《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題4 突破點11 空間中的平行與垂直關(guān)系 理-人教高三數(shù)學(xué)試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題4 突破點11 空間中的平行與垂直關(guān)系 理-人教高三數(shù)學(xué)試題（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、突破點11 空間中的平行與垂直關(guān)系
提煉1
異面直線的性質(zhì)
(1)異面直線不具有傳遞性．注意不能把異面直線誤解為分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線或平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線．
(2)異面直線所成角的范圍是，所以空間中兩條直線垂直可能為異面垂直或相交垂直．
(3)求異面直線所成角的一般步驟為：①找出(或作出)適合題設(shè)的角——用平移法；②求——轉(zhuǎn)化為在三角形中求解；③結(jié)論——由②所求得的角或其補角即為所求.
提煉2
平面與平面平行的常用性質(zhì)
(1)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．
(2)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．
(3)如果兩個平面分別
2、平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行．
(4)兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面.
提煉3
證明線面位置關(guān)系的方法
(1)證明線線平行的方法：①三角形的中位線等平面幾何中的性質(zhì)；②線面平行的性質(zhì)定理；③面面平行的性質(zhì)定理；④線面垂直的性質(zhì)定理．
(2)證明線面平行的方法：①尋找線線平行，利用線面平行的判定定理；②尋找面面平行，利用面面平行的性質(zhì)．
(3)證明線面垂直的方法：①線面垂直的定義，需要說明直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直；②線面垂直的判定定理；③面面垂直的性質(zhì)定理．
(4)證明面面垂直的方法：①定義法，即證明兩個平面所成的二面角為直二面角；②面
3、面垂直的判定定理，即證明一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線．
回訪1 異面直線的性質(zhì)
1．(2016·全國乙卷)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為( )
A. B.
C. D.
A 設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.
∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.
∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面CB1D1
4、∩平面DCC1D1＝CD1，
同理可證CD1∥n.
因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角．
在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，
故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為.]
2．(2015·廣東高考)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是( )
A．l與l1，l2都不相交
B．l與l1，l2都相交
C．l至多與l1，l2中的一條相交
D．l至少與l1，l2中的一條相交
D 由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交．]
5、
回訪2 面面平行的性質(zhì)與線面位置關(guān)系的判斷
3．(2013·全國卷Ⅱ)已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α與β相交，且交線垂直于l
D．α與β相交，且交線平行于l
D 根據(jù)所給的已知條件作圖，如圖所示．
由圖可知α與β相交，且交線平行于l，故選D.]
4．(2016·全國甲卷)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m?α，那么m∥β.
④如果m∥n，
6、α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．
其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號)
②③④ 對于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故錯誤．
對于②，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正確．
對于③，因為α∥β，所以α，β沒有公共點．又m?α，所以m，β沒有公共點，由線面平行的定義可知m∥β，故正確．
對于④，因為m∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等．因為α∥β，所以n與α所成的角和n與β所成的角相等，所以m與α所成的角和n與β所成的角相等，故正確．]
熱點題型1 空間位置關(guān)系的判斷與證明
7、
題型分析：空間中平行與垂直關(guān)系的判斷與證明是高考常規(guī)的命題形式，此類題目綜合體現(xiàn)了相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理的考查，同時也考查了學(xué)生的空間想象能力及轉(zhuǎn)化與化歸的思想.
(1)(2016·蘭州三模)α，β是兩平面，AB，CD是兩條線段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于點B，CD⊥α于點D，若增加一個條件，就能得出BD⊥EF.現(xiàn)有下列條件：
①AC⊥β；②AC與α，β所成的角相等；③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；④AC∥EF.
其中能成為增加條件的序號是________．
【導(dǎo)學(xué)號：85952040】
①③ 若AC⊥β，且EF?β，則AC⊥EF，又AB⊥α，且EF?α，則AB⊥E
8、F，AB和AC是平面ACDB上的兩條相交直線，則EF⊥平面ACDB，則EF⊥BD，①可以成為增加的條件；AC與α，β所成的角相等，AC和EF不一定垂直，可以相交、平行，所以EF與平面ACDB不一定垂直，所以推不出EF與BD垂直，②不能成為增加的條件；由CD⊥α，EF?α，得EF⊥CD，所以EF與CD在β內(nèi)的射影垂直，又AC與CD在β內(nèi)的射影在同一直線上，所以EF⊥AC，CD和AC是平面ACDB上的兩條相交直線，則EF⊥平面ACDB，則EF⊥BD，③可以成為增加的條件；若AC∥EF，則AC∥α，則BD∥AC，所以BD∥EF，④不能成為增加的條件，故能成為增加條件的序號是①③.]
圖11-1
9、
(2)(2016·全國乙卷)如圖11-1，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA＝6，頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E，連接PE并延長交AB于點G.
①證明：G是AB的中點；
②在圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由)，并求四面體PDEF的體積．
解題指導(dǎo)] (2)①→→→
②→→→→→→→
解]?、僮C明：因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D，
所以AB⊥PD.
因為D在平面PAB內(nèi)的正投影為E，所以AB⊥DE.1分
因為PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.2分
又由已知可得，PA＝PB，所以G是AB的
10、中點.3分
②在平面PAB內(nèi)，過點E作PB的平行線交PA于點F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.4分
理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC.又PA∩PC＝P，因此EF⊥平面PAC，即點F為E在平面PAC內(nèi)的正投影．
連接CG，因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心．由①知，G是AB的中點，所以D在CG上，故CD＝CG.8分
由題設(shè)可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC.10分
由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2.
在等腰直角三角形
11、EFP中，可得EF＝PF＝2，11分
所以四面體PDEF的體積V＝××2×2×2＝.12分
在解答空間中線線、線面和面面的位置關(guān)系問題時，我們可以從線、面的概念、定理出發(fā)，學(xué)會找特例、反例和構(gòu)建幾何模型．判斷兩直線是異面直線是難點，我們可以依據(jù)定義來判定，也可以依據(jù)定理(過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線)判定．而反證法是證明兩直線異面的有效方法．
提醒：判斷直線和平面的位置關(guān)系中往往易忽視直線在平面內(nèi)，而面面位置關(guān)系中易忽視兩個平面平行．此類問題可以結(jié)合長方體中的線面關(guān)系找出假命題中的反例．
變式訓(xùn)練1] (1)(2016·石家莊二模)設(shè)m，n是兩
12、條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題：
①若m?α，n∥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，則m∥α，m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β.
其中真命題的個數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
B 若m?α，n∥α，則m，n可能平行或異面，①錯誤；若α∥β，β∥γ，則α∥γ，又m⊥α，則m⊥γ，②正確；若α∩β＝n，m∥n，則m∥α或m∥β或m?α或m?β，③錯誤；若α⊥γ，β⊥γ，則α，β可能平行或相交，④錯誤，則真命題個數(shù)為1，故選B.]
(2)(2016·全國丙卷)如圖11-2，四棱錐P-AB
13、CD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點．
圖11-2
①證明MN∥平面PAB；
②求四面體N-BCM的體積．
解]?、僮C明：由已知得AM＝AD＝2.
如圖，取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC中點知TN∥BC，
TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，2分
所以四邊形AMNT為平行四邊形，
于是MN∥AT.
因為AT?平面PAB，MN?平面PAB，
所以MN∥平面PAB.4分
②因為PA⊥平面ABCD，N為PC的中點，
所以N到平面ABCD的距離為PA.
如圖
14、，取BC的中點E，連接AE.
由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.6分
由AM∥BC得M到BC的距離為，
故S△BCM＝×4×＝2.8分
所以四面體N-BCM的體積VN-BCM＝×S△BCM×＝.12分
熱點題型2 平面圖形的翻折問題
題型分析：(1)解決翻折問題的關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況.
(2)找出其中變化的量和沒有變化的量，一般地翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.
(2016·全國甲卷)如圖11-3，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點H
15、.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
圖11-3
(1)證明：AC⊥HD′；
(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱錐D′-ABCFE的體積．
解] (1)證明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.1分
又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.2分
由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.3分
(2)由EF∥AC得＝＝.4分
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.
所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3.5分
于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，
故OD′⊥OH.6分
由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，
所以A
16、C⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.8分
又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以O(shè)D′⊥平面ABC.
又由＝得EF＝.10分
五邊形ABCFE的面積S＝×6×8－××3＝.11分
所以五棱錐D′-ABCFE的體積V＝××2＝.12分
翻折問題的注意事項
1．畫好兩圖：翻折之前的平面圖形與翻折之后形成的幾何體的直觀圖．
2．把握關(guān)系：即比較翻折前后的圖形，準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的線線關(guān)系，哪些平行與垂直的關(guān)系不變，哪些平行與垂直的關(guān)系發(fā)生變化，這是準(zhǔn)確把握幾何體結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行空間線面關(guān)系邏輯推理的基礎(chǔ)．
3．準(zhǔn)確定量：即根據(jù)平面圖形翻折的要求，把平面圖形中的相關(guān)數(shù)量轉(zhuǎn)化為空
17、間幾何體的數(shù)字特征，這是準(zhǔn)確進(jìn)行計算的基礎(chǔ)．
變式訓(xùn)練2] (2016·海淀二模)已知長方形ABCD中，AD＝，AB＝2，E為AB的中點．將△ADE沿DE折起到△PDE，得到四棱錐P-BCDE，如圖11-4所示．
圖11-4
(1)若點M為PC的中點，求證：BM∥平面PDE；
(2)當(dāng)平面PDE⊥平面BCDE時，求四棱錐P-BCDE的體積；
(3)求證：DE⊥PC.
解] (1)證明：取DP中點F，連接EF，F(xiàn)M.
因為在△PDC中，點F，M分別是所在邊的中點，
所以FM綊DC.1分
又EB綊DC，所以FM綊EB，2分
所以四邊形FEBM是平行四邊形，所以BM∥EF
18、.3分
又EF?平面PDE，BM?平面PDE.
所以BM∥平面PDE.4分
(2)因為平面PDE⊥平面BCDE，
在△PDE中，作PO⊥DE于點O，
因為平面PDE∩平面BCDE＝DE，所以PO⊥平面BCDE.6分
在△PDE中，計算可得PO＝，7分
所以V四棱錐P-BCDE＝Sh＝×(1＋2)××＝.8分
(3)證明：在矩形ABCD中，連接AC交DE于點I，
因為tan∠DEA＝，tan∠CAB＝，
所以∠DEA＋∠CAB＝，所以DE⊥AC，9分
所以在四棱錐P-BCDE中，PI⊥DE，CI⊥DE，10分
又PI∩CI＝I，所以DE⊥平面PIC.11分
因為PC?平面PIC，所以DE⊥PC.12分
高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題4 突破點11 空間中的平行與垂直關(guān)系 理-人教高三數(shù)學(xué)試題
