（統(tǒng)考版）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)15 選考系列（含解析）（文）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、專題限時集訓(xùn)(十五)　選考系列 1．[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程](2019·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0. (1)求C和l的直角坐標方程； (2)求C上的點到l距離的最小值． [解]　(1)因為－1＜≤1，且x2＋＝＋＝1，所以C的直角坐標方程為x2＋＝1(x≠－1)． l的直角坐標方程為2x＋y＋11＝0. (2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，－π＜α＜π)． C上的點到l的距離為 ＝. 當α＝－時，4cos＋11

2、取得最小值7，故C上的點到l距離的最小值為. [選修4－5：不等式選講](2020·全國卷Ⅲ)設(shè)a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1. (1)證明：ab＋bc＋ca<0； (2)用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，證明：max{a，b，c}≥. [證明]　(1)由題設(shè)可知，a，b，c均不為零，所以 ab＋bc＋ca＝[(a＋b＋c)2－(a2＋b2＋c2)] ＝－(a2＋b2＋c2) ＜0. (2)不妨設(shè)max{a，b，c}＝a，因為abc＝1，a＝－(b＋c)， 所以a＞0，b＜0，c＜0. 由bc≤，可得abc≤，故a≥， 所以max{a，b，c}≥.

3、 2．[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程] (2019·全國卷Ⅱ)在極坐標系中，O為極點，點M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲線C：ρ＝4sin θ上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P. (1)當θ0＝時，求ρ0及l(fā)的極坐標方程； (2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程． [解]　(1)因為M(ρ0，θ0)在曲線C上，當θ0＝時， ρ0＝4sin ＝2. 由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2. 設(shè)Q(ρ，θ)為l上除P外的任意一點． 在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2. 經(jīng)檢驗，點P在曲線ρcos＝2上． 所以，l的極坐標方程為ρcos

4、＝2. (2)設(shè)P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因為P在線段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范圍是. 所以，P點軌跡的極坐標方程為ρ＝4cos θ，θ∈. [選修4－5：不等式選講](2019·全國卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)． (1)當a＝1時，求不等式f(x)＜0的解集； (2)若x∈(－∞，1)時，f(x)＜0，求a的取值范圍． [解]　(1)當a＝1時，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)． 當x＜1時，f(x)＝－2(x－1)2＜0；當x≥1時，f(x)≥0. 所以，

5、不等式f(x)＜0的解集為(－∞，1)． (2)因為f(a)＝0，所以a≥1. 當a≥1，x∈(－∞，1)時，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)＜0. 所以，a的取值范圍是[1，＋∞)． 3．[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程] (2019·全國卷Ⅲ)如圖，在極坐標系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圓的圓心分別是(1,0)，，(1，π)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧. (1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標方程； (2)曲線M由M1，M2，M3構(gòu)成，若點P在M上，且|OP|＝，求P的極坐標． [解]　(1)由題設(shè)

6、可得，弧，，所在圓的極坐標方程分別為ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M1的極坐標方程為ρ＝2cos θ，M2的極坐標方程為ρ＝2sin θ，M3的極坐標方程為ρ＝－2cos θ. (2)設(shè)P(ρ，θ)，由題設(shè)及(1)知： 若0≤θ≤，則2cos θ＝，解得θ＝； 若≤θ≤，則2sin θ＝，解得θ＝或θ＝； 若≤θ≤π，則－2cos θ＝，解得θ＝. 綜上，P的極坐標為或或或. [選修4－5：不等式選講](2019·全國卷Ⅲ)設(shè)x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1. (1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值； (2)若(x－2)2＋(y－

7、1)2＋(z－a)2≥成立，證明：a≤－3或a≥－1. [解]　(1)由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)] ≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]， 故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，當且僅當x＝，y＝－，z＝－時等號成立． 所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值為. (2)證明：因為[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2 ＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(

8、z－a)(x－2)] ≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]， 故由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，當且僅當x＝，y＝，z＝時等號成立． 因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值為. 由題設(shè)知≥，解得a≤－3或a≥－1. 1．[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程](2020·福清模擬)已知曲線C1：x2＋(y－2)2＝4在伸縮變換 下得到曲線C2，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)把C1化為極坐標方程并求曲線C2的極坐標方程； (2)射線θ＝α(ρ>0,0<α<π)與C1，C2交點為A，B，|AB|＝2，求α. [解]　

9、(1)曲線C1：x2＋(y－2)2＝4， 轉(zhuǎn)換為極坐標方程為：ρ＝4sin θ. 伸縮變換 轉(zhuǎn)換為： 代入曲線C1：x2＋(y－2)2＝4， 得到極坐標方程為ρ＝8sin θ. (2)把θ＝α代入ρ＝4sin θ，即ρ＝4sin α， 轉(zhuǎn)換為A(4sin α，α)， 同理B(8sin α，α)， 由于0<α<π， 所以|AB|＝|8sin α－4sin α|＝4sin α＝2， 解得sin α＝，故α＝或. [選修4－5：不等式選講](2020·安陽一模)已知a，b，c∈R＋，?x∈R，不等式|x－1|－|x－2|≤a＋b＋c恒成立． (1)求證：a2＋b2＋c2≥；

10、 (2)求證：＋＋≥. [解]　(1)∵|x－1|－|x－2|≤|x－1－x＋2|＝1，∴a＋b＋c≥1. ∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， ∴2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ac， ∴3a2＋3b2＋3c2≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac ＝(a＋b＋c)2≥1， ∴a2＋b2＋c2≥. (2)∵a2＋b2≥2ab,2≥a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2， 即a2＋b2≥， 兩邊開平方得≥|a＋b|＝(a＋b)． 同理可得≥(b＋c)，≥(c＋a)． 三式相加，得 ＋＋≥(a＋b＋c)≥. 2．[選修4－4：坐標系與

11、參數(shù)方程](2020·汨羅一模)在平面直角坐標系xOy中，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρsin2θ－4cos θ＝0. (1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程； (2)若直線l經(jīng)過曲線C的焦點F且與曲線C相交于A，B兩點，設(shè)線段AB的中點為Q，求的值． [解]　(1)∵直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，∴直線l的普通方程為y＝tan α·x＋1 ， 由ρsin2θ－4cos θ＝0，得ρ2sin2θ－4ρcos θ＝0，即y2－4x＝0， ∴曲線C的直角坐標方程為y2＝4x. (2)

12、∵直線l經(jīng)過曲線C的焦點F， ∴tan α＝－1，直線l的傾斜角α＝. ∴直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)) 代入y2＝4x，得t2＋4t－8＝0, 設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)為t1，t2. ∵Q為線段AB的中點， ∴點Q對應(yīng)的參數(shù)值為＝－2. 又點F，則＝＝2. 　[選修4－5：不等式選講](2020·石家莊二中模擬)已知兩個正數(shù)a，b滿足a＋2b＝2. (1)求a2＋b2的最小值； (2)若不等式＋＋1≥3a＋4b－2ab對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　(1)兩個正數(shù)a，b滿足a＋2b＝2，可得a＝2－2b， a2＋b2＝(2－2b)2＋b2＝5b

13、2－8b＋4＝5＋， 由a>0，b>0，可得2－2b>0，即有00，即0

14、實數(shù)a的取值范圍是(0,1]． 3．[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程](2020·西安模擬)在平面直角坐標系xOy中，l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2＝. (1)求l的普通方程和曲線C的直角坐標方程； (2)求曲線C上的點到l距離的最大值及該點坐標． [解]　(1)由 (t為參數(shù))，得x≠1. 消去參數(shù)t，得l的普通方程為x－2y＋1＝0(x≠1)． 將ρ2＝去分母得3ρ2＋ρ2sin2θ＝12， 將y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2代入，得＋＝1， 所以曲線C的直角坐標方程為＋＝1. (2)由(1)可設(shè)

15、曲線C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))， 則曲線C上的點到l的距離 d＝＝， 當cos＝1，即α＝－＋2kπ，k∈Z時， dmax＝＝， 此時， (k∈Z)． 所以曲線C上的點到直線l距離的最大值為，該點坐標為. 　[選修4－5：不等式選講](2020·長郡中學(xué)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－1|. (1)若函數(shù)F(x)＝f(x)＋ax有最小值，求a的取值范圍； (2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤|2x＋1|－|x＋m|的解集為A，且?A，求實數(shù)m的取值范圍． [解]　(1)F(x)＝f(x)＋ax＝ 使F(x)有最小值的充要條件為 即a∈[－2,2]． (2)由題意知：|2x－1|≤|2x＋1|－|x＋m|在上恒成立，即|x＋m|≤2x＋1－(2x－1)． 即|x＋m|≤2在x∈上恒成立，則－2≤x＋m≤2. 故(－x－2)max≤m≤(－x＋2)min，解得－≤m≤0. 故實數(shù)m的取值范圍為.