電磁場與電磁波：第三章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解

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1、第三章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括：靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括：靜電場、恒定電場靜電場、恒定電場和恒定磁場和恒定磁場 時變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場時變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場 靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立本章內(nèi)容本章內(nèi)容本章內(nèi)容本章內(nèi)容 3.1 3.1 靜電場分析靜電場分析靜電場分析靜電場分析 3.2 3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析 3.3 3.3 恒定磁場分析恒定磁場分

2、析恒定磁場分析恒定磁場分析 3.4 3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 3.5 3.5 鏡像法鏡像法鏡像法鏡像法 3.6 3.6 分離變量法分離變量法分離變量法分離變量法3.1 靜電場分析靜電場分析 學(xué)習(xí)內(nèi)容學(xué)習(xí)內(nèi)容 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù) 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 3.1.5 靜電力靜電力2.邊界條件邊界條件微分形式：微分形式：本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：

3、1.基本方程基本方程積分形式：積分形式：或或或或3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件若分界面上不存在面電荷，即若分界面上不存在面電荷，即 ，則，則介質(zhì)介質(zhì)2 2介質(zhì)介質(zhì)1 1 在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場為在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場為0，則導(dǎo)體表面的，則導(dǎo)體表面的邊界條件為邊界條件為 或或 場矢量的折射關(guān)系場矢量的折射關(guān)系 導(dǎo)體表面的邊界條件導(dǎo)體表面的邊界條件由由即靜電場可以用一個標量函數(shù)的梯度來表示，標量函數(shù)即靜電場可以用一個標量函數(shù)的梯度來表示，標量函數(shù) 稱為稱為靜電場的標量電位或簡稱電位。靜電場的標量電位或簡稱電位。1.電位函數(shù)的定義電位函數(shù)的定

4、義3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù)2.電位的表達式電位的表達式對于連續(xù)的體分布電荷，由對于連續(xù)的體分布電荷，由同理得，面電荷的電位：同理得，面電荷的電位：故得故得點電荷的電位：點電荷的電位：線電荷的電位：線電荷的電位：3.電位差電位差兩端點乘兩端點乘 ，則有，則有將將上式兩邊從點上式兩邊從點P到點到點Q沿任意路徑進行積分，得沿任意路徑進行積分，得關(guān)于電位差的說明關(guān)于電位差的說明關(guān)于電位差的說明關(guān)于電位差的說明 P、Q 兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點移至點移至Q 點點 所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。所做的功，電場力使單位正電荷由

5、高電位處移到低電位處。電位差也稱為電壓，可用電位差也稱為電壓，可用U 表示。表示。電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。P、Q 兩點間的電位差兩點間的電位差電場力做電場力做的功的功 靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即選參考點選參考點令參考點電位為零令參考點電位為零電位確定值電位確定值(電位差電位差)兩點間電位差有定值兩點間電位差有定值 選擇電位參考點的原則選擇電位參考點的原則選擇電位參考點的原則選擇電位參考點的原則 應(yīng)使電位表達式有意義。應(yīng)使電位表達式有意義。應(yīng)使電位表達式最簡單。若電荷分布

6、在有限區(qū)域，通常取無應(yīng)使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無 限遠作電位參考點。限遠作電位參考點。同一個問題只能有一個參考點。同一個問題只能有一個參考點。4.電位參考點電位參考點 為為使使空空間間各各點點電電位位具具有有確確定定值值，可可以以選選定定空空間間某某一一點點作作為為參參考考點點，且且令令參參考考點點的的電電位位為為零零，由由于于空空間間各各點點與與參參考考點點的的電電位位差差為為確確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即定值，所以該點的電位也就具有確定值，即例例 3.1.1 求電偶極子的電位求電偶極子的電位.解解 在球坐標系中在球坐標系中用二項式展開，由于，得用二項式展

7、開，由于，得代入上式，得代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。+q電偶極子電偶極子zodq將將 和和 代入上式，代入上式，解得解得E線方程為線方程為 由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強度由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強度等位線等位線電場線電場線電偶極子的場圖電偶極子的場圖電場線微分方程電場線微分方程：等位線方程等位線方程：解解 選定均勻電場空間中的一點選定均勻電場空間中的一點O為坐標原點，而任意點為坐標原點，而任意點P 的的位置矢量為位置矢量為r，則，則若若選擇選擇點點O為電為電位參考點，即位參考點，即 ，則

8、則 在極坐在極坐標標系中，取極系中，取極軸軸與與 的方向一的方向一致，即致，即 ，則則有有 在在圓圓柱坐柱坐標標系中，取系中，取 與與x 軸軸方向一致，即方向一致，即 ，而，而 ，故，故 例例3.1.2 求均勻電場的電位分布。求均勻電場的電位分布。xyzL-L 解解 采用采用圓圓柱坐柱坐標標系，令系，令線電線電荷與荷與 z 軸相重合，中點位于軸相重合，中點位于坐標原點。由于軸對稱性，電位與坐標原點。由于軸對稱性，電位與 無關(guān)。無關(guān)。在帶電線上位于在帶電線上位于 處的線元處的線元 ，它，它到點到點 的距離的距離 ，則則 例例3.1.3 求長度為求長度為2L、電荷線密度為、電荷線密度為 的均勻帶電

9、線的電位。的均勻帶電線的電位。在上式中若令在上式中若令 ，則則可得到無限可得到無限長長直直線電線電荷的荷的電電位。當(dāng)位。當(dāng) 時時，上式可寫，上式可寫為為 當(dāng)當(dāng) 時時，上式，上式變?yōu)樽優(yōu)闊o無窮窮大，大，這這是因是因為電為電荷不是分布在有限區(qū)荷不是分布在有限區(qū)域內(nèi)，而將域內(nèi)，而將電電位參考點位參考點選選在無在無窮遠窮遠點之故。點之故。這時這時可在上式中加上可在上式中加上一個任意常數(shù)，一個任意常數(shù)，則則有有并選擇有限遠處為電位參考點。例如，選擇并選擇有限遠處為電位參考點。例如，選擇=a 的點為電位參的點為電位參考點，則有考點，則有在均勻介質(zhì)中，有在均勻介質(zhì)中，有5.電位的微分方程電位的微分方程在無源

10、區(qū)域，在無源區(qū)域，標量泊松方程標量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程6.靜電位的邊界條件靜電位的邊界條件 設(shè)設(shè)P1和和P2是是介介質(zhì)質(zhì)分分界界面面兩兩側(cè)側(cè)緊緊貼貼界界面面的的相相鄰鄰兩兩點點，其其電電位位分分別為別為1和和2。當(dāng)兩點間距離當(dāng)兩點間距離l0時時導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：由由 和和媒質(zhì)媒質(zhì)2媒質(zhì)媒質(zhì)1 若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即常數(shù)，常數(shù)，例例3.1.4 兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于 x=0 和和 x=a 處，處，在兩板之間的在兩板之間的 x=b 處有一面密度為處有一面密度為 的均勻的均勻電電荷分

11、布，如荷分布，如圖圖所所示。求兩示。求兩導(dǎo)導(dǎo)體平板之體平板之間間的的電電位和位和電場電場。解解 在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除 x=b 處有均勻面電處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程斯方程方程的解為方程的解為obaxy兩兩塊塊無限大平行板無限大平行板利用邊界條件，有利用邊界條件，有 處，處，最后得最后得 處，處，處，處，所以所以由此解得由此解得電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中：電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中：在電子電路中，利用電容器來實現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁在電子

12、電路中，利用電容器來實現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用。路、選頻等作用。通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜 電路。電路。在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率。減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率。3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容 電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng)電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng) 儲存電荷能儲存電荷能力的物理量。力的物理量。孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電

13、量q與其電位與其電位 的比值，即的比值，即 孤立導(dǎo)體的電容孤立導(dǎo)體的電容 兩個帶等量異號電荷（兩個帶等量異號電荷（q）的導(dǎo)體組成的電容器，其電容為的導(dǎo)體組成的電容器，其電容為 電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì)電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì) 的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。(1)假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q 和和q；(2)計算兩導(dǎo)體間的電場強度計算兩導(dǎo)體間的電場強度E；計算電容的步驟：計算電容的步驟：計算電容的步驟：計算電容的步驟：(4)求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所

14、求電容。(3)由由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；，求出兩導(dǎo)體間的電位差；解解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為電荷為q，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場的電場同心導(dǎo)體間的電壓同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容球形電容器的電容當(dāng)當(dāng) 時，時，例例3.1.4 同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體半徑為、外導(dǎo)體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為其間填充介電常數(shù)為的均勻介的均勻介質(zhì)質(zhì)。求此球形電容器的電容。求此球形電容器的電容。孤立導(dǎo)體球的電容孤立導(dǎo)體球的電容 例例 3.1.5 如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為a，兩導(dǎo)線

15、，兩導(dǎo)線的軸線距離為的軸線距離為D，且，且D a，求傳輸線單位長度的電容。，求傳輸線單位長度的電容。解解 設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為 和和 。由于。由于 ，故，故可近似地可近似地認為電認為電荷分荷分別別均勻分布在兩均勻分布在兩導(dǎo)線導(dǎo)線的表面上。的表面上。應(yīng)應(yīng)用高斯定理和疊加原用高斯定理和疊加原理，可得到兩理，可得到兩導(dǎo)線導(dǎo)線之之間間的平面上任一點的平面上任一點P 的的電場電場強強度度為為兩兩導(dǎo)線間導(dǎo)線間的的電電位差位差故故單單位位長長度的度的電電容容為為 例例3.1.6 同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體，內(nèi)外導(dǎo)體間填充

16、的介電常數(shù)為間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。求同軸線單位長度的電容。內(nèi)外內(nèi)外導(dǎo)導(dǎo)體體間間的的電電位差位差 解解 設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為 和和 ，應(yīng)應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)導(dǎo)體體間間任一點的任一點的電場電場強強度度為為故得同故得同軸線單軸線單位位長長度的度的電電容容為為同同軸線軸線 如果充電過程進行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過如果充電過程進行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，

17、或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所做的總功。量就等于外加電源在此電場建立過程中所做的總功。靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量。能量。任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個最終任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個最終電荷分布的建立電荷分布的建立(或充電或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而做功。電荷之間的相互作用力而做功。3

18、.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 1.靜電場的能量靜電場的能量 設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為 q、電位為、電位為 。充充電過電過程中某一程中某一時時刻的刻的電電荷量荷量為為q、電位為、電位為。(01)當(dāng)當(dāng)增加為增加為(+d)時，外電源做功為時，外電源做功為:(q d)。對對從從0 到到 1 積分，即得到外電源所做的總功為積分，即得到外電源所做的總功為 根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為 q 的帶電體具有的電的帶電體具有的電場能量場能量We ，即，即 對于電荷體密度為對于電荷體密度為的體分布電荷，體積元的體分布電荷，體積元d

19、V中的電荷中的電荷dV具具有的電場能量為有的電場能量為故體分布電荷的電場能量為故體分布電荷的電場能量為對于面分布電荷，對于面分布電荷，電場能量為電場能量為對于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有對于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有 第第i 個導(dǎo)體所帶的電荷個導(dǎo)體所帶的電荷 第第i 個導(dǎo)體的電位個導(dǎo)體的電位式中：式中：2.電場能量密度電場能量密度 從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。電場能量密度：電場能量密度：電場的總能量：電場的總能量：積分區(qū)域為電場積分區(qū)域為電場所在的整個空間所在的整個空間對于線性、各向同性介質(zhì)，則有對于線性、各向同性介

20、質(zhì)，則有由于體積由于體積V 外的電荷密度外的電荷密度0，若將上，若將上式中的積分區(qū)域擴大到整個場空間，結(jié)式中的積分區(qū)域擴大到整個場空間，結(jié)果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面內(nèi)，當(dāng)閉合面S 無限擴大時，則有無限擴大時，則有故故 推證：推證：推證：推證：0S 例例3.1.7 半徑為半徑為a 的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的電的電荷，試求靜電場能量。荷，試求靜電場能量。解解：方法一方法一，利用利用 計算計算 根據(jù)高斯定理求得電場強度根據(jù)高斯定理求得電場強度 故故 方法二方法二：利用利用 計算計算 先求出電位分布先求出

21、電位分布 故故 已已知知帶帶電電體體的的電電荷荷分分布布，原原則則上上，根根據(jù)據(jù)庫庫侖侖定定律律可可以以計計算算帶帶電電體體電電荷荷之之間間的的電電場場力力。但但對對于于電電荷荷分分布布復(fù)復(fù)雜雜的的帶帶電電系系統(tǒng)統(tǒng)，根根據(jù)據(jù)庫庫侖侖定定律律計計算算電電場場力力往往往往是是非非常常困困難難的的，因因此此通通常常采采用用虛虛位位移移法法來來計算靜電力。計算靜電力。虛位移法虛位移法：假設(shè)第假設(shè)第i 個帶電個帶電導(dǎo)體在電場力導(dǎo)體在電場力Fi 的作用下發(fā)生位移的作用下發(fā)生位移dgi，則電場力做功，則電場力做功dAFi dgi，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)椋到y(tǒng)的靜電能量改變?yōu)閐We。根據(jù)根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)

22、的功能關(guān)系為能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為其中其中dWS是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。具體計算中，可假定各帶電導(dǎo)體的電位不變，或假定各帶電具體計算中，可假定各帶電導(dǎo)體的電位不變，或假定各帶電導(dǎo)體的電荷不變。導(dǎo)體的電荷不變。3.1.5 靜電力靜電力1.各帶電導(dǎo)體的電位不變各帶電導(dǎo)體的電位不變 此時，各帶電導(dǎo)體應(yīng)分別與外電壓源連接，外電壓源向系統(tǒng)此時，各帶電導(dǎo)體應(yīng)分別與外電壓源連接，外電壓源向系統(tǒng)提供的能量提供的能量系統(tǒng)所改變的靜電能量系統(tǒng)所改變的靜電能量即即此時，所有帶電體都不和外電源相連接，則此時，所有帶電體都不和外電源相連接，則 dWS0，

23、因此，因此2.各帶電導(dǎo)體的電荷不變各帶電導(dǎo)體的電荷不變式中的式中的“”號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)的靜電能量來實現(xiàn)的。號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)的靜電能量來實現(xiàn)的。不變不變q不變不變所以電容器內(nèi)的電場能量為所以電容器內(nèi)的電場能量為由由 可求得介質(zhì)片受到的可求得介質(zhì)片受到的靜電力為靜電力為 解解 平行板電容器的電容為平行板電容器的電容為部分填充介質(zhì)的平行板電容器部分填充介質(zhì)的平行板電容器dbU0lx 例例3.1.8 有一平行金屬板電容器，極有一平行金屬板電容器，極板面積為板面積為lb，板間距離為，板間距離為d，用一塊介，用一塊介質(zhì)片（寬度為質(zhì)片（寬度為b、厚度為、厚度為d，介電常數(shù)為，介電常數(shù)

24、為）部分填充在兩極板之間，如圖所示。）部分填充在兩極板之間，如圖所示。設(shè)極板間外加電壓為設(shè)極板間外加電壓為U0，忽略邊緣效應(yīng)，忽略邊緣效應(yīng)，求介質(zhì)片所受的靜電力。求介質(zhì)片所受的靜電力。由于由于 0 0，所以介，所以介質(zhì)片所受到的力有將質(zhì)片所受到的力有將其拉進電容器的趨勢其拉進電容器的趨勢 此題也可用式此題也可用式 來計算來計算q不變不變設(shè)極板上保持總電荷設(shè)極板上保持總電荷q 不變，則不變，則由此可得由此可得由于由于同樣得到同樣得到3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析 3.2.1 恒定場的基本方程和邊界條件恒定場的基本方程和邊界條件 3.2.2 恒定電場與靜電場的比擬恒定電場

25、與靜電場的比擬 3.2.3 漏電導(dǎo)漏電導(dǎo) 由由J J E E 可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運動，但導(dǎo)體中的電的電場，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運動，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定電場。的電場稱為恒定電場。恒定電場與靜電場的重要區(qū)別：恒定電場與靜電場的重要區(qū)別：（1 1）恒定電場可以存在于導(dǎo)體內(nèi)部。）恒定電場可以存在于導(dǎo)體內(nèi)部。（2 2）恒定電場中有電場能量的損耗）恒定電場中有電場能量的損

26、耗,要維持導(dǎo)體中的恒定電要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗的電場能量。流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗的電場能量。恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件恒定電場的基本方程和邊界條件1.基本方程基本方程 恒定電場的基本方程為恒定電場的基本方程為微分形式：微分形式：積分形式：積分形式：恒定電場的基本場矢量是電流密度恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場強度和電場強度 線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系 恒定電場的電位函數(shù)恒定電場的電位函數(shù)由由若媒質(zhì)是

27、均勻的，則若媒質(zhì)是均勻的，則 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷沒有體分布電荷2.恒定電場的邊界條件恒定電場的邊界條件媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 1 場矢量的邊界條件場矢量的邊界條件即即即即 導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度場矢量的折射關(guān)系場矢量的折射關(guān)系 電位的邊界條件電位的邊界條件 恒定電場同時存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場恒定電場同時存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場 既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，因既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，因 而導(dǎo)體表面不是等位面；而導(dǎo)體表面不是等位面；說明說明：媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒

28、質(zhì)媒質(zhì)1 1媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 1 如如2 1、且、且 290，則則 10，即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。此時，良導(dǎo)體表面可近似地看作為此時，良導(dǎo)體表面可近似地看作為 等位面；等位面；若媒質(zhì)若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)為理想介質(zhì)，即即 10，則則 J1=0，故故J2n=0 且且 E2n=0，即導(dǎo)體，即導(dǎo)體 中的電流和電場與分界面平行中的電流和電場與分界面平行。3.2.2 恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬 如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求

29、解這形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場的解，就兩種場分布必然是同一個數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場的解，就可以用對應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場可以用對應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為的方法稱為比擬法比擬法。恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬基本方程基本方程靜電場（靜電場（區(qū)域）區(qū)域）本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)位函數(shù)邊界條件邊界條件恒定電場（電源外）恒定電場（電源外）對應(yīng)物理量對應(yīng)物理量靜電場靜電場恒定電場恒定電場 例例3.2.1一一個個有有兩兩層層介介質(zhì)質(zhì)的的平平行行板板電電容容器器，其

30、其參參數(shù)數(shù)分分別別為為 1、1 和和 2、2，外加電壓，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。解解：極極板板是是理理想想導(dǎo)導(dǎo)體體，為等位面，電流沿為等位面，電流沿z 方向。方向。例例3.2.2 填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)，外導(dǎo)體半徑為體半徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為 1 和和 2、電導(dǎo)率為、電導(dǎo)率為 1 和和 2。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為U0，外導(dǎo)體接地。求：，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強度分布；（）兩導(dǎo)體之間的電流

31、密度和電場強度分布；（2）介質(zhì)分界面）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。上的自由電荷面密度。外導(dǎo)體外導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體介質(zhì)介質(zhì)2 2介質(zhì)介質(zhì)1 （1）設(shè)設(shè)同同軸電纜軸電纜中中單單位位長長度的徑向度的徑向電電流流為為I,則則由由 可得可得電電流密度流密度介質(zhì)中的電場介質(zhì)中的電場 解解 電電流由內(nèi)流由內(nèi)導(dǎo)導(dǎo)體流向外體流向外導(dǎo)導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，體，在分界面上只有法向分量，所以所以電電流密度成流密度成軸對軸對稱分布?？上燃俜Q分布?？上燃僭O(shè)電設(shè)電流流為為I，由求出由求出電電流密度流密度 的表達式，然后求出的表達式，然后求出 和和 ，再由，再由 確定出確定出電電流流 I。故兩種介故兩種介質(zhì)質(zhì)中的中的

32、電電流密度和流密度和電場電場強強度分度分別為別為由于由于于是得到于是得到 （2）由）由 可得，介質(zhì)可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì)介質(zhì)2外表面的電荷面密度為外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為 工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之工程上，常在電容器兩極板之間、同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠遠小間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠遠小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓U 時，必

33、定會有微小的漏電流時，必定會有微小的漏電流 J 存在。存在。漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即3.2.3 漏電導(dǎo)漏電導(dǎo)(1)假定兩電極間的電流為假定兩電極間的電流為I；(2)計算兩電極間的電流密度計算兩電極間的電流密度 矢量矢量J；(3)由由J=E 得到得到 E;(4)由由 ，求出兩導(dǎo)，求出兩導(dǎo) 體間的電位差；體間的電位差；(5)求比值求比值 ，即得出，即得出 所求電導(dǎo)。所求電導(dǎo)。計算電導(dǎo)的方法一：計算電導(dǎo)的方法一：計算電導(dǎo)的方法二計算電導(dǎo)的方法二：(1)假定兩電極間的電位差為假定兩電極間的電位差為U；(2)計算兩電極間的電位分

34、布計算兩電極間的電位分布；(3)由由 得到得到E;(4)由由 J=E 得到得到J;(5)由由 ，求出兩導(dǎo)體間，求出兩導(dǎo)體間 電流；電流；(6)求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求電導(dǎo)。求電導(dǎo)。計算電導(dǎo)的方法三：計算電導(dǎo)的方法三：靜電比擬法：靜電比擬法：例例3.2.3 求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a、b，長度為長度為l，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為、介電常數(shù)為、介電常數(shù)為。解：解：直接用恒定電場的計算方法直接用恒定電場的計算方法電導(dǎo)電導(dǎo)絕緣電阻絕緣電阻則則設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I。方程通解為方程通解

35、為 例例3.2.4 在一在一塊塊厚度厚度為為h 的的導(dǎo)電導(dǎo)電板上，板上，由兩個半徑由兩個半徑為為r1 和和 r2 的的圓圓弧和弧和夾夾角角為為 0 的兩半徑割的一段的兩半徑割的一段環(huán)環(huán)形形導(dǎo)電導(dǎo)電媒媒質(zhì)質(zhì)，如，如圖圖所示。所示。計計算沿算沿 方向的兩方向的兩電電極之極之間間的的電電阻。阻。設(shè)導(dǎo)電設(shè)導(dǎo)電媒媒質(zhì)質(zhì)的的電導(dǎo)電導(dǎo)率率為為。解：解：設(shè)在沿設(shè)在沿 方向的兩電極之間外加電壓方向的兩電極之間外加電壓U0，則電則電流沿流沿 方向流方向流動動，而且，而且電電流密度是隨流密度是隨 變變化的。但容易化的。但容易判定判定電電位位 只是只是變變量量 的函數(shù)，因此的函數(shù)，因此電電位函數(shù)位函數(shù) 滿滿足一足一維

36、維拉普拉斯方程拉普拉斯方程代入邊界條件代入邊界條件可以得到可以得到環(huán)環(huán)形形導(dǎo)電導(dǎo)電媒媒質(zhì)塊質(zhì)塊r1hr2 0電流密度電流密度兩電極之間的兩電極之間的電流電流故故沿沿 方向的兩電極之間的電阻方向的兩電極之間的電阻為為所以所以3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標量磁位恒定磁場的矢量磁位和標量磁位3.3.3 電感電感3.3.4 恒定磁場的能量恒定磁場的能量3.3.5 磁場力磁場力 3.3 恒定磁場分析恒定磁場分析微分形式微分形式:1.基本方程基本方程2.邊界條件邊界條件本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：或或若分界面上不存在面電流，即若分界面上不存在

37、面電流，即JS0，則，則積分形式積分形式:或或3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件 矢量磁位的定義矢量磁位的定義 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 與與電電位位一一樣樣，磁磁矢矢位位也也不不是是惟惟一一確確定定的的，它它加加上上任任意意一一個個標標量量 的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即由由即恒定磁場可以用一個矢量函數(shù)的旋度來表示。即恒定磁場可以用一個矢量函數(shù)的旋度來表示。磁磁矢矢位位的的任任意意性性是是因因為為只只規(guī)規(guī)定定了了它它的的旋旋度度，沒沒有有規(guī)規(guī)定定其其散散度度造造成成的的。為為了了得得到到確確定定的的A，可可以以對對A

38、的的散散度度加加以以限限制制，在在恒恒定定磁磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。1.恒定磁場的矢量磁位恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位矢量磁位或稱磁矢位 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標量磁位恒定磁場的矢量磁位和標量磁位 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在無源區(qū)：在無源區(qū)：矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程 磁矢位的表達式磁矢位的表達式 磁矢位的邊界條件磁矢位的邊界條件（可以證明滿足（可以證明滿足 ）對于面電流和細導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為對于面電流和細導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為 利用磁矢位計算磁通量：利用磁矢位計算磁通量：細線電流細線電流

39、：面電流面電流：由此可得出由此可得出 例例 3.3.1 求求小小圓圓環(huán)環(huán)電電流流回回路路的的遠遠區(qū)區(qū)矢矢量量磁磁位位與與磁磁場場。小小圓圓形形回回路的半徑為路的半徑為a，回路中的電流為，回路中的電流為I。解解 如圖所示，由于具有軸對稱性，如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁矢量磁位和磁場場均均與與 無關(guān)，無關(guān)，計計算算 xO z 平平面上的矢量磁位與磁面上的矢量磁位與磁場場將不失一般性。將不失一般性。小圓環(huán)電流小圓環(huán)電流aIxzyrRIPO對對于于遠遠區(qū)，有區(qū)，有r a，所以，所以由于在由于在 =0 面上面上 ，所以上式可寫成，所以上式可寫成于是得到于是得到式中式中S=a 2是小是小圓環(huán)圓

40、環(huán)的面的面積積。載載流小流小圓環(huán)圓環(huán)可看作磁偶極子，可看作磁偶極子，為為磁偶極子的磁矩磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），（或磁偶極矩），則則或或 解解：先求長度為：先求長度為2L 的直線電流的磁矢位。的直線電流的磁矢位。電流元電流元 到點到點 的距離的距離 。則。則 例例 3.3.2 求無限長線電流求無限長線電流 I 的磁矢位，設(shè)電流沿的磁矢位，設(shè)電流沿+z 方向流動。方向流動。與與計計算算無無限限長長線線電電荷荷的的電電位位一一樣樣，令令 可可得得到到無無限限長長線線電電流流的磁矢位的磁矢位 xyzL-L2.恒定磁場的標量磁位恒定磁場的標量磁位 一一般般情情況況下下，恒恒定定磁磁場場只只能能引引

41、入入磁磁矢矢位位來來描描述述，但但在在無無傳傳導(dǎo)導(dǎo)電流（電流（J0）的空間）的空間 中，則有中，則有即即在在無無傳傳導(dǎo)導(dǎo)電電流流（J0）的的空空間間中中，可可以以引引入入一一個個標標量量位位函函數(shù)數(shù)來來描述磁場。描述磁場。標量磁位的引入標量磁位的引入標量磁位或磁標位標量磁位或磁標位 磁標位的微分方程磁標位的微分方程將將 代入代入等效磁荷體密度等效磁荷體密度 與靜電位相比較，有與靜電位相比較，有 標量磁位的邊界條件標量磁位的邊界條件在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中 標量磁位的表達式標量磁位的表達式和和或或和和式中：式中：等效磁荷面密度等效磁荷面密度靜電位靜電位 磁標位磁標

42、位 磁標位與靜電位的比較磁標位與靜電位的比較靜電位靜電位 0 P磁標位磁標位 m 0m當(dāng)當(dāng)r l 時時，可可將將磁磁柱柱體體等等效效成成磁磁偶偶極極子子，則利用與靜電場的比較和電偶極子場，有則利用與靜電場的比較和電偶極子場，有 解解：M0為為常常數(shù)數(shù)，m=0，柱柱內(nèi)內(nèi)沒沒有有磁磁荷荷。在在柱柱的的兩兩個個端端面面上上，磁化磁荷為磁化磁荷為R1R2rPzx-l/2l/2M 例例3.3.3半半徑徑為為a、長長為為l 的的圓圓柱柱永永磁磁體體，沿沿軸軸向向均均勻勻磁磁化化，其磁化強度為其磁化強度為 。求遠區(qū)的磁感應(yīng)強度。求遠區(qū)的磁感應(yīng)強度。1.磁通與磁鏈磁通與磁鏈 3.3.3 電感電感 單匝線圈形成

43、的回路的磁鏈定單匝線圈形成的回路的磁鏈定 義為穿過該回路的磁通量義為穿過該回路的磁通量 多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁 鏈定義為所有線圈的磁通總和鏈定義為所有線圈的磁通總和 CI 細回路細回路 粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為 兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍 的、磁力線不穿過導(dǎo)體的外磁通量的、磁力線不穿過導(dǎo)體的外磁通量 o；另一部分是磁力線穿過；另一部分是磁力線穿過 導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量 i。iCI o粗回路粗回路 設(shè)回路設(shè)回路 C 中的電流為中的電流為I，所產(chǎn)生的磁場與回路

44、，所產(chǎn)生的磁場與回路 C 交鏈的磁鏈交鏈的磁鏈為為，則磁鏈，則磁鏈 與回路與回路 C 中的電流中的電流 I 有正比關(guān)系，其比值有正比關(guān)系，其比值稱為回路稱為回路 C 的自感系數(shù)，簡稱自感。的自感系數(shù)，簡稱自感。外自感外自感2.自感自感 內(nèi)自感；內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：粗導(dǎo)體回路的自感：L=Li+Lo 自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。電流無關(guān)。自感的特點自感的特點：解解：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸線中的電流為線中的電流為I，由安培環(huán)路定理，由安培環(huán)路定理穿過沿軸線單位長度的矩形面積元穿

45、過沿軸線單位長度的矩形面積元dS=d的磁通為的磁通為 例例3.3.4 求求同同軸軸線線單單位位長長度度的的自自感感。設(shè)設(shè)內(nèi)內(nèi)導(dǎo)導(dǎo)體體半半徑徑為為a，外外導(dǎo)導(dǎo)體體厚度可忽略不計，其半徑為厚度可忽略不計，其半徑為b，空氣填充。，空氣填充。得得與與di 交鏈的電流為交鏈的電流為則與則與di 相應(yīng)的磁鏈為相應(yīng)的磁鏈為因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為故單位長度的內(nèi)自感為故單位長度的內(nèi)自感為再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。則則故單位長度的外自感為故單位長度的外自感為單位長度的總自感為單位長度的總自感為 例例3.3.5 計算平行雙線傳輸線單位長度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半計算平行

46、雙線傳輸線單位長度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半徑為徑為a，兩導(dǎo)線的間距為，兩導(dǎo)線的間距為D，且，且 D a。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為導(dǎo)率為0。穿過兩導(dǎo)線之間沿軸線方向為單位長度的面積的外磁鏈為穿過兩導(dǎo)線之間沿軸線方向為單位長度的面積的外磁鏈為 解解 設(shè)兩導(dǎo)線流過的電流為設(shè)兩導(dǎo)線流過的電流為I。由。由于于D a，故，故可近似地可近似地認為導(dǎo)線認為導(dǎo)線中的中的電電流是均勻分布的。流是均勻分布的。應(yīng)應(yīng)用安培用安培環(huán)環(huán)路定路定理和疊加原理，可得到兩理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線導(dǎo)線之之間間的的平面上任一點平面上任一點P 的磁感的磁感應(yīng)應(yīng)強強度度為為PII于是得到平行雙線傳輸線單位長度的外自感于是

47、得到平行雙線傳輸線單位長度的外自感兩根導(dǎo)線單位長度的內(nèi)自感為兩根導(dǎo)線單位長度的內(nèi)自感為故得到平行雙線傳輸線單位長度的自感為故得到平行雙線傳輸線單位長度的自感為 對兩個彼此鄰近的閉合回路對兩個彼此鄰近的閉合回路C1 和回路和回路 C2，當(dāng)回路，當(dāng)回路 C1 中通過中通過電流電流 I1 時，不僅與回路時，不僅與回路 C1 交鏈的交鏈的磁鏈與磁鏈與I1 成正比，而且與回路成正比，而且與回路 C2 交鏈的磁鏈交鏈的磁鏈 12 也與也與 I1 成正比，其成正比，其比例系數(shù)比例系數(shù)稱為回路稱為回路 C1 對回路對回路 C2 的互感系數(shù)，簡稱互感。的互感系數(shù)，簡稱互感。3.互感互感同理，回路同理，回路 C2

48、 對回路對回路 C1 的互感為的互感為C1C2I1I2Ro 互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍 磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。滿足互易關(guān)系，即滿足互易關(guān)系，即M12=M21 當(dāng)與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時，互當(dāng)與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時，互 感系數(shù)感系數(shù) M 為正值；反之，則互感系數(shù)為正值；反之，則互感系數(shù) M 為負值為負值?；ジ械奶攸c：互感的特點：4.紐曼公式紐曼公式 如圖所示的兩個如圖所示的兩個回路回路 C1 和回路和回路 C2，回路回路 C1中的電流中的電

49、流 I1 在回路在回路 C2 上的任一上的任一點產(chǎn)生的矢量磁位點產(chǎn)生的矢量磁位回路回路 C1中的電流中的電流 I1 產(chǎn)生的磁場與回路產(chǎn)生的磁場與回路 C2 交鏈的磁鏈為交鏈的磁鏈為C1C2I1I2Ro紐曼公式紐曼公式同理同理故得故得由由圖圖中可知中可知長直導(dǎo)線與三角形回路長直導(dǎo)線與三角形回路穿過三角形回路面積的磁通為穿過三角形回路面積的磁通為 解解 設(shè)長直導(dǎo)線中的電流為設(shè)長直導(dǎo)線中的電流為I，根據(jù)根據(jù)安培環(huán)路定理，得到安培環(huán)路定理，得到 例例3.3.6 如圖所示，長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路共面，求它如圖所示，長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互感。們之間的互感。因此因此故長直導(dǎo)線與三角形

50、導(dǎo)體回路的互感為故長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感為 例例3.3.7 如圖所示，兩個互相平行且共軸的圓形線圈如圖所示，兩個互相平行且共軸的圓形線圈C1和和 C2，半徑分半徑分別為別為a1和和 a2，中心相距，中心相距為為d。求它。求它們們之之間間的互感。的互感。于是有于是有 解解 利用紐曼公式來計算，則有利用紐曼公式來計算，則有兩個平行且共軸的線圈兩個平行且共軸的線圈式中式中=21為為 與與 之之間間的的夾夾角，角，dl1=a1d1、dl2=a1d2，且且 若若d a1，則，則于是于是 一般情況下，上述一般情況下，上述積積分只能用分只能用橢圓積橢圓積分來表示。但是若分來表示。但是若d a1或或

51、d a2 時時，可，可進進行近似行近似計計算。算。3.3.4 恒定磁場的能量恒定磁場的能量1.磁場能量磁場能量 在恒定磁場建立過程中，電源克服感應(yīng)電動勢做功所供給的在恒定磁場建立過程中，電源克服感應(yīng)電動勢做功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場能量。能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場能量。電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運動，表明恒定電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運動，表明恒定 磁場具有能量。磁場具有能量。磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。當(dāng)電流從磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。當(dāng)電流從 零開始增加時，回路中的感應(yīng)電動勢要阻止電流的增加，因零開始增加時，回路中的感應(yīng)電動勢要阻

52、止電流的增加，因 而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動勢。而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動勢。假定建立并維持恒定電流時，沒有熱損耗。假定建立并維持恒定電流時，沒有熱損耗。假定在恒定電流建立過程中，電流的變化足夠緩慢，沒有輻假定在恒定電流建立過程中，電流的變化足夠緩慢，沒有輻 射損耗。射損耗。設(shè)回路從零開始充電，最終的電流為設(shè)回路從零開始充電，最終的電流為 I、交鏈的磁鏈為、交鏈的磁鏈為。在在時時刻刻 t 的的電電流流為為i=I、磁鏈為、磁鏈為=。(01)根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流為為 I 的載流回路具有的的載流回路具有的磁場能量磁場能量Wm，即，即對對

53、從從0 到到 1 積分，即得到外電源所做的總功為積分，即得到外電源所做的總功為外加電壓應(yīng)為外加電壓應(yīng)為所做的功所做的功當(dāng)當(dāng)增加為增加為(+d)時，回路中的感應(yīng)電動勢時，回路中的感應(yīng)電動勢:對于對于N 個載流回路，則有個載流回路，則有對于體分布電流，則有對于體分布電流，則有例如，對于兩個電流回路例如，對于兩個電流回路 C1 和回路和回路C2，有，有回路回路C2的自有能的自有能回路回路C1的自有能的自有能C1和和C2的互能的互能2.磁場能量密度磁場能量密度 從場的觀點來看，磁場能量分布于磁場所在的整個空間。從場的觀點來看，磁場能量分布于磁場所在的整個空間。磁場能量密度：磁場能量密度：磁場的總能量：

54、磁場的總能量：積分區(qū)域為電場積分區(qū)域為電場所在的整個空間所在的整個空間對于線性、各向同性介質(zhì)，則有對于線性、各向同性介質(zhì)，則有若電流分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面若電流分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S無無限擴大時，則有限擴大時，則有 故故 推證：推證：S 例例3.3.8 同軸電纜的同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為分別為 b 和和 c，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流 I，試求同軸電纜中，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。單位長度儲存的磁場能量與自感。解解：由安培環(huán)路定理，得：由安培環(huán)路定理，得三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為

55、三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為單位長度內(nèi)總的磁場能量為單位長度內(nèi)總的磁場能量為單位長度的總自感單位長度的總自感內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感內(nèi)外導(dǎo)體間的外自感內(nèi)外導(dǎo)體間的外自感外導(dǎo)體的內(nèi)自感外導(dǎo)體的內(nèi)自感3.3.5 磁場力磁場力 假定第假定第i 個回路在磁場力的作用下產(chǎn)生一個虛位移個回路在磁場力的作用下產(chǎn)生一個虛位移dgi 。此時，。此時，磁場力做功磁場力做功d AFi dgi，系統(tǒng)的能量增加，系統(tǒng)的能量增加dWm。根據(jù)能量守恒定律，。根據(jù)能量守恒定律，有有式中式中dWS是與各電流回路相連接的外電源提供的能量。是與各電流回路相連接的外電源提供的能量。具體計算過程中，可假定各回路電流維持不變，

56、或假定與各具體計算過程中，可假定各回路電流維持不變，或假定與各回路交鏈的磁通維持不變。回路交鏈的磁通維持不變。虛位移原理虛位移原理虛位移原理虛位移原理1.1.各回路電流維持不變各回路電流維持不變各回路電流維持不變各回路電流維持不變 若假定各回路中電流不改變，則回路中的磁鏈必定發(fā)生改變，若假定各回路中電流不改變，則回路中的磁鏈必定發(fā)生改變，因此兩個回路都有感應(yīng)電動勢。此時，外接電源必然要做功來克因此兩個回路都有感應(yīng)電動勢。此時，外接電源必然要做功來克服感應(yīng)電動勢以保持各回路中電流不變。此時，電源所提供的能服感應(yīng)電動勢以保持各回路中電流不變。此時，電源所提供的能量量 即即于是有于是有故得到故得到

57、不變不變系統(tǒng)增加的磁能系統(tǒng)增加的磁能 2.2.各回路的磁通不變各回路的磁通不變各回路的磁通不變各回路的磁通不變故得到故得到式中的式中的“”號表示號表示磁場力做功是靠減少系統(tǒng)的磁場能量來實現(xiàn)磁場力做功是靠減少系統(tǒng)的磁場能量來實現(xiàn)的的。若假定各回路的磁通不變，則各回路中的電流必定發(fā)生改變。若假定各回路的磁通不變，則各回路中的電流必定發(fā)生改變。由于各回路的磁通不變，回路中都沒有感應(yīng)電動勢，故與回路相由于各回路的磁通不變，回路中都沒有感應(yīng)電動勢，故與回路相連接的電源不對回路輸入能量，即連接的電源不對回路輸入能量，即 dWS0，因此，因此不變不變 例例例例3.3.93.3.9 如圖所示的一個電磁鐵，由鐵

58、軛（繞有如圖所示的一個電磁鐵，由鐵軛（繞有N 匝匝線線圈的圈的鐵鐵心）和心）和銜鐵銜鐵構(gòu)成。構(gòu)成。鐵軛鐵軛和和銜鐵銜鐵的橫截面的橫截面積積均均為為S，平均，平均長長度分度分別為別為 l1 和和 l2。鐵軛鐵軛與與銜鐵銜鐵之之間間有一很小的空氣隙，其有一很小的空氣隙，其長長度度為為x。設(shè)線設(shè)線圈中的圈中的電電流流為為I，鐵軛鐵軛和和銜鐵銜鐵的磁的磁導(dǎo)導(dǎo)率率為為 。若忽略漏磁和。若忽略漏磁和邊緣邊緣效效應(yīng)應(yīng)，求，求鐵軛對銜鐵鐵軛對銜鐵的吸引力。的吸引力。解解解解 在忽略漏磁和邊緣效應(yīng)的情況下，若保持磁通在忽略漏磁和邊緣效應(yīng)的情況下，若保持磁通 不變，不變，則則B 和和H 不變，儲存在鐵軛和銜鐵中的

59、磁不變，儲存在鐵軛和銜鐵中的磁場能量也不變，而空氣隙中的磁場能量則場能量也不變，而空氣隙中的磁場能量則要變化。于是作用在銜鐵上的磁場力為要變化。于是作用在銜鐵上的磁場力為電磁鐵電磁鐵空氣隙中的空氣隙中的磁場強度磁場強度變?nèi)舨捎檬饺舨捎檬?計算，由儲存在系統(tǒng)中的計算，由儲存在系統(tǒng)中的磁場能量磁場能量由于由于 和和 ，考慮到，考慮到 ，可得到，可得到同樣得到鐵軛對銜鐵的吸引力為同樣得到鐵軛對銜鐵的吸引力為根據(jù)安培環(huán)路定理，有根據(jù)安培環(huán)路定理，有3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 討論內(nèi)容討論內(nèi)容 3.4.1 邊值問題的類型邊值問題的類型 3.4.2 惟一性定理

60、惟一性定理邊值問題邊值問題邊值問題邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或 拉普拉斯方程拉普拉斯方程3.4.1 邊值問題的類型邊值問題的類型已知場域邊界面上的位函數(shù)值，即已知場域邊界面上的位函數(shù)值，即第一類邊值問題（或狄里赫利問題）第一類邊值問題（或狄里赫利問題）第一類邊值問題（或狄里赫利問題）第一類邊值問題（或狄里赫利問題）已知場域邊界面上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即已知場域邊界面上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即 已知場域一部分邊界面上的已知場域一部分邊界面上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面位函數(shù)值，而另一部分邊界面上則已知上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值

61、，即位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即第三類邊值問題（或混合邊值問題）第三類邊值問題（或混合邊值問題）第三類邊值問題（或混合邊值問題）第三類邊值問題（或混合邊值問題）第二類邊值問題（或紐曼問題）第二類邊值問題（或紐曼問題）第二類邊值問題（或紐曼問題）第二類邊值問題（或紐曼問題）自然邊界條件自然邊界條件自然邊界條件自然邊界條件 （無界空間）（無界空間）（無界空間）（無界空間）周期邊界條件周期邊界條件周期邊界條件周期邊界條件 銜接條件銜接條件銜接條件銜接條件不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如例：例：例：例：（第一類邊值問題）（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）（第三類邊值問題）例：例

62、：例：例：在場域在場域V 的邊界面的邊界面S上給定上給定 或或 的的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V 具具有惟一值。有惟一值。3.4.2 惟一性定理惟一性定理惟一性定理的重要意義惟一性定理的重要意義給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)惟一性定理的表述惟一性定理的表述惟一性定理的證明惟一性定理的證明惟一性定理的證明惟一性定理的證明反證法反證法：假設(shè)解不惟一，則有兩個位函數(shù)：假設(shè)解不

63、惟一，則有兩個位函數(shù)和和 在在場場域域V內(nèi)內(nèi)滿滿足同足同樣樣的方程，即的方程，即且在且在邊邊界面界面S 上有上有令令 ，則則在在場場域域V內(nèi)內(nèi)且在且在邊邊界面界面S 上上滿滿足同足同樣樣的的邊邊界條件。界條件?；蚧蚧蚧蛴筛窳值谝缓愕仁接筛窳值谝缓愕仁娇傻玫娇傻玫綄τ诘谝挥诘谝活愡咁愡吔鐥l件：界條件：對對于第二于第二類邊類邊界條件：若界條件：若 和和 取同一點取同一點Q為為參考點參考點，則則對對于第三于第三類邊類邊界條件：界條件：3.5.1 鏡像法的基本原理鏡像法的基本原理 3.5.2 接地導(dǎo)體平面的鏡像接地導(dǎo)體平面的鏡像 3.5.3 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像 3.5.4 *導(dǎo)體圓柱面的鏡

64、像導(dǎo)體圓柱面的鏡像 3.5.5 點電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像點電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像 3.5.6 線電流線電流與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像 3.5 鏡像法鏡像法 當(dāng)當(dāng)有有電電荷荷存存在在于于導(dǎo)導(dǎo)體體或或介介質(zhì)質(zhì)表表面面附附近近時時，導(dǎo)導(dǎo)體體和和介介質(zhì)質(zhì)表表面面會會出出現(xiàn)現(xiàn)感感應(yīng)應(yīng)電電荷荷或或極極化化電電荷荷，而而感感應(yīng)應(yīng)電電荷荷或或極極化化電電荷荷將將影影響響場場的分布。的分布。非非均均勻勻感感應(yīng)應(yīng)電電荷荷產(chǎn)產(chǎn)生生的的電電位位很很難難求求解，可以用等效電荷的電位替代解，可以用等效電荷的電位替代1.1.問題的提出問題的提出問題的提出問題的提出幾個實例幾個實例接接地地導(dǎo)

65、導(dǎo)體體板板附附近近有有一一個個點點電電荷荷，如如圖圖所所示。示。q qqq非均勻感應(yīng)電荷非均勻感應(yīng)電荷等效電荷等效電荷3.5.1 鏡像法的基本原理鏡像法的基本原理 接地導(dǎo)體球附近有一個點電荷，如圖。接地導(dǎo)體球附近有一個點電荷，如圖。非非均均勻勻感感應(yīng)應(yīng)電電荷荷產(chǎn)產(chǎn)生生的的電電位位很很難難求求解解，可可以以用用等效電荷的電位替代等效電荷的電位替代 接地導(dǎo)體柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電接地導(dǎo)體柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電 荷為線電荷。荷為線電荷。q q非均勻感應(yīng)電荷非均勻感應(yīng)電荷qq等效電荷等效電荷結(jié)論結(jié)論結(jié)論結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點電荷：所

66、謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點電荷 或線電荷的作用?；蚓€電荷的作用。問題問題：這種等效電荷是否存在？：這種等效電荷是否存在？這種等效是否合理？這種等效是否合理？2.2.鏡像法的原理鏡像法的原理鏡像法的原理鏡像法的原理 用位于場域邊界外虛設(shè)的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代用位于場域邊界外虛設(shè)的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計算過程勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。得以明顯簡化的一種間接求解法。在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向