高三數學二輪復習 第2部分 必考補充專題 專題限時集訓20 專題6 突破點20 不等式與線性規(guī)劃 理-人教高三數學試題

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1、專題限時集訓(二十)　不等式與線性規(guī)劃 A組　高考題、模擬題重組練] 一、基本不等式 1．(2016·安慶二模)已知a＞0，b＞0，a＋b＝＋，則＋的最小值為(　　) A．4　　　　　　　 B．2 C．8 D．16 B　由a＋b＝＋，有ab＝1， 則＋≥2＝2.] 2．(2016·長沙一模)若實數a，b滿足＋＝，則ab的最小值為(　　) A. B．2 C．2 D．4 C　依題意知a＞0，b＞0，則＋≥2＝，當且僅當＝，即b＝2a時，“＝”成立，因為＋＝，所以≥，即ab≥2，所以ab的最小值為2，故選C.] 3．(2016·武漢一模)若2x＋4y＝4，則x＋2y的最

2、大值是________. 【導學號：85952077】 2　因為4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，當且僅當2x＝22y＝2，即x＝2y＝1時，x＋2y取得最大值2.] 4．(2016·江蘇高考)在銳角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，則tan Atan Btan C的最小值是________． 8　在銳角三角形ABC中，∵sin A＝2sin Bsin C， ∴sin(B＋C)＝2sin Bsin C， ∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，等號兩邊同除以cos Bcos

3、C，得tan B＋tan C＝2tan Btan C. ∴tan A＝tanπ－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝＝.① ∵A，B，C均為銳角， ∴tan Btan C－1>0，∴tan Btan C>1. 由①得tan Btan C＝. 又由tan Btan C>1得>1，∴tan A>2. ∴tan Atan Btan C＝ ＝ ＝(tan A－2)＋＋4≥2＋4＝8，當且僅當tan A－2＝，即tan A＝4時取得等號． 故tan Atan Btan C的最小值為8.] 二、線性規(guī)劃問題 5．(2016·山東高考)若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是(　　) A

4、．4 B．9 C．10 D．12 C　作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．x2＋y2表示平面區(qū)域內的點到原點距離的平方，由得A(3，－1)，由圖易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故選C.] 6．(2016·浙江高考)若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是(　　) A. B． C. D. B　根據約束條件作出可行域如圖陰影部分，當斜率為1的直線分別過A點和B點時滿足條件，聯(lián)立方程組求得A(1,2)，聯(lián)立方程組求得B(2,1)，可求得分別過A，B點且斜率為1的兩條直線方程為x－y＋1＝0和x－y－

5、1＝0，由兩平行線間的距離公式得距離為＝，故選B.] 7．(2016·北京高考)已知A(2,5)，B(4,1)．若點P(x，y)在線段AB上，則2x－y的最大值為(　　) A．－1　　 B．3 C．7　　 D．8 C　作出線段AB，如圖所示．作直線2x－y＝0并將其向下平移至直線過點B(4,1)時，2x－y取最大值為2×4－1＝7.] 8．(2016·全國丙卷)設x，y滿足約束條件則z＝2x＋3y－5的最小值為________． －10　畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．由題意可知，當直線y＝－x＋＋過點A(－1，－1)時，z取得最小值，即zmin＝2×(－1

6、)＋3×(－1)－5＝－10.] 9．(2016·全國乙卷)某高科技企業(yè)生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料．生產一件產品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時．生產一件產品A的利潤為2 100元，生產一件產品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為________元． 216 000　設生產A產品x件，B產品y件，則 目標函數z＝2 100x＋900y. 作出可行域為圖中的陰影部分(包括邊

7、界)內的整數點，圖中陰影四邊形的頂點坐標分別為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)． 當直線z＝2 100x＋900y經過點(60,100)時，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．] 10．(2015·全國卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件則的最大值為________． 3　畫出可行域如圖陰影所示，∵表示過點(x，y)與原點(0,0)的直線的斜率， ∴點(x，y)在點A處時最大． 由得 ∴A(1,3)． ∴的最大值為3.] B組　“12＋4”模擬題提速練] 一、選擇題 1．(2016·邯鄲二模)已知a＜b＜0，則

8、下列不等式成立的是(　　) 【導學號：85952078】 A．a2＜b2 B．＜1 C．a＜1－b D.＜ C　因為a＜b＜0，所以a2＞b2， ＞1，＞，a＋b＜1. 因此A，B，D不正確，C正確．] 2．(2016·長春一模)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集為，則f(ex)＞0的解集為(　　) A．{x|x＜－1或x＞－ln 3} B．{x|－1＜x＜－ln 3} C．{x|x＞－ln 3} D．{x|x＜－ln 3} D　f(x)＞0的解集為， 則由f(ex)＞0得－1＜ex＜， 解得x＜－ln 3，即f(ex)＞0的解集為{x|x＜－ln 3}．]

9、 3．(2016·武漢聯(lián)考)已知g(x)是R上的奇函數，當x＜0時，g(x)＝－ln(1－x)，函數f(x)＝若f(2－x2)＞f(x)，則實數x的取值范圍是(　　) A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(1,2) D．(－2,1) D　設x＞0，則－x＜0，所以g(－x)＝－ln(1＋x)，因為g(x)是R上的奇函數，所以g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，所以f(x)＝易知f(x)是R上的單調遞增函數，所以原不等式等價于2－x2＞x，解得－2＜x＜1.故選D.] 4．(2016·重慶一模)若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小

10、值是(　　) A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4 D　由log4(3a＋4b)＝log2，得3a＋4b＝ab，且a＞0，b＞0，∴a＝，由a＞0，得b＞3. ∴a＋b＝b＋＝b＋＝(b－3)＋＋7≥2＋7＝4＋7，即a＋b的最小值為7＋4.] 5．(2016·德陽模擬)已知P(x，y)為區(qū)域內的任意一點，當該區(qū)域的面積為4時，z＝2x－y的最大值是(　　) A．6 B．0 C．2 D．2 A　由作出可行域如圖， 易求得A(a，－a)，B(a，a)， 由題意知S△OAB＝·2a·a＝4，得a＝2. ∴A(2，－2)， 當y＝2x－z過A點時，z最大

11、，zmax＝2×2－(－2)＝6.故選A.] 6．(2016·大慶模擬)若x，y滿足約束條件則z＝3x＋5y的取值范圍是(　　) A．3，＋∞) B．－8,3] C．(－∞，9] D．－8,9] D　作出可行域，如圖所示的陰影部分，由z＝3x＋5y，得y＝－x＋z，z表示直線y＝－x＋z在y軸上的截距，截距越大，z越大， 由圖可知，當z＝3x＋5y經過點A時z最??；當z＝3x＋5y經過點B時z最大，由可得B(3,0)，此時zmax＝9，由可得A(－1，－1)，此時zmin＝－8， 所以z＝3x＋5y的取值范圍是－8,9]．] 7．(2016·貴陽模擬)若變量x，y滿足約束

12、條件則(x－2)2＋y2的最小值為(　　) A. B． C. D．5 D　作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖， 設z＝(x－2)2＋y2，則z的幾何意義為區(qū)域內的點到定點D(2,0)的距離的平方，由圖知C，D間的距離最小，此時z最?。? 由得即C(0,1)， 此時zmin＝(x－2)2＋y2＝4＋1＝5，故選D.] 8．(2016·石家莊模擬)已知x，y滿足約束條件若目標函數z＝y(tǒng)－mx(m＞0)的最大值為1，則m的值是(　　) 【導學號：85952079】 A．－ B．1 C．2 D．5 B　作出可行域，如圖所示的陰影部分． ∵m＞0，∴當z＝y(tǒng)－mx經過

13、點A時，z取最大值，由解得即A(1,2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故選B.] 9．(2016·江西師大附中模擬)若關于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形，則其表示的區(qū)域面積為(　　) A．1或 B．或 C．1或 D.或 D　可行域由三條直線x＝0，x＋y＝0，kx－y＋1＝0所圍成，因為x＝0與x＋y＝0的夾角為，所以x＝0與kx－y＋1＝0的夾角為或x＋y＝0與kx－y＋1＝0的夾角為.當x＝0與kx－y＋1＝0的夾角為時，可知k＝1，此時等腰三角形的直角邊長為，面積為；當x＋y＝0與kx－y＋1＝0的夾角為時，k＝0，此時等腰三角形的直角邊長為1，面積為，所以選D

14、.] 10．(2016·泰安模擬)設正實數x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當取得最小值時，x＋2y－z的最大值是(　　) A．0 B． C．2 D. C　＝＝－3＋≥2－3＝1，當且僅當＝，即x＝2y時等號成立． 此時z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2. ∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2(y－1)2＋2， ∴當y＝1，x＝2，z＝2時，x＋2y－z取最大值，最大值為2，故選C.] 11．(2016·武漢二模)設m＞1，x，y滿足約束條件且目標函數z＝x＋my的最大值為2，則m的取值為(　　) A．2 B．1＋ C．

15、3 D．2＋ B　因為m＞1，由約束條件作出可行域如圖， 直線y＝mx與直線x＋y＝1交于B，目標函數z＝x＋my對應的直線與直線y＝mx垂直，且在B處取得最大值， 由題意可知＝2， 又因為m＞1，解得m＝1＋.] 12．(2016·宿州一模)已知x，y滿足時，z＝＋(a≥b＞0)的最大值為2，則a＋b的最小值為(　　) A．4＋2 B．4－2 C．9 D．8 A　由約束條件作出可行域如圖， 聯(lián)立解得A(2,6)， 化目標函數z＝＋為y＝－x＋bz， 由圖可知，當直線y＝－x＋bz過點A時， 直線在y軸上的截距最大，z有最大值為＋＝2， 即＋＝1. 所

16、以a＋b＝(a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝4＋2. 當且僅當即a＝＋1，b＝3＋時取等號．] 二、填空題 13．(2016·全國甲卷)若x，y滿足約束條件則z＝x－2y的最小值為________． －5　不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示． 由z＝x－2y得y＝x－z. 平移直線y＝x，易知經過點A(3,4)時，z有最小值，最小值為z＝3－2×4＝－5.] 14．(2016·青島模擬)定義運算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，當x＞0，y＞0時，x?y＋(2y)?x的最小值為________. 【導學號：85952080】 　當x＞0，y＞0時，x?y＋(2y)?

17、x＝＋＝≥＝.所以所求的最小值為.] 15．(2016·張掖一模)設不等式組表示的平面區(qū)域為M，若直線l：y＝k(x＋2)上存在區(qū)域M內的點，則k的取值范圍是________． 　作出不等式組對應的平面區(qū)域，如圖所示． 直線y＝k(x＋2)過定點D(－2,0)， 由圖象可知當直線l經過點A時，直線斜率最大， 當經過點B時，直線斜率最小， 由解得 即A(1,3)，此時k＝＝＝1， 由解得 即B(1,1)，此時k＝＝， 故k的取值范圍是.] 16．(2016·廊坊一模)已知正數a，b，c滿足b＋c≥a，則＋的最小值為________． －　因為正數a，b，c滿足b＋c≥a， 所以＋≥＋＝＋－＝＋－≥－. 當且僅當＝時取等號．]