（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習 專題12 選修系列 第81練 幾何證明選講練習 理-人教版高三選修數(shù)學(xué)試題

訓(xùn)練目標 在初中平面幾何的基礎(chǔ)上進一步掌握有關(guān)平面幾何證明的定理或方法． 訓(xùn)練題型 (1)證明三角形相似及相似三角形的性質(zhì)；(2)圓的切線的判定與性質(zhì)；(3)相交弦定理、切割線定理的應(yīng)用． 解題策略 回憶初中學(xué)過的平面幾何有關(guān)的定義、定理、推論等，理解高中新給出的結(jié)論，充分利用圖形，解決相關(guān)問題. 1.如圖所示，在△ABC中，D是AC的中點，E是BD的中點，AE的延長線交BC于F. (1)求的值； (2)若△BEF的面積為S1，四邊形CDEF的面積為S2，求S1∶S2的值． 2. (2016·南京六校聯(lián)考)如圖，AB是⊙O的一條切線，切點為B，直線ADE、CFD、CGE都是⊙O的割線，已知AC＝AB.求證：FG∥AC. 3. (2016·南京、鹽城一模)如圖，已知點P為Rt△ABC的斜邊AB的延長線上一點，且PC與Rt△ABC的外接圓相切，過點C作AB的垂線，垂足為D.若PA＝18，PC＝6，求線段CD的長． 4. (2016·南通三模)如圖，BC為圓O的直徑，A為圓O上一點，過點A作圓O的切線交BC的延長線于點P，AH⊥PB于H.求證：PA·AH＝PC·HB. 5.(2016·南京、鹽城一模)如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點D，AC⊥CD，DE⊥AB，C、E為垂足，連結(jié)AD，BD.若AC＝4，DE＝3，求BD的長． 6．(2016·蘇北四市一模)如圖，∠PAQ是直角，圓O與射線AP相切于點T，與射線AQ相交于兩點B，C.求證：BT平分∠OBA. 答案精析 1．解　(1)過D點作DG∥BC，交AF于G點． ∵E是BD的中點，∴BE＝DE. 又∵∠EBF＝∠EDG，∠BEF＝∠DEG， ∴△BEF≌△DEG， ∴BF＝DG，∴BF∶FC＝DG∶FC. ∵D是AC的中點，∴DG∶FC＝1∶2， ∴BF∶FC＝1∶2，即＝. (2)若△BEF以BF為底，△BDC以BC為底，則由(1)知BF∶BC＝1∶3，又由BE∶BD＝1∶2，可知h1∶h2＝1∶2，其中h1，h2分別為△BEF和△BDC的高， 則＝×＝， 則S1∶S2＝1∶5. 2．證明　∵AB為切線，AE為割線， ∴AB2＝AD·AE， 又∵AC＝AB， ∴AD·AE＝AC2. ∴＝， 又∵∠EAC＝∠CAD， ∴△ADC∽△ACE， ∴∠ADC＝∠ACE， 又∵∠ADC＝∠EGF， ∴∠EGF＝∠ACE， ∴GF∥AC. 3．解　由切割線定理，得PC2＝PA·PB， 解得PB＝2，所以AB＝16， 所以Rt△ABC的外接圓半徑r＝8， 記Rt△ABC外接圓的圓心為O，連結(jié)OC，則OC⊥PC， 在Rt△POC中，由面積法得OC·PC＝PO·CD， 解得CD＝. 4．證明　 連結(jié)AC，AB，因為BC為圓O的直徑，故AC⊥AB. 又AH⊥PB，故AH2＝CH·HB， 即＝. 因為PA為圓O的切線， 故∠PAC＝∠B. 在Rt△ABC中，∠B＋∠ACB＝90°， 在Rt△ACH中，∠CAH＋∠ACB＝90°， 所以∠CAH＝∠B， 所以∠PAC＝∠CAH， 所以＝，即＝. 所以＝，即PA·AH＝PC·HB. 5．解　因為CD與⊙O相切于點D， 所以∠CDA＝∠DBA， 因為AB為⊙O的直徑， 所以∠ADB＝90°. 又DE⊥AB，所以△EDA∽△DBA， 所以∠EDA＝∠DBA， 所以∠EDA＝∠CDA，＝. 又∠ACD＝∠AED＝90°，AD＝AD， 所以△ACD≌△AED. 所以AE＝AC＝4， 所以AD＝＝5， 又＝，所以BD＝·AD＝. 6．證明　連結(jié)OT. 因為AT是切線，所以O(shè)T⊥AP. 又因為∠PAQ是直角，即AQ⊥AP， 所以AB∥OT， 所以∠TBA＝∠BTO. 又OT＝OB，所以∠OTB＝∠OBT， 所以∠OBT＝∠TBA， 即BT平分∠OBA.