有限元分析基礎

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1、1、 有 限 元 分 析 基 礎2、 ANSYS應 用 2 內 容 結 構第 一 章 概 述第 六 章 空 間 問 題 的 有 限 單 元 法第 七 章 軸 對 稱 旋 轉 單 元第 五 章 等 參 元第 四 章 平 面 結 構 問 題 的 有 限 單 元 法第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法第 二 章 結 構 幾 何 構 造 分 析 3 1.1 有 限 單 元 法 的 概 念1.2 有 限 單 元 法 基 本 步 驟1.3 工 程 實 例第 一 章 概 述 4 1.1 有 限 單 元 法 的 概 念基 本 思 想 :借 助 于 數(shù) 學 和 力 學 知 識 ，

2、利 用 計 算 機技 術 而 解 決 工 程 技 術 問 題 。Finite Element MethodFEMFinite Element Analysis 第 一 章 概 述 5 第 一 章 概 述三 大 類 型 (按 其 推 導 方 法 分 ):(1) 直 接 剛 度 法 (簡 稱 直 接 法 ): 根 據(jù) 單 元 的 物 理 意 義 ， 建 立 有 關 場 變 量 表 示 的單 元 性 質 方 程 。 (2) 變 分 法 直 接 從 求 解 泛 函 的 極 值 問 題 入 手 ， 把 泛 函 的 極植 問 題 規(guī) 劃 成 線 性 代 數(shù) 方 程 組 ， 然 后 求 其 近 似 解 的一

3、 種 計 算 方 法 。 (3) 加 權 余 量 法 直 接 從 控 制 方 程 中 得 到 有 限 單 元 方 程 ， 是 一 種近 似 解 法 。 6 1.2 有 限 單 元 法 基 本 步 驟(1) 待 求 解 域 離 散 化(2) 選 擇 插 值 函 數(shù)(3) 形 成 單 元 性 質 的 矩 陣 方 程(4) 形 成 整 體 系 統(tǒng) 的 矩 陣 方 程(5) 約 束 處 理 ， 求 解 系 統(tǒng) 方 程(6) 其 它 參 數(shù) 計 算第 一 章 概 述 7圖 1-2 工 程 問 題 有 限 單 元 法 分 析 流 程 第 一 章 概 述 8 1.3 工 程 實 例 (a) 鏟 運 機 舉

4、升 工 況 測 試 (b) 鏟 運 機 工 作 裝 置 插 入 工 況 有 限 元 分 析圖 1-3 WJD-1.5型 電 動 鏟 運 機 第 一 章 概 述 9 (a) KOMATSU液 壓 挖 掘 機 (b) 某 液 壓 挖 掘 機 動 臂 限 元 分 析圖 1-4 液 壓 挖 掘 機 第 一 章 概 述 10 圖 1-5 駕 駛 室 受 側 向 力 應 力 云 圖 圖 1-6 接 觸 問 題 結 構 件 應 力 云 圖 第 一 章 概 述 11 圖 1-7 液 壓 管 路 速 度 場 分 布 云 圖 圖 1-8 磨 片 熱 應 力 云 圖 圖 1-9 支 架 自 由 振 動 云 圖 第

5、一 章 概 述 12 第 二 章 結 構 幾 何 構 造 分 析2.1 結 構 幾 何 構 造 的 必 要 性 2.2 結 構 計 算 基 本 知 識2.3 結 構 幾 何 構 造 分 析 的 自 由 度 與 約 束 13 2.1 結 構 幾 何 構 造 的 必 要 性 結 構 是 用 來 承 受 和 傳 遞 載 荷 的 。 如 果 不 計材 料 的 應 變 ， 在 其 受 到 任 意 載 荷 作 用 時 其 形 狀和 位 置 沒 有 發(fā) 生 剛 體 位 移 時 ， 稱 之 為 幾 何 不 變結 構 或 幾 何 穩(wěn) 定 結 構 ， 反 之 則 稱 為 幾 何 可 變 結構 或 幾 何 不 穩(wěn)

6、定 結 構 。 幾 何 可 變 結 構 不 能 承 受和 傳 遞 載 荷 。 對 結 構 進 行 幾 何 構 造 分 析 也 是 能夠 對 工 程 結 構 作 有 限 單 元 法 分 析 的 必 要 條 件 。 第 二 章 結 構 幾 何 構 造 分 析 14 (a) 結 構 本 身 可 變 (b) 缺 少 必 要 的 約 束 條 件 (c) 約 束 匯 交 于 一 點 圖 2-1 幾 何 可 變 結 構 第 二 章 結 構 幾 何 構 造 分 析 15 2.2 結 構 計 算 基 本 知 識2.2.1 結 構 計 算 簡 圖 實 際 結 構 總 是 很 復 雜 的 ， 完 全 按 照 結 構

7、 的 實 際 情 況 進 行 力學 分 析 是 不 可 能 的 ， 也 是 不 必 要 的 ， 因 此 在 對 實 際 結 構 進 行力 學 計 算 之 前 ， 必 須 將 其 作 合 理 的 簡 化 ， 使 之 成 為 既 反 映 實際 結 構 的 受 力 狀 態(tài) 與 特 點 ， 又 便 于 計 算 的 幾 何 圖 形 。 這 種 被抽 象 化 了 的 簡 單 的 理 想 圖 形 稱 之 為 結 構 的 計 算 簡 圖 ， 有 時 也稱 為 結 構 的 力 學 模 型 。 結 構 計 算 所 常 用 的 結 點 和 支 座 的 簡 化 形 式 : （ 1） 結 點 ： 鉸 結 點 ； 剛 結

8、 點 ； 混 合 結 點 。（ 2） 支 座 ： 活 動 鉸 支 座 ； 固 定 鉸 支 座 ； 固 定 支座 ； 定 向 支 座 第 二 章 結 構 幾 何 構 造 分 析 16 2.2.2 結 構 的 分 類 與 基 本 特 征 (1)按 結 構 在 空 間 的 位 置 分 結 構 可 分 為 平 面 結 構 和 空 間 結 構 兩 大 類(2) 按 結 構 元 件 的 幾 何 特 征 分 桿 系 結 構 ： 梁 、 拱 、 桁 架 、 剛 架 、 桁 構 結 構 等 。 板 殼 結 構 實 體 結 構 實 體 結 構 的 長 、 寬 、 高 三 個 尺 寸 都 很 大 ， 具 有 同 一

9、 量 級 。 混 合 結 構 第 二 章 結 構 幾 何 構 造 分 析 17 2.3 結 構 幾 何 構 造 分 析 的 自 由 度 與 約束 (1) 自 由 度 指 結 構 在 所 在 空 間 運 動 時 ， 可 以 獨 立 改 變 的 幾 何參 數(shù) 的 數(shù) 目 ， 也 就 是 確 定 該 結 構 位 置 時 所 需 的 獨 立 參數(shù) 的 數(shù) 目 。(2) 約 束 指 減 少 結 構 自 由 度 的 裝 置 ， 即 限 制 結 構 結 構 運 動的 裝 置 。 a. 支 座 鏈 桿 的 約 束 b. 鉸 的 約 束 : 單 鉸 ； 復 鉸 ； 完 全 鉸 與不 完 全 鉸 。第 二 章 結

10、 構 幾 何 構 造 分 析 18 3.1 結 構 離 散 與 向 量 表 示 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法3.2 位 移 函 數(shù) 及 單 元 的 剛 度 矩 陣 3.3 坐 標 變 換 及 單 元 剛 度 矩 陣 3.4 整 體 剛 度 矩 陣 3.5 約 束 處 理 及 求 解 3.6 計 算 示 例 3.7 ANSYS桁 架 結 構 計 算 示 例3.8 ANSYS剛 架 結 構 計 算 示 例 19 3.1 結 構 離 散 與 向 量 表 示 工 程 上 許 多 由 金 屬 構 件 所 組 成 的 結 構 ， 如 塔 式 桁 構支 承 架 、 起

11、重 機 起 重 臂 架 、 鋼 結 構 橋 梁 、 鋼 結 構 建 筑 等可 以 歸 結 為 桿 系 結 構 。 桿 系 結 構 按 各 桿 軸 線 及 外 力 作 用線 在 空 間 的 位 置 分 為 平 面 桿 系 和 空 間 桿 系 結 構 。 桿 系 結 構 可 以 由 桿 單 元 、 梁 單 元 組 成 。 (a) Liebherr塔 式 起 重 機 (b) Liebherr履 帶 式 起 重 機 (c) 鋼 結 構 橋 梁 (d) 埃 菲 爾 鐵 塔 圖 3-1 桿 系 結 構 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 20 3.1.1 結 構 離 散 化

12、 由 于 桿 系 結 構 本 身 是 由 真 實 桿 件 聯(lián) 接 而 成 ， 故 離 散 化 比 較 簡 單 ，一 般 將 桿 件 或 者 桿 件 的 一 段 ( 一 根 桿 又 分 為 幾 個 單 元 )作 為 一 個 單元 ， 桿 件 與 桿 件 相 連 接 的 交 點 稱 為 結 點 。桿 系 結 構 的 離 散 化 的 要 點 可 參 考 如 下 ： a. 桿 件 的 轉 折 點 、 匯 交 點 、 自 由 端 、 集 中 載 荷 作 用 點 、 支 承 點以 及 沿 桿 長 截 面 突 變 處 等 均 可 設 置 成 結 點 。 這 些 結 點 都 是 根 據(jù) 結 構本 身 特 點

13、來 確 定 的 。 b. 結 構 中 兩 個 結 點 間 的 每 一 個 等 截 面 直 桿 可 以 設 置 為 一 個 單 元 。變 換 為 作 用 在 結 點 上 的 等 效 結 點 載 荷 。 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 21 c. 變 截 面 桿 件 可 分 段 處 理 成 多 個 單 元 ， 取 各 段 中 點 處 的 截 面 近似 作 為 該 單 元 的 截 面 ， 各 單 元 仍 按 等 截 面 桿 進 行 計 算 。 d. 對 曲 桿 組 成 的 結 構 ， 可 用 多 段 折 線 代 替 ， 每 端 折 線 為 一 個 單元 。 如 若

14、 提 高 計 算 精 度 ， 也 可 以 在 桿 件 中 間 增 加 結 點 。 e. 在 有 限 元 法 計 算 中 ， 載 荷 作 用 到 結 點 上 。 當 結 構 有 非 結 點 載荷 作 用 時 ， 應 該 按 照 靜 力 等 效 的 原 則 將 其 等 效 結 點 荷 載 。第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 (a) 結 點 載 荷 處 理 方 式 (b) 等 效 結 點 載 荷 處 理 方 式圖 3-2桿 系 結 構 離 散 化 示 意 圖 22 3.1.2 坐 標 系 圖 3-3 坐 標 系 示 意 圖 為 了 建 立 結 構 的 平 衡 條 件

15、 ， 對 結 構 進 行 整 體 分 析 ，尚 需 要 建 立 一 個 對 每 個 單 元 都 適 用 的 統(tǒng) 一 坐 標 系 ， 即 結構 坐 標 系 或 稱 之 為 整 體 坐 標 系 、 總 體 坐 標 系 。 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 23 3.1.3 向 量 表 示 在 有 限 單 元 法 中 力 學 向 量 的 規(guī) 定 為 ： 當 線 位 移 及 相 應 力 與 坐 標軸 方 向 一 致 時 為 正 ， 反 之 為 負 ； 轉 角 位 移 和 力 矩 ， 按 右 手 法 則 定 出的 矢 量 方 向 若 與 坐 標 軸 正 向 相 一 致

16、時 為 正 。 對 于 任 意 方 向 的 力 學 向量 ， 應 分 解 為 沿 坐 標 軸 方 向 的 分 量 。 (a)剛 架 結 構 示 意 圖 (b) 結 點 位 移 和 結 點 力 分 向 量 圖 3-4 平 面 剛 架 分 析 示 意 圖 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 24 Tiiii vu Tjjjj vu 結 點 位 移 列 向 量 為 單 元 e結 點 位 移 列 向 量 為 Tjjjiiijie uu 結 點 力 向 量 為 Teiiiei MVUF Tejjjej MVUF 單 元 e結 點 力 列 向 量 為 Tejjjiiieje

17、ie MVUMVUFFF 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 25 3.2 位 移 函 數(shù) 及 單 元 的 剛 度 矩 陣 3.2.1 軸 向 拉 壓 桿 單 元 的 位 移 的 函 數(shù) 有 限 單 元 法 分 析 中 ， 雖 然 對 不 同 結 構 可 能 會 采 取 不 同 的 單 元類 型 ， 采 用 的 單 元 的 位 移 模 式 不 同 ， 但 是 構 建 的 位 移 函 數(shù) 的 數(shù) 學模 型 的 性 能 、 能 否 真 實 反 映 真 實 結 構 的 位 移 分 布 規(guī) 律 等 ， 直 接 影響 計 算 結 果 的 真 實 性 、 計 算 精 度 及

18、 解 的 收 斂 性 。 為 了 保 證 解 的 收 斂 性 ， 選 用 的 位 移 函 數(shù) 應 當 滿 足 下 列 要 求 : a. 單 元 位 移 函 數(shù) 的 項 數(shù) ， 至 少 應 等 于 單 元 的 自 由 度 數(shù) 。 它的 階 數(shù) 至 少 包 含 常 數(shù) 項 和 一 次 項 。 至 于 高 次 項 要 選 取 多 少 項 ， 則應 視 單 元 的 類 型 而 定 。第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 26 由 單 元 結 點 位 移 ， 確 定 待 定 系 數(shù) 項 當 時 ， 當 時 ， 所 以 用 結 點 位 移 表 示 其 中 、 分 別 表 示

19、當 ， 時 ； ， 時 的 單 元 內的 軸 向 位 移 狀 態(tài) ， 故 稱 為 軸 向 位 移 形 函 數(shù) 。0 x lx iuu juu iu1 l uu ij 2 jjuiiu uNNxu )( lxN iu 1 lxN ju iuN juN 1iu 0ju 0iu 1ju 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 b. 單 元 的 剛 體 位 移 狀 態(tài) 和 應 變 狀 態(tài) 應 當 全 部 包 含在 位 移 函 數(shù) 中 。 c. 單 元 的 位 移 函 數(shù) 應 保 證 在 單 元 內 連 續(xù) ， 以 及 相鄰 單 元 之 間 的 位 移 協(xié) 調 性 。 27

20、3.2.2 梁 單 元 平 面 彎 曲 的 位 移 函 數(shù) 梁 單 元 平 面 彎 曲 僅 考 慮 結 點 的 四 個 位 移 分 量 ， ， ， ，由 材 料 力 學 知 ,各 截 面 的 轉 角 : 故 梁 單 元 平 面 彎 曲 的 位 移 表 達 式 可 分 為 僅 包 含 四 個 待 定 系數(shù) ， ， ， 的 多 項 式 單 元 結 點 位 移 條 件 當 時 ， 當 時 ，i i j jxv 1 2 3 4 342321)( xxxxv 0 x ivv ixv lx jvv jxv jiji jiji ii lvvl lvvl v 234 23 21 12 213 第 三 章 桿

21、系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 28 322 3322 322 3322 11 23 12 231 xlxlN xlxlN xlxlxN xlxlN jjviiv jjjjviiiiv NvNNvNxv )( ejjii juiu NNNN NNvu 00 0000 eNf 稱 為 形 函 數(shù) 矩 陣 。 N第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 29 3.2.3 單 元 的 應 力 應 變 在 彈 性 范 圍 內 ， 并 且 不 考 慮 剪 力 的 影 響 時 ， 平 面剛 架 單 元 內 任 一 點 的 軸 向 線 應 變 由 兩 部 分 組

22、 成 ， 即 軸向 應 變 與 彎 曲 應 變 之 和 ， 其 軸 向 應 變 與 平 面 桁 架 軸 向應 變 相 同 。 軸 向 應 變 為 彎 曲 應 變 為 y為 梁 單 元 任 意 截 面 上 任 意 點 至 中 性 軸(x軸 )的 距 離 。 得 出 平 面 剛 架 單 元 應 變 xulx 22xvybx 圖 3-5 彎 曲 應 變 計 算 示 意 圖 22xvyxubxlxx ex B 則 xllyxllylxllyxllylB 232232 621261641261 平 面 剛 架 梁 單 元 的 應 變 轉 換 矩 陣 。 B exx BEE 第 三 章 桿 系 結 構 靜

23、 力 分 析 的 有 限 單 元 法 30 3.2.4 平 面 剛 架 梁 單 元 的 剛 度 矩 陣 梁 單 元 的 i， j結 點 發(fā) 生 虛 位 移 為 T* jjjiiie uu 單 元 內 相 應 的 虛 應 變 應 為 ex B * 由 虛 功 原 理 有 dxdydzF xv xee T*T* eve dxdydzBEB TT* 由 于 結 點 虛 位 移 的 任 意 性 ， 故 上 式 可 寫成 e eeeve kdxdydzBEBF T 上 式 稱 為 局 部 坐 標 下 的 平 面 剛 架 單 元 的 剛 度 方 程 ，簡 稱 為 單 剛 。 第 三 章 桿 系 結 構 靜

24、 力 分 析 的 有 限 單 元 法 31 dxdydzBEBk ve T 橫 截 面 積 A 橫 截 面 對 形 心 軸 z的 靜 矩 S 橫 截 面 對 主 慣 性 軸 z的 慣 性 矩 I 得 到 四 個 3 3子 塊 所 組 成 的 局 部 坐 標 系 下 的 平 面剛 架 梁 單 元 的 單 元 剛 度 矩 陣 。 AdydzA 0A ydydzS A dydzyI 2 lEIl EIlEIlEI l EIlEIl EIl EI lEAlEA lEIl EIlEIlEI lEIl EIlEIlEI lEAlEAkk kkk ejjeji eijeiie 460260 61206120

25、 0000 260460 61206120 0000 22 2323 22 2323 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 32 平 面 桁 架 的 單 元 剛 度 矩 陣 為 lEAlEA lEAlEAkk kkk ejjeji eijeiie 空 間 桁 架 單 元 每 個 結 點 有 3個 位 移 分 量 ， 其 單 元 結 點位 移 列 向 量 Tjjjiiijie wuwu 空 間 桁 架 局 部 坐 標 下 的 單 元 剛 度 矩 陣 是 6 6的 000000 000000 0000 000000 000000 0000 lEAlEA lEAlEAk

26、k kkk ejjeji eijeiie 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 33 空 間 剛 架 單 元 每 個 結 點 有 6個 位 移 分 量 ， 其 單 元 結 點 位 移 列 向 量 Tjzjyjxjjjiziyixiiijie wvuwvu 空 間 剛 架 局 部 坐 標 下 的 單 元 剛 度 矩 陣 是 12 12的 。 (a) 桿 單 元 i端 產(chǎn) 生 單 位 位 移 (b) 桿 單 元 j端 產(chǎn) 生 單 位 位 移圖 3-6 平 面 桁 架 單 元 剛 度 系 數(shù) 的 物 理 意 義 (a) 梁 單 元 i端 產(chǎn) 生 單 位 位 移 (b)

27、梁 單 元 j端 產(chǎn) 生 單 位 位 移 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 34 (c) 梁 單 元 i端 產(chǎn) 生 單 位 角 位 移 (d) 梁 單 元 j端 產(chǎn) 生 單 位 角 位 移圖 3-7 平 面 剛 架 單 元 剛 度 系 數(shù) 的 物 理 意 義 3.2.5 單 元 的 剛 度 矩 陣 的 性 質 a. 單 元 剛 度 矩 陣 僅 與 單 元 的 幾 何 特 征 和 材 料 性 質 有 關 。 僅 與 單 元的 橫 截 面 積 A、 慣 性 矩 I、 單 元 長 度 l、 單 元 的 彈 性 模 量 E有 關 。 b. 單 元 剛 度 矩 陣 是

28、一 個 對 稱 陣 。 在 單 元 剛 度 矩 陣 對 角 線 兩 側 對 稱位 置 上 的 兩 個 元 素 數(shù) 值 相 等 ， 即 ， 根 據(jù) 是 反 力 互 等 定 理 。 c. 單 元 剛 度 矩 陣 是 一 個 奇 異 陣 。 d. 單 元 剛 度 矩 陣 可 以 分 塊 矩 陣 的 形 式 表 示 。 具 有 確 定 的 物 理 意 義 。第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 35 3.3 坐 標 變 換 及 單 元 剛 度 矩 陣 3.3.1 坐 標 變 換 在 整 體 坐 標 系 中 單 元 結 點 力 向 量 和 結 點 位 移 列 向 量 可 分

29、 別 表示 成 Tjjjiiiejeie vuvu Tjjjiii jie MYXMYXFFF (a) 向 量 轉 換 分 析 (b) 向 量 轉 換圖 3-8 向 量 轉 換 示 意 圖 sincos iii vuu cossin iii vuv ii 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 36 iiiiii vuvu 100 0cossin 0sincos對 于 梁 單 元 如 圖 3-8(b)所 示 ， 則 有 jjjiiijjjiii vuvuvuvu 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000s

30、incos可 簡 寫 為 ee T 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 37 同 理 ee FTF 式 中 平 面 剛 架 梁 單 元 的 從 局 部 坐 標 系 向 整 體 坐 標 系 的轉 換 矩 陣 。 T 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos T3.3.2 整 體 坐 標 系 下 的 單 元 剛 度 矩 陣 eeeeeee kTkTTkTF T1 式 中 整 體 坐 標 下 的 單 元 剛 度 矩 陣 。 ek TTkTk ee 和 一 樣 ， 為 對 稱 陣 、 奇 異 陣

31、。 ek ek 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 38 3.4 整 體 剛 度 矩 陣 3.4.1 整 體 剛 度 矩 陣 的 建 立 整 體 剛 度 矩 陣 也 稱 之 為 結 構 剛 度 矩 陣 或 總 體 剛 度 矩 陣 ， 簡 稱總 剛 。 整 體 剛 度 矩 陣 的 求 解 是 建 立 在 結 構 平 衡 條 件 的 基 礎 之 上 ， 因 此 研 究 對 象 以 整 體 坐 標 系 為 依 據(jù) 。 圖 3-9 載 荷 向 量 示 意 圖 如 右 圖 所 示 剛 架 結 構 ， 其 結 點 載 荷 列 向 量 分 別 為 T111.1 MPPP yx

32、 T2212.2 MPPP yx T3331.3 MPPP yx T444.4 MPPP yx 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 39 結 構 載 荷 列 向 量 T4321 PPPPP T44433322211 1 MPPMPPMpPMPPP yxyxyxyx 結 點 位 移 列 向 量 T4321 T444333222111 vuvuvuvu 對 于 結 點 1對 于 結 點 2 對 于 結 點 3對 于 結 點 4 111111111 MPPMYX yx 111 PF 222222222121212 MPPMYXMYX yx 22212 PFF 3333

33、33333232323 MPPMYXMYX yx 33323 PFF 444343434 MPPMYX yx 434 PF 建 立結 點平 衡條 件方 程式 如右 表 。 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 40 用 分 塊 矩 陣 的 形 式 ， 建 立 桿 端 內 力 與 結 點 位 移 的 關 系 式 。對 于 單 元 1有 簡 寫 為 其 中 單 元 1的 剛 度矩 陣 關 系 式 展 開 為 21122121 1121111211 kk kkFF 111 kF 122121 1121111 kk kkk 2122112112 2112111111 kk

34、F kkF 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 41 對 于 單 元 2有 簡 寫 為 其 中 單 元 2的 剛 度 矩 陣 關 系 式 展 開 為 32233232 2232222322 kk kkFF 222 kF 233232 2232222 kk kkk 3233223223 2223222222 kkF kkF 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 42 對 于 單 元 3有 簡 寫 為 其 中 單 元 3的 剛 度 矩陣 關 系 式 展 開 為 43344343 3343333433 kk kkFF 333 kF 344

35、343 3343333 kk kkk 4344334334 4334333333 kkF kkF 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 43 單 元 剛 度 矩 陣 由 2 2的 子 矩 陣 組 成 ， 每 個 子 矩 陣是 3 3的 方 陣 。 的 上 角 標 表 示 單 元 編 號 ， 下 角 標 表示 單 元 j端 單 位 位 移 所 引 起 的 i端 相 應 力 。 將 桿 端 內 力 與 結 點 位 移 關 系 式 代 入 結 點 的 平 衡 條 件方 程 式 中 ， 經(jīng) 整 理 得 ： eijk 43214321344343 334333233232

36、223222122121 112111 000 000 PPPPkk kkkk kkkk kk 簡 寫 為 PK 稱 之 為 結 構 原 始 平 衡 方 程 。 其 中 344343 334333233232 223222122121 112111 000 000 kk kkkk kkkk kkK 為 整 體 剛 度 矩 陣 。 K 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 44 3.4.2 整 體 剛 度 矩 陣 的 集 成 整 體 剛 度 矩 陣 是 由 在 整 體 坐 標 系 下 ， 矩 陣 按 照 結 點 編 號 的順 序 組 成 的 行 和 列 的 原 則

37、， 將 全 部 單 元 剛 度 矩 陣 擴 展 成 n n方陣 后 對 號 入 座 疊 加 得 到 。 對 于 單 元 1 0000 0000 00 00122121 1121111 kk kkK 對 于 單 元 2 0000 00 00 0000 233232 2232222 kk kkK 對 于 單 元 3 344343 3343333 00 000 0000 0000 kk kkK 單 元 剛 度 矩 陣 集 成 得 出 整 體 剛 度 矩 陣 344343 334333233232 223222122121 112111321 000 0004321 4321 kk kkkk kkkk

38、 kkKKKK結點編號 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 45 3.4.3 整 體 剛 度 矩 陣 的 性 質 整 體 剛 度 矩 陣 中 位 于 主 對 角 線 上 的 子 塊 ， 稱 為主 子 塊 ， 其 余 為 副 子 塊 。 a. 中 主 子 塊 由 結 點 i的 各 相 關 單 元 的 主 子 塊 擴 展 之后 疊 加 求 得 ， 即 b.當 結 點 i、 j為 單 元 e的 相 關 結 點 時 ， 中 副 子 塊 為 該 單元 e相 應 的 副 子 塊 ， 即 。 c.當 結 點 i、 j為 非 相 關 結 點 時 ， 中 副 子 塊 為 零 子

39、塊 ，即 。 d. 僅 與 各 單 元 的 幾 何 特 性 、 材 料 特 性 ， 即 A、 I、 l、 E等因 素 有 關 。 e. 為 對 稱 方 陣 ， f. 為 奇 異 矩 陣 ， 其 逆 矩 陣 不 存 在 ， 因 為 建 立 整 體 剛 度 矩 陣 時 沒 有 考 慮 結 構 的 邊 界 約 束 條 件 。 K iiKijK K eiiii kK KijK eijij kK K ijK 0ijK K K jiij KK K 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 46 g.為 稀 疏 矩 陣 ， 整 體 剛 度 矩 陣 中 的 非 零 元 素 分 布 區(qū)

40、 域 的 寬 度 與 結 點 編號 有 關 ， 非 零 元 素 分 布 在 以 對 角 線 為 中 心 的 帶 狀 區(qū) 域 內 ， 稱 為 帶 狀 分 布 規(guī)律 ， 見 圖 3-10(a)。 在 包 括 對 角 線 元 素 在 內 的 區(qū) 域 中 ， 每 行 所 具 有 的 元 素個 數(shù) 叫 做 把 半 帶 寬 ， 以 d表 示 。 最 大 半 帶 寬 等 于 相 鄰 結 點 號 的 最 大 差 值 加 1 與 結 點 自 由 度 數(shù) 的 乘 積 ，結 點 號 差 越 大 半 帶 寬 也 就 越 大 。 計 算 機 以 半 帶 寬 方 式 存 儲 ， 見 圖 3-10(b)。半 帶 寬 越 窄

41、 ， 計 算 機 的 存 儲 量 就 越 少 ， 而 且 可 以 大 幅 度 減 少 求 解 方 程 所 需的 運 算 次 數(shù) 。 其 效 果 對 大 型 結 構 顯 得 尤 為 突 出 。 圖 3-10 整 體 剛 度 矩 陣 存 儲 方 法 h.整 體 剛 度 矩 陣 稀 疏 陣 。 故 整 體 剛 度 矩 陣 不 能 求 逆 ， 必 須 作 約 束處 理 方 能 正 確 地 將 結 點 位 移 求 出 ， 進 而 求 出 結 構 的 應 力 場 。 (a) 帶 狀 分布 規(guī) 律 (b) 帶 狀 存 儲 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 47 3.5 約

42、束 處 理 及 求 解 3.5.1 約 束 處 理 的 必 要 性 建 立 結 構 原 始 平 衡 方 程 式 時 ， 并 未 考 慮 支 承 條 件 （ 約束 ） ， 也 就 是 說 ， 將 原 始 結 構 處 理 成 一 個 自 由 懸 空 的 、 存 在 剛 體 位 移的 幾 何 可 變 結 構 。 整 體 剛 度 矩 陣 是 奇 異 矩 陣 ， 因 此 ， 無 法 求 解 。 可 以參 照 第 2 章 的 原 則 ， 結 合 實 際 工 程 結 構 引 入 支 承 條 件 ， 即 對 結 構 原 始平 衡 方 程 式 做 約 束 處 理 。 約 束 處 理 后 的 方 程 稱 為 基

43、本 平 衡 方 程 。 統(tǒng) 一 記 為 PK PK PK 3.5.2 約 束 處 理 方 法 約 束 處 理 常 用 方 法 有 填 0置 1法 和 乘 大 數(shù) 法 。 采 用 這 兩 種 方 法 不會 破 壞 整 體 剛 度 矩 陣 的 對 稱 性 、 稀 疏 性 及 帶 狀 分 布 等 特 性 。 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 48 下 面 以 圖 3-11所 示 剛 架 結 構 為 例 ， 解 釋 如 何 進 行 約 束 處 理 。對 于 下 圖 所 示 剛 架 結 構 設 結 點 位 移 列 向 量 為設 結 點 載 荷 列 向 量 為 T9321

44、T321 uuuu T9321T321 ppppPPPP (a)固 定 支 座 (b) 支 座 強 迫 位 移 已 知 圖 3-11 結 構 約 束 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 49 其 原 始 平 衡 方 程 式 為 321321233232 223222122121 1121110 0 PPPkk kkkk kk 按 照 每 個 結 點 的 位 移 分 量 將 上 式 展 開 為 987654321987654321999897969594939291 898887868584838281 797877767574737271 69686766656

45、4636261 595857565554535251 494847464544434241 393837363534333231 282726262524232221 191817161514131211 pppppppppuuuuuuuuukkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 50 對 于 如 圖 3-11(a)所 示 ， 結 構 約 束 （ 支 座 ） 位 移 全 部 為 零 ，此

46、時 做 約 束 處 理 時 ， 采 用 填 0置 1法 比 較 適 宜 。 對 于 如 圖 3-11(b)所 示 ， 某 約 束 （ 支 座 ） 位 移 為 給 定 的 強迫 值 ， 此 時 做 約 束 處 理 時 ， 采 用 乘 大 數(shù) 法 比 較 適 宜 。 (1) 填 0置 1法 如 右 圖 所 示 結 點 1、 3處 為 固 定 支 座 ， 可 知 將 整 體 剛 度 矩 陣 中 與 之 相 對 應 的 主 對 角 元 素 全 部 置 換 成 1， 相 應 行 和 列 上 的 其 它 元 素 均 改 為 0。 同 時 ， 所 在 同 一 行 上 的 載荷 分 量 替 換 成 0， 則

47、有 0 987321 uuuuuu 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 51 000000010000000 010000000 001000000 000000 000000 000000 000000100 000000010 000000001 65498765432192 666564 565554 464544 pppuuuuuuuuuk kkk kkk kkk 654654666564 565554 464544 pppuuukkk kkk kkk則第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 也 可 簡 便 地 采 用 劃 行

48、 劃 列 的 辦 法 。 在 整 體 剛 度 矩 陣 中 將與 約 束 位 移 為 0 的 行 和 列 劃 掉 ， 包 括 相 關 的 所 在 行 的 位 移和 載 荷 向 量 。 52 處 理 后 得 基 本 平 衡 方 程 (2) 乘 大 數(shù) 法 右 圖 所 示 剛 架 ， 結 點 1為 固 定 支 座 ， 結 點 3處 在 方向 的 約 束 為 已 知 強 迫 位 移 。 即 將 整 體 剛 度 矩 陣 中 與 之 相 對 應 的 主 對 角 元 素 全 部乘 以 一 個 大 數(shù) N， 一 般 取 。 同 時 ， 將 相應 同 一 行 上 的 載 荷 分 量 替 換 成 N 乘 以 其

49、主 對 角 剛 度 系數(shù) 和 給 定 的 強 迫 位 移 （ 包 括 零 位 移 ） 。 22222122 Pkk 097321 uuuuu 088 uu 1510 1010N 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 53 00000 888654987654321999897969594939291 898887868584838281 797877767574737271 696867666564636261 595857565554535251 494847464544434241 393837363534333231 282726262524232221 1

50、91817161514131211 kNpppuuuuuuuuukNkkkkkkkk kkNkkkkkkk kkkNkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkNkk kkkkkkkkNk kkkkkkkkkN 092 1111 jjukukN得 到由 于 N 足 夠 大 ， 可 以 近 似 認 為 092 1 jjuk ,則 得 出 01 u同 時 得 到 09732 uuuu 088 uu 求 出 位 移 之 后 ， 即 可 以 求 出 結 構 的 應 力 場 。 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 54 第 三

51、章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 用 有 限 單 元 法 計 算 空 間 剛 架 結 構 ， 在 原 理 上 及 推 導過 程 與 計 算 平 面 剛 架 結 構 相 同 。 在 此 不 再 重 復 。 但 應 注意 到 ， 由 于 空 間 的 每 一 結 點 一 般 具 有 六 個 自 由 度 ， 故 計算 較 之 復 雜 些 。3.6 計 算 示 例 設 兩 桿 的 桿 長 和 截 面 尺 寸 相 同 ， 27 kN/m101.2 E桿 件 長 m。 10l 圖 3-12 剛 架 受 力 簡 圖 55 (1)結 構 離 散 化 后 將 結 構 劃 分 為 4個 結

52、 點 、 3個 單 元2m5.0A 43 m2411215.0 I截 面 積 ， 慣 性 矩 (2) 求 結 點 載 荷 首 先 須 求 局 部 坐 標 系 中 固 定 端 內 力 eF0 (a) 單 元 1作 為 兩 端 固 定 梁 反 力 示 意 圖 (b) 單 元 2作 為 兩 端 固 定 梁 反 力 示 意 圖圖 3-13內 力 示 意 圖 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 56 單 元 1 mKN8012106.912 kN482 106.92 2212101 102101 glMM glVV o單 元 2 mKN2008 1016081 KN802

53、160201103 103102 PlMM PVV在 局 部 坐 標 系 下 單 元 載 荷 列 向 量 單 元 1 804808048010 F 單 元 2 20080020080020 F 單 元 3 00000030 F 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 57 為 了 求 出 在 整 體 坐 標 下 的 載 荷 列 向 量 ， 先 求 單元 得 坐 標 轉 換 矩 陣 T單 元 1、 2 00 I100000 010000 001000 000100 000010 000001100000 0cossin000 0sincos000 000100 000

54、0cossin 0000sincos1 T單 元 3 090 100000 001000 010000 000100 000001 000010100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos3 T 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 58 求 各 單 元 在 整 體 坐 標 下 的 等 效 結 點 載 荷 eP0 102011010110 8048080480 PPFFTP T 203022020220 200800200800 PPFFTP T 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的

55、有 限 單 元 法 59 30204303T30 000000000000100000 001000 010000 000100 000001 000010 PPFTP T 求 剛 架 的 等 效 結 點 載 荷 0P 3020100 PPPP 00020080012012808048000000000000000020080020080000000000080480804800 P 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 60 因 為 無 結 點 載 荷 作 用 ， 總 結 點 載 荷 即 為 等 效 結 點 載 荷 。 T0 000200800120128080

56、480 PP(3) 求 單 元 剛 度 矩 陣由 于 單 元 1、 2、 3的 尺 寸 相 同 ， 材 料 彈 性 模 量 相 同 ， 故 ek 321 kkk 梁 單 元 的 局 部 坐 標 下 的 剛 度 矩 陣 表 達 式 lEIlEIlEIlEI lEIlEIlEIlEI lEAlEA lEIlEIlEIlEI lEIlEIlEIlEI lEAlEAk e 460260 61206120 0000 260460 61206120 0000 22 2323 22 2323 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 61 2321 1035005250175052

57、50 52510505251050 00105000010500 1750525035005250 52510505251050 00105000010500 kkk 則（ 4） 求 整 體 坐 標 系 中 的 ek單 元 1 11 1111T1 2221 1211 kk kkkIkIk單 元 2 22 22222 3332 2322 kk kkkkk單 元 3 33T33 TkTk 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 62 33 343323 222444103500052517500525 01050000105000 52501055250105 1750

58、052535000525 01050000105000 52501055250105 kk kkk（ 5） 求 結 構 整 體 剛 度 矩 陣 K利 用 剛 度 集 成 法 3 44342 22 32423211 11 00 00 002332 2322222221 1211 kk kk kkkkkk kkK（ 6） 建 立 原 始 平 衡 方 程 式 43214321344342 22 32423211 11 00 00 002332 2322222221 1211 PPPPkk kk kkkkkk kk 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 63 （ 7） 引

59、 入 約 束 條 件 解 方 程 組 由 于 1、 3、 4為 固 定 端 ， 修 改 整 體 剛 度 矩 陣 中 的 13， 612行 與 列 ， 以 及 載 荷列 向 量 中 的 相 應 的 行 ， 既 約 束 處 理 。 0444333111 vuvuvu建 立 基 本 平 衡 方 程 222222 22 Pkkk 即 6 222 10428.1145145.1198465.2 vu得 到（ 8） 求 各 桿 的 桿 端 力 eF 單 元 3結 點 位 移 列 向 量 333 66 660 1 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 100 0

60、 0 0 1 0 2.8465 10 119.51450 0 0 1 0 0 119.5145 10 2.84650 0 0 0 0 1 114.428 10 114.428T 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 64 單 元 1桿 端 內 力 計 算 10111 FkF 7753.1137526.529888.2 2496.66 2474.43 9888.2 單 元 2桿 端 內 力 計 算 20222 FkF 2994.2262624.87 9888.2 6757.1537376.729888.2單 元 3桿 端 力 計 算 30333 FkF 9004.3

61、99776.5 4902.1258755.199776.5 4902.125 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 65 （ 9） 作 內 力 圖 （ a） 剛 架 軸 力 圖 （ b） 剛 架 剪 力 圖 （ c） 剛 架 軸 彎 矩 圖 圖 3-14 剛 架 內 力 圖 第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限 單 元 法 66 ANSYS的 基 本 過 程 一 個 典 型 的 ANSYS分 析 過 程 可 分 為 以 下 3個 步 驟 ：前 處 理 求 解 后 處 理ANSYS應 用 分 析第 三 章 桿 系 結 構 靜 力 分 析 的 有 限

62、 單 元 法 67 (1) 前 處 理前處理 指 定 工 程 名 稱 和 分 析 標 題定 義 單 位定 義 單 元 類 型定 義 單 元 常 數(shù)創(chuàng) 建 橫 截 面定 義 材 料 特 性創(chuàng) 建 有 限 元 模 型定 義 分 析 類 型 求 解 控 制加 載 68 1.1 指 定 工 程 名 稱 和 分 析 標 題更 改 工 程 名定 義 分 析 標 題 69 1.2 定 義 單 位 使 用 /UNITS命 令 可 以 設 置 系 統(tǒng) 單 位 ， 沒 有 相 應 的 GUI。 USER： 用 戶 自 定 義 單 位 ， 是 缺 省 設 置 SI： 國 際 單 位 制 ， m, kg, s, BF

63、T： 以 英 尺 為 基 礎 的 單 位 制 ， ft, slug, s, F CGS： cm, g, s, MPA： mm, mg, s, BIN： 以 英 寸 為 基 礎 的 單 位 制 in, lbm, s, F 70 1.3 定 義 單 元 類 型BEAM CIRCUit COMBINationCONTACt FLUID HF(High Frequency)HYPERelastic INFINite LINKMASS MATRIX MESHPIPE PLANE PRETS(pretension)SHELL SOLID SOURCe SURFace TARGEt TRANSducerUS

64、ER VISCOelastic 71 1.4 定 義 單 元 常 數(shù) 單 元 實 常 數(shù) 是 由 單 元 類 型的 特 性 決 定 的 ， 如 梁 單 元的 橫 截 面 特 性 。 并 不 是 所有 的 單 元 類 型 都 需 要 實 常數(shù) ， 同 類 型 的 不 同 單 元 也可 以 有 不 同 的 實 常 數(shù) 。指 定 單 元 的實 常 數(shù) 號 72 1.5 創(chuàng) 建 橫 截 面創(chuàng) 建 梁 的 橫 截 面 73 1.6 定 義 材 料 特 性定義材料特性 指定單元材料號 74 75 1.7 定 義 分 析 類 型 求 解 控 制定 義 分 析 類 型求 解 控 制基本設置 瞬態(tài)設置 求解選項

65、 非 線性 設置 求 解 終止 的 高級 控 制 76 包 括 ： 自 由 度 約 束 、 力 、表 面 分 布 載 荷 、 體 積 載荷 、 慣 性 載 荷 、 耦 合 場載 荷 載 荷 步 ： 僅 指 可 求 得解 的 載 荷 設 置 。 子 步 ： 是 指 在 一 個 載荷 步 中 每 次 增 加 的 步 長 ，主 要 是 為 了 在 瞬 態(tài) 分 析和 非 線 性 分 析 中 提 高 分析 精 度 和 收 斂 性 。 子 步也 稱 作 時 間 步 ， 代 表 一段 時 間 。1.8 加 載 77 (2) 求 解 求 解 當 前 載 荷 步求 解 某 載 荷 步 78 (3) 通 用 后

66、處 理 器畫 出 分 析 的 結 果用 列 表 的 形 式 列 出 分析 的 結 果查 詢 某 些 結 點 或 者 單元 處 的 應 力 值 以 及 其它 分 析 選 項 79 Deformed Shape表 示畫 出 變 形 后 的 形 狀 。 有如 下 選 項 ：3.1 畫 出 分 析 的 結 果 80 3.2 畫 出 節(jié) 點 的 結 果 81 位 移轉 角3.3 求 解 自 由 度 結 果 82 正 應 力 和 剪 應 力主 應 力應 力 強 度平 均 等 效 應 力3.4 求 解 應 力 結 果 83 正 應 變 和 剪 應 變主 應 變應 變 強 度平 均 等 效 應 變3.5 求 解 總 應 變 結 果 84 求 解 能 量彈 性 應 變蠕 變其 它 應 變 正 應 變 和 剪 應 變主 應 變應 變 強 度平 均 等 效 應 變3.6 其 它 求 解 結 果 85 3.7 圖 形 輸 出 選 項只 畫 出 變 形 后 的 圖 形畫 出 變 形 前 后 的 圖 形畫 出 變 形 后 的 圖 形 和變 形 前 的 邊 界 圖 86 (4) 時 間 歷 程 后 處 理 器適 用