估》中的練習(xí)(第93-94頁(yè)).