（課標通用版）高考數學大一輪復習 第九章 平面解析幾何 第10講 定值、定點、探索性問題檢測 文-人教版高三全冊數學試題

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1、第10講 定值、定點、探索性問題 [基礎題組練] 1．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F2作x軸的垂線與雙曲線交于B，C兩點，且∠BF1C＝60°，則該雙曲線的離心率為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D．2 解析：選C.不妨設點B在x軸的上方，則點B的坐標為，由于∠BF1C＝60°，則＝tan 30°＝，得e2－2e－＝0， 即(e＋1)(e－)＝0， 得e＝.故選C. 2．橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F2，弦AB過點F1.若△ABF2的內切圓周長為π，A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則|y1－

2、y2|的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選D.由題意知，c＝＝＝3，所以橢圓的焦點為F1(－3，0)，F2(3，0)．設△ABF2的內切圓半徑為r.因為△ABF2的內切圓周長為π，所以r＝.根據橢圓的定義，有|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝20，所以S△ABF2＝(|AB|＋|AF2|＋|BF2|)×r＝×4a×r＝5＝×2c×|y1－y2|＝3|y1－y2|，所以|y1－y2|＝.故選D. 3．(2019·安徽合肥模擬)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，過橢圓上一點M作直線MA，MB分別交橢圓于

3、A，B兩點，且斜率分別為k1，k2，若點A，B關于原點對稱，則k1·k2的值為________． 解析：由e2＝1－＝，得＝.設M(x，y)，A(m，n)，則B(－m，－n)，k1·k2＝·＝，① 把y2＝b2，n2＝b2代入①式并化簡，可得k1·k2＝－＝－. 答案：－ 4．已知圓M：x2＋(y－2)2＝1，直線l：y＝－1，動圓P與圓M相外切，且與直線l相切．設動圓圓心P的軌跡為E. (1)求E的方程； (2)若點A，B是E上的兩個動點，O為坐標原點，且·＝－16，求證：直線AB恒過定點． 解：(1)設P(x，y)，則＝(y＋1)＋1?x2＝8y. 所以E的方程為x2＝8y

4、. (2)證明：易知直線AB的斜率存在，設直線AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 將直線AB的方程代入x2＝8y中， 得x2－8kx－8b＝0， 所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b. ·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b2＝－16?b＝4， 所以直線AB恒過定點(0，4)． 5．(2019·黑龍江齊齊哈爾八中模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，過右焦點且垂直于x軸的直線l1與橢圓C交于A，B兩點，且|AB|＝，直線l2：y＝k(x－m)與橢圓C交于M，N兩點． (1)求橢圓C的標準方程； (2)已知點Q，若·是一個與k無關的常

5、數，求實數m的值． 解：(1)聯立方程，得解得y＝±，故＝. 又e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a＝，b＝1，c＝1， 故橢圓C的標準方程為＋y2＝1. (2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯立方程，得消元得(1＋2k2)x2－4mk2x＋2k2m2－2＝0， 所以Δ＝16m2k4－4(1＋2k2)(2k2m2－2)＝8(2k2－m2k2＋1)， x1＋x2＝，x1x2＝， ·＝＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋＋k2(x1－m)(x2－m)＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋＋k2m2＝＋， 又·是一個與k無關的常數，所以3m2－5m－2＝－4，即3m2－5m＋

6、2＝0， 解得m1＝1，m2＝， 因為m>，所以m＝1. 當m＝1時，Δ>0，直線l2與橢圓C交于兩點，滿足題意． [綜合題組練] 1．(2019·湖北省五校聯考)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：＋y2＝1，點P(x1，y1)，Q(x2，y2)是橢圓C上兩個動點，直線OP，OQ的斜率分別為k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0. (1)求證：k1·k2＝－； (2)試探求△OPQ的面積S是否為定值，并說明理由． 解：(1)證明：因為k1，k2存在，所以x1x2≠0， 因為m·n＝0，所以＋y1y2＝0， 所以k1·k2＝＝－. (2)①當直線PQ的斜率不存在，即x1＝

7、x2，y1＝－y2時， 由＝－，得－y＝0， 又由P(x1，y1)在橢圓上，得＋y＝1， 所以|x1|＝，|y1|＝， 所以S△POQ＝|x1|·|y1－y2|＝1. ②當直線PQ的斜率存在時，設直線PQ的方程為y＝kx＋b(b≠0)． 由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0， Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(4k2＋1－b2)>0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 因為＋y1y2＝0， 所以＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1，滿足Δ>0. 所以S△POQ＝·|PQ|＝|b|＝2|b|·＝1. 所以△POQ的面積S

8、為定值． 2．(綜合型)(2019·西安市八校聯考)已知直線l：x＝my＋1過橢圓C：＋＝1的右焦點F，拋物線x2＝4y的焦點為橢圓C的上頂點，且l交橢圓C于A，B兩點，點A，F，B在直線x＝4上的射影依次為D，K，E. (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l交y軸于點M，且＝λ1，＝λ2，當m變化時，證明：λ1＋λ2為定值； (3)當m變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由． 解：(1)因為l：x＝my＋1過橢圓C的右焦點F， 所以右焦點F(1，0)，c＝1，即c2＝1. 因為x2＝4y的焦點(0，)為橢圓C的上頂點， 所以b

9、＝， 即b2＝3，a2＝b2＋c2＝4， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)證明：由題意知m≠0，由得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝－，y1y2＝－. 因為＝λ1，＝λ2，M， 所以＝λ1(1－x1，－y1)，(x2，y2＋)＝ λ2(1－x2，－y2)， 所以λ1＝－1－，λ2＝－1－， 所以λ1＋λ2＝－2－＝－2－÷＝－. 綜上所述，當m變化時，λ1＋λ2為定值－. (3)是．理由如下：當m＝0時，直線l⊥x軸，則四邊形ABED 為矩形，易知AE與BD相交于點N，猜想當m變化時，直線AE與BD相交于定點N，證明如下： ＝＝， 易知E(4，y2)，則＝. 因為y2－(－y1)＝(y1＋y2)－my1y2＝－m＝0， 所以∥， 即A，N，E三點共線． 同理可得B，N，D三點共線． 則猜想成立，故當m變化時，直線AE與BD相交于定點N.