（統(tǒng)考版）高考數學二輪復習 專題限時集訓2 排列、組合與二項式定理 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 概率、隨機變量及其分布列（含解析）（理）-人教版高三數學試題

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1、專題限時集訓(二)　排列、組合與二項式定理 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例　概率、隨機變量及其分布列 1．(2019·全國卷Ⅲ)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著．某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的估計值為(　　) A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 C　[由題意得，閱讀過《西游記》的學生人數為90－80＋60＝7

2、0，則其與該校學生人數之比為70÷100＝0.7.故選C．] 2．(2016·全國卷Ⅱ)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為(　　) A．24 B．18 C．12 D．9 B　[由題意可知E→F有C種走法，F→G有C種走法，由乘法計數原理知，共C·C＝18種走法，故選B．] 3．(2017·全國卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有(　　) A．12種 B．18種 C．24種 D．36種 D　[由題意可得，一人完成兩項工作，其余

3、兩人每人完成一項工作，據此可得，只要把工作分成三份：有C種方法，然后進行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有C×A＝36種．故選D．] 4．(2020·全國卷Ⅲ)在一組樣本數據中，1,2,3,4出現的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且pi＝1，則下面四種情形中，對應樣本的標準差最大的一組是(　　) A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1 C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2 B　[對于A：E(X)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，所以D(X)＝(1－2.5)

4、2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65；同理，對于B：E(X)＝2.5，D(X)＝1.85；對于C：E(X)＝2.5，D(X)＝1.05；對于D：E(X)＝2.5，D(X)＝1.45.故選B．] 5．(2017·全國卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱．在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是(　　) A． B． C． D． B　[設正方形邊長為a，則圓的半徑為，正方形的面積為a2，圓的面積為.由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相

5、等，即各占圓面積的一半．由幾何概型概率的計算公式得，此點取自黑色部分的概率是＝，故選B．] 6．(2019·全國卷Ⅱ)演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數字特征是(　　) A．中位數 B．平均數 C．方差 D．極差 A　[中位數是將9個數據從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數據，因而去掉1個最高分和1個最低分，不變的是中位數，平均數、方差、極差均受影響．故選A．] 7．(2018·全國卷Ⅰ)某地區(qū)經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現

6、翻番．為更好地了解該地區(qū)農村的經濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖： 建設前經濟收入構成比例　建設后經濟收入構成比例 則下面結論中不正確的是(　　) A．新農村建設后，種植收入減少 B．新農村建設后，其他收入增加了一倍以上 C．新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍 D．新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半 A　[設新農村建設前的收入為M，而新農村建設后的收入為2M，則新農村建設前種植收入為0.6M，而新農村建設后的種植收入為0.74M，所以種植收入增加了，所以A項不正確；新農村建設前其他收入為0.04M，新農村

7、建設后其他收入為0.1M，故增加了一倍以上，所以B項正確；新農村建設前，養(yǎng)殖收入為0.3M，新農村建設后為0.6M，所以增加了一倍，所以C項正確；新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和占經濟收入的30%＋28%＝58%＞50%，所以超過了經濟收入的一半，所以D正確．故選A．] 8．(2018·全國卷Ⅱ)我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30＝7＋23.在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是(　　) A． B． C． D． C　[不超過30的素數有2,3,5,7,11,13

8、,17,19,23,29，共10個，從中隨機選取兩個不同的數有C種不同的取法，這10個數中兩個不同的數的和等于30的有3對，所以所求概率P＝＝，故選C．] 9．(2019·全國卷Ⅰ)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“－－”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是(　　) A． B． C． D． A　[由6個爻組成的重卦種數為26＝64，在所有重卦中隨機取一重卦，該重卦恰有3個陽爻的種數為C＝20.根據古典概型的概率計算公式得，所求概率P＝＝.故選A．] 10．(2015·全

9、國卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數為(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 C　[(x2＋x＋y)5的展開式的通項為Tr＋1＝C(x2＋x)5－ryr， 令r＝2，則(x2＋x)3的通項為C(x2)3－kxk＝Cx6－k， 令6－k＝5，則k＝1，∴(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數為CC＝30.故選C．] 11．(2018·全國卷Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立．設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，則p＝(　　) A．0.7 B．0.6 C．0

10、.4 D．0.3 B　[由題意知，該群體的10位成員使用移動支付的人數X概率分布符合二項分布，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4)＜P(X＝6)，得Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4，即(1－p)2＜p2，所以p＞0.5，所以p＝0.6.] 12．(2019·全國卷Ⅱ)我國高鐵發(fā)展迅速，技術先進．經統(tǒng)計，在經停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為________． 0.98　[由題意得，經停該高鐵站的列車正點數約為

11、10×0.97＋20×0.98＋10×0.99＝39.2，其中高鐵個數為10＋20＋10＝40，所以該站所有高鐵平均正點率約為＝0.98.] 13．(2018·全國卷Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種．(用數字填寫答案) 16　[根據題意，沒有女生入選有C＝4種選法，從6名學生中任意選3人有C＝20種選法，故至少有1位女生入選，則不同的選法共有20－4＝16種．] 14．(2015·全國卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數次冪項的系數之和為32，則a＝________. 3　[設f(x)＝(a＋x)(1＋x)

12、4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5， 令x＝1，則a0＋a1＋a2＋…＋a5＝f(1)＝16(a＋1)，① 令x＝－1，則a0－a1＋a2－…－a5＝f(－1)＝0.② ①－②得，2(a1＋a3＋a5)＝16(a＋1)， 所以2×32＝16(a＋1)，所以a＝3.] 15．(2019·全國卷Ⅰ)甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結束)．根據前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是________． 0.18　[前四場

13、中有一場客場輸，第五場贏時，甲隊以4∶1獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2＝0.108，前四場中有一場主場輸，第五場贏時，甲隊以4∶1獲勝的概率是0.4×0.62×0.52×2＝0.072，綜上所述，甲隊以4∶1獲勝的概率是P＝0.108＋0.072＝0.18.] 1．(2020·廣州模擬)如果數據x1，x2，…，xn的平均數為，方差為82，則5x1＋2,5x2＋2，…，5xn＋2的平均數和方差分別為(　　) A．，82 B．5＋2,82 C．5＋2,25×82 D．，25×82 C　[∵數據x1，x2，…，xn的平均數為，方差為82，∴5x1＋2,5x2＋2，…，5xn＋2

14、的平均數為：5＋2,5x1＋2,5x2＋2，…，5xn＋2的方差為25×82.故選C．] 2. (2020·銀川模擬)為了調查不同年齡段女性的平均收入情況，研究人員利用分層抽樣的方法隨機調查了A地[20,65]歲的n名女性，其中A地各年齡段的女性比例如圖所示．若年齡在[20,50)歲的女性被抽取了40人，則年齡在[35,65]歲的女性被抽取的人數為(　　) A．50 B．10 C．25 D．40 C　[由題意，設抽到的年齡在[35,65]歲的女性人數為x， 則＝＝，解得x＝25，故選C．] 3．(2020·保定一模)恩格爾系數是食品支出總額占個人消費支出總額的比重．據某機構預測

15、，n(n≥10)個城市職工購買食品的人均支出y(千元)與人均月消費支出x(千元)具有線性相關關系，且回歸方程為y＝0.4x＋1.2，若其中某城市職工的人均月消費支出為5千元，則該城市職工的月恩格爾系數約為(　　) A．60% B．64% C．58% D．55% B　[把x＝5代入回歸方程y＝0.4x＋1.2中，得y＝0.4×5＋1.2＝3.2，則該城市職工的月恩格爾系數約為＝0.64＝64%，故選B．] 4．(2020·邯鄲模擬)為了調查高一學生在分班選科時是否選擇物理科目與性別的關系，隨機調查100名高一學生，得到2×2列聯(lián)表如表： 選擇“物理” 選擇“歷史” 總計 男生

16、 35 20 55 女生 15 30 45 總計 50 50 100 附：K2＝ P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 由此得出的正確結論是(　　) A．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為“選擇物理與性別有關” B．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為“選擇物理與性別無關” C．有99.9%的把握認為“選擇物理與性別有關” D．有99.9%的把握認為“選擇物理與性別無關” A　[由題意可知， K2＝≈9.091＞6.635， 所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認

17、為“選擇物理與性別有關”，或有99%的把握認為“選擇物理與性別有關”．故選A．] 5．(2020·洛陽模擬)在邊長為4的正方形的邊上隨機取一點，則該點到正方形中心的距離小于的概率是(　　) A． B． C． D． D　[如圖，作OC⊥AB于C，OD＝，則 CD＝ ＝＝1. 故該點到正方形中心的距離小于的概率是：＝，故選D．] 6．(2020·昆明模擬)已知(2x－1)(x＋a)3展開式中各項系數之和為27，則其展開式中x2項的系數為(　　) A．24 B．18 C．12 D．4 B　[由已知令x＝1可得，(2－1)(1＋a)3＝27，則a＝2. ∴(2x－1)(a＋x)

18、3＝(2x－1)(2＋x)3. ∴展開式中含x2的項的系數是2×C22－2×C＝18， 故選B．] 7．(2020·齊齊哈爾一模)已知一組數據的莖葉圖如圖所示．下列說法錯誤的是(　　) A．該組數據的極差為12 B．該組數據的中位數為21 C．該組數據的平均數為21 D．該組數據的方差為11 D　[由題意，極差為26－14＝12，中位數為21， 平均數為(14＋18＋20＋20＋21＋22＋23＋25＋26)＝21， 方差為[(14－21)2＋(18－21)2＋…＋(26－21)2]＝，D錯誤，故選D．] 8．(2020·石家莊模擬)雷達圖(RadarChart)，又

19、可稱為戴布拉圖、蜘蛛網圖(SpiderChart)，原先是財務分析報表的一種，現可用于對研究對象的多維分析．圖為甲、乙兩人在五個方面的評價值的雷達圖，則下列說法錯誤的是(　　) A．甲、乙兩人在次要能力方面的表現基本相同 B．甲在溝通、服務、銷售三個方面的表現優(yōu)于乙 C．在培訓與銷售兩個方面上，甲的綜合表現優(yōu)于乙 D．甲在這五個方面的綜合表現優(yōu)于乙 C　[由雷達圖可知，乙在培訓方面的數據大于甲，乙在銷售方面的數據小于甲，顯然C選項的分析錯誤．故選C．] 9．(2020·宜春模擬)6件產品中有4件合格品，2件次品．為找出2件次品，每次任取一個檢驗，檢驗后不放回，則恰好在第四次檢驗

20、后找出所有次品的概率為(　　) A． B． C． D． C　[題目包含兩種情況： 第一種是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，p1＝＝； 第二種情況是前面四次都是正品，則剩余的兩件是次品，p2＝＝，故p＝p1＋p2＝.故選C．] 10．(2020·臨沂模擬)下列說法中正確的是(　　) A．先把高三年級的2 000名學生編號：1到2 000，再從編號為1到50的50名學生中隨機抽取1名學生，其編號為m，然后抽取編號為m＋50，m＋100，m＋150…的學生，這樣的抽樣方法是分層抽樣法 B．線性回歸直線＝x＋不一定過樣本中心點(，) C．若兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系

21、數r的值越接近于1 D．設隨機變量X服從正態(tài)分布N(10,0.01)，則P(X＞10)＝ D　[A錯誤，這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣法； B錯誤，線性回歸直線＝x＋一定過樣本中心點(，)；C錯誤，若兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數r的絕對值越接近于1，故C錯誤； D顯然正確．故選D．] 11．(2020·碑林區(qū)校級模擬)虛擬現實(VR)技術被認為是經濟發(fā)展的新增長點，某地區(qū)引進VR技術后，VR市場收入(包含軟件收入和硬件收入)逐年翻一番．據統(tǒng)計該地區(qū)VR市場收入情況如圖所示，則下列說法錯誤的是(　　) A．該地區(qū)2019年的VR市場總收入是2017年的4倍 B．該地區(qū)201

22、9年的VR硬件收入比2017年和2018年的硬件收入總和還要多 C．該地區(qū)2019年的VR軟件收入是2018年的軟件收入的3倍 D．該地區(qū)2019年的VR軟件收入是2017年的軟件收入的6倍 D　[設2017年VR市場總收入為1，該地區(qū)2019年的VR市場總收入為4，是2017年的4倍，故A正確； 2017年和2018年的硬件收入總和為1×0.9＋2×0.8＝2.5＜4×0.7＝2.8，故B正確；2019年的VR軟件收入1.2是2018年的軟件收入0.4的3倍，故C正確； 2019年的VR軟件收入是2017年的軟件收入的12倍，故D錯誤．故選D．] 12．(2020·福州模擬)小王因上

23、班繁忙，來不及做午飯，所以叫了外賣．假設小王和外賣小哥都在12：00～12：10之間隨機到達小王所居住的樓下，則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是(　　) A． B． C． D． D　[設小王和外賣小哥分別到達小王樓下的時間為12點x分，12點y分， 則其區(qū)域是以10為邊長的正方形，面積10×10＝100， 小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘，即0≤y－x≤5，其表示區(qū)域為如圖所示陰影部分． 其面積為(100－5×5)＝， 故所求概率P＝＝，故選D． ] 13．(2020·和平區(qū)模擬)甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為

24、.則甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為(　　) A． B． C． D． A　[甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為. 甲恰好比乙多擊中目標2次包含兩種情況： ①甲擊中2次，乙擊中0次；②甲擊中3次，乙擊中1次． 則甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為： P＝CC＋CC＝.故選A．] 14．(2020·長沙模擬)某校組織由5名學生參加的演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在“學生甲和乙都不是第一個出場，甲不是最后一個出場”的前提下，學生丙第一個出場的概率為(　　) A． B． C． D． A　[在“學生甲和乙都不是第一個出場，甲不是最后一個出場”

25、的前提下，基本事件總數n＝CCA＝54，學生丙第一個出場包含的基本事件個數m＝CA＝18，∴學生丙第一個出場的概率為p＝＝＝.故選A．] 15．(2020·南充模擬)我省5名醫(yī)學專家馳援湖北武漢抗擊新冠肺炎疫情，現把專家全部分配到A，B，C三個集中醫(yī)療點，每個醫(yī)療點至少要分配1人，其中甲專家不去A醫(yī)療點，則不同分配種數為(　　) A．116 B．100 C．124 D．90 B　[根據題意，分2步進行分析： ①將5名醫(yī)學專家分為3組， 若分為2、2、1的三組，有＝15種分組方法， 若分為3、1、1的三組，有C＝10種分組方法， 則有15＋10＝25種分組方法； ②將分好的三組

26、分派到三個醫(yī)療點，甲專家所在組不去A醫(yī)療點，有2種情況，再將剩下的2組分派到其余2個醫(yī)療點，有2種情況， 則3個組的分派方法有2×2＝4種情況， 則有25×4＝100種分配方法．故選B．] 16.(2020·江門模擬)我國古代認為構成宇宙萬物的基本要素是金、木、土、水、火這五種物質，稱為“五行”，得到圖中外圈順時針方向相鄰的后一物生前一物，內圈五角星線路的后一物克前一物的相生相克理論．依此理論，每次隨機任取兩行，重復取10次，若取出的兩行為“生”的次數記為X，則E(X)與D(X)的值分別為(　　) A．1， B．3， C．5， D．7， C　[設從五行中隨機任取兩行為“生”的事

27、件為A，則P(A)＝＝， 依題意，隨機變量X服從二項分布，有 X～B(10,0.5)，故E(X)＝5，D(X)＝2.5，故選C．] 17．(2020·廣東實驗中學模擬)某公司針對新購買的50 000個手機配件的重量隨機抽出1 000臺進行檢測，如圖是根據抽樣檢測后的重量(單位：克)數據繪制的頻率分布直方圖，其中配件重量的范圍是[96,106]，樣本數據分組為[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．用樣本估計總體，則下列說法錯誤的是(　　) A．這批配件重量的平均數是101.30 (精確到0.01) B．這批配件重量的中位數是在

28、[100,101]之間 C．a＝0.125 D．這批配件重量在[96,100)范圍的有15 000 個 B　[由已知圖可知：(0.05＋0.075＋0.1＋a＋0.15)×2＝1，解得a＝0.125，故C正確； 故估計手機配件的重量的平均數為97×0.1＋99×0.2＋101×0.3＋103×0.25＋105×0.15＝101.30(克)，故A正確； 設中位數為x，則0.1＋0.2＋(x－100)×0.15＝0.5，x＝101.33，故B錯誤； 這批配件重量在[96,100)范圍的有50 000×0.15×2＝15 000 個，故D正確．故選B．] 18．(2020·寧波模擬)已

29、知隨機變量的分布列如下： ξ 0 1 2 P b－a b a 則(　　) A．E(ξ)有最小值 B．E(ξ)有最大值 C．D(ξ)有最小值0 D．D(ξ)有最大值 D　[由隨機變量ξ的分布列的性質得： b－a＋b＋a＝1,2b＝1，b＝0.5,0＜a＜0.5， ∴E(ξ)＝0×(b－a)＋b＋2a＝0.5＋2a,0＜a＜0.5， 故無最大值也無最小值， D(ξ)＝(－2a－0.5)2(0.5－a)＋(0.5－2a)2×0.5＋(1.5－2a)2a＝－4a2＋2a＋＝－4＋， 當a＝時，D(ξ)取得最大值，故選D．] 19．(2020·麒麟區(qū)二模)已知變量x與

30、變量y的取值如表所示，且2.5＜m＜n＜6.5，則由該數據算得的線性回歸方程可能是(　　) x 2 3 4 5 y 2.5 m n 6.5 A．＝0.8x＋2.3 B．＝2x＋0.4 C．＝－1.5x＋8 D．＝－1.6x＋10 A　[由表格中的數據可知，兩個變量是正相關關系，所以排除C、D選項． ＝＝3.5， ＝＝∈(3.5,5.5)， 把＝3.5分別代入A、B選項， 對于A，有＝0.8×3.5＋2.3＝5.1∈(3.5,5.5)，符合題意；對于B，有＝2×3.5＋0.4＝7.4?(3.5,5.5)，不符合題意．故選A．] 20．(2020·濟陽模擬)已知

31、樣本x1，x2，…，xn的平均數為x；樣本y1，y2，…，ym的平均數為y(x≠y)，若樣本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均數z＝ax＋(1－a)y，其中0

32、3(x＋1)3＋a4(x＋1)4＋a5(x＋1)5， 則a4＝－C·24＝－80.] 22. (2020·衡陽一模)我國古代有著輝煌的數學研究成果，《周髀算經》《九章算術》《海島算經》《孫子算經》《緝古算經》等10部專著是了解我國古代數學的重要文獻．這10部專著中有5部產生于魏晉南北朝時期．某中學擬從這10部專著中選擇2部作為“數學文化”課外閱讀教材，則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期的專著的概率為________． 　[設所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期的專著為事件A， 則 P()＝＝， ∴所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期的專著的概率為： P(A)＝1－P

33、()＝1－＝.] 23. (2020·秦皇島模擬)某校高三年級學生一次數學診斷考試成績(單位：分)X服從正態(tài)分布N(110,102)，從中抽取一個同學的數學成績ξ，記“該同學的成績90<ξ≤110”為事件A，記“該同學的成績80<ξ≤100”為事件B，則在A事件發(fā)生的條件下B事件發(fā)生的概率P(B|A)≈________.(結果用小數表示，精確到0.01) 附：X服從正態(tài)分布，則P(μ－σ