桁架有限元分析

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1、 空 間 桿 系 有 限 元 法 也 稱 空 間 桁 架 位 移 法 。 空 間 桿 系 有 限 元 法 是 計(jì) 算 精 度 最 高 的 一 種 方 法 ，適 用 于 各 種 類 型 、 各 種 平 面 形 狀 、 不 同 邊 界 條件 的 網(wǎng) 架 ， 靜 力 荷 載 、 地 震 作 用 、 溫 度 應(yīng) 力 等工 況 均 可 計(jì) 算 。 能 考 慮 網(wǎng) 架 與 下 部 支 承 結(jié) 構(gòu) 的 共 同 工 作 。 計(jì) 算 程 序 見(jiàn) 下 表 。3.4空 間 桿 系 有 限 元 法 網(wǎng) 架 桿 件 節(jié) 點(diǎn) 位 移單 元 剛 度 矩 陣總 剛 度 矩 陣 總 剛 度 方 程節(jié) 點(diǎn) 位 移 值桿 件 內(nèi)

2、力單 元 內(nèi) 力 與 節(jié) 點(diǎn) 位 移 間 關(guān) 系引 入 邊 界 條 件節(jié) 點(diǎn) 平 衡 及 變 形 協(xié) 調(diào) 條 件基 本 單 元 基 本 未 知 量 3.4.1網(wǎng) 架 計(jì) 算 基 本 假 定 網(wǎng) 架 的 節(jié) 點(diǎn) 為 空 間 鉸 接 節(jié) 點(diǎn) ， 桿 件 只 承 受 軸 力 ； 結(jié) 構(gòu) 材 料 為 完 全 彈 性 ， 在 荷 載 作 用 下 網(wǎng) 架 變 形 很小 ， 符 合 小 變 形 理 論 。 奧 運(yùn) 會(huì) 場(chǎng) 館 鳥(niǎo) 巢 3.4.2單 元 剛 度 矩 陣 一 等 截 面 空 間 桁 架 桿 件 ij如 圖 所 示 ， 設(shè) 局 部 直 角 坐 標(biāo)系 為 ， 軸 與 ij桿 平 行 。zyx x圖

3、3.24 ij桿 的 桿 端 軸 力 和 位 移局 部 直 角坐 標(biāo) 下 桿 端 力 向 量 為 ： 桿 端 位 移 向 量 為 ： 桿 端 力 和 位 移 的 關(guān) 系 可 寫(xiě) 為 結(jié) 構(gòu) 分 析 中 為 方 便 桿端 力 和 位 移 的 疊 加 ，應(yīng) 采 用 統(tǒng) 一 坐 標(biāo) 系 ，即 結(jié) 構(gòu) 整 體 坐 標(biāo) xyz。這 樣 需 對(duì) 局 部 坐 標(biāo) 系下 的 單 元 剛 度 矩 陣 進(jìn)行 坐 標(biāo) 轉(zhuǎn) 換 。 圖 3.25 桿 件 在 整 體 坐 標(biāo) 中整 體 坐 標(biāo)坐 標(biāo) 轉(zhuǎn) 換 設(shè) 桿 件 ij （ 即 軸 ） 與 整 體 坐 標(biāo) x， y， z軸 夾角 的 余 弦 分 別 為 l， m，

4、n。 由 圖 25所 示 的 幾 何 關(guān)系 可 以 得 出 式 中 lij ij桿 的 長(zhǎng) 度 奧 運(yùn) 會(huì) 場(chǎng) 所 令 分 別 表 示 桿 件 ij在 整體 坐 標(biāo) 系 中 的 節(jié) 點(diǎn) 力 ， 節(jié) 點(diǎn) 位 移 和 單 元 剛 度 矩陣 。 在 整 體 坐 標(biāo) 系 中 ij桿 節(jié) 點(diǎn) 力 和 節(jié) 點(diǎn) 位 移 間 的 關(guān)系 力 為 ： 兩 坐 標(biāo) 系 之 間 的 轉(zhuǎn) 換 關(guān) 系 為 式 中 T 坐 標(biāo) 轉(zhuǎn) 換 矩 陣 坐 標(biāo) 軸 的 旋 轉(zhuǎn) 變 換 和 幾 何 關(guān) 系 可 導(dǎo) 出 ： 并 注 意 到 T-1=TT， 得 到 整 體 坐 標(biāo) 下 ij桿 節(jié) 點(diǎn)力 和 位 移 的 關(guān) 系 為 ： 得

5、到 桿 件 ij在 整 體 坐 標(biāo) 系 中 的 單 剛 矩 陣 ： 3.4.3結(jié) 構(gòu) 總 剛 度 矩 陣 及 總 剛 度 方 程 建 立 了 桿 件 單 元 剛 度 矩 陣 之 后 ， 即 可 按 照 變 形協(xié) 調(diào) 及 節(jié) 點(diǎn) 內(nèi) 外 力 平 衡 條 件 建 立 結(jié) 構(gòu) 的 總 剛 度矩 陣 及 相 應(yīng) 的 總 剛 度 方 程 。 對(duì) 公 式 變 換 為 ： Fi ， Fj 分 別 為 桿 件 ij在 整 體 坐 標(biāo) 系 下i， j點(diǎn) 的 桿 端 力 列 陣 ； i， j 分 別 為 桿 件 ij在 整 體 坐 標(biāo) 系下 i， j點(diǎn) 的 位 移 列 陣 ； Kij， Kjj 分 別 為 桿 件

6、 ij在 i端 ， j端 發(fā)生 單 位 位 移 時(shí) ， 在 i端 ， j端 產(chǎn) 生 的 內(nèi) 力 ； Kij， Kjj 分 別 為 桿 件 ij在 j端 ， i端 發(fā)生 單 位 位 移 時(shí) ， 在 i端 ， j端 產(chǎn) 生 的 內(nèi) 力 。 以 圖 26所 示 的 空 間 桁架 節(jié) 點(diǎn) 3 為 例 ， 說(shuō)明 總 剛 矩 陣 及 總 剛 方程 的 建 立 。 該 桁 架 共有 9個(gè) 單 元 ， 5個(gè) 節(jié) 點(diǎn) ，單 元 及 節(jié) 點(diǎn) 編 號(hào) 如 圖示 。 相 交 于 節(jié) 點(diǎn) 3的桿 件 有 。 圖 3.26 單 元 及 節(jié) 點(diǎn) 編 號(hào) 變 形 協(xié) 調(diào) 條 件 為 連 于 同 一 節(jié) 點(diǎn) 上 的 桿 端 位

7、 移 相等 ， 即 ： 內(nèi) 外 力 平 衡 條 件 為 匯 交 于 同 一 節(jié) 點(diǎn) 的 桿 端 內(nèi) 力之 和 等 于 該 節(jié) 點(diǎn) 上 的 外 荷 載 ， 即 ： 連 于 節(jié) 點(diǎn) 3的 桿 端 力 與 各 節(jié) 點(diǎn) 位 移 關(guān) 系 為 ： 整 理 得 ： 上 式 就 是 節(jié) 點(diǎn) 3得 內(nèi) 外 力 平 衡 方 程 ， 對(duì) 網(wǎng) 架 中 得所 有 節(jié) 點(diǎn) ， 逐 點(diǎn) 列 出 平 衡 方 程 ， 聯(lián) 立 起 來(lái) 便 為結(jié) 構(gòu) 蹤 剛 度 方 程 ， 表 達(dá) 式 為 ： 對(duì) 于 本 例 ， 總 剛 度 矩 陣 中 的 第 7行 至 第 9行 的 元素 表 示 如 下 ： u 總 剛 矩 陣 具 有 下 列

8、特 點(diǎn) ： 矩 陣 具 有 對(duì) 稱 性 ， 計(jì) 算 時(shí) 不 必 將 所 有 元 素 列 出 ，只 列 出 上 三 角 或 下 三 角 即 可 。 矩 陣 具 有 稀 疏 性 。 網(wǎng) 架 結(jié) 構(gòu) 每 一 節(jié) 點(diǎn) 所 連 桿 件 數(shù) 量 有 限 ， 總 剛 矩陣 中 除 主 對(duì) 角 及 其 附 近 元 素 為 非 零 元 素 外 ， 其余 均 為 零 元 素 。 非 零 元 素 集 中 在 主 對(duì) 角 線 兩 旁 的 帶 狀 區(qū) 域 內(nèi) ，計(jì) 算 機(jī) 存 貯 時(shí) ， 按 一 維 變 帶 寬 存 放 ， 可 有 效 節(jié)省 計(jì) 算 機(jī) 容 量 ， 帶 寬 大 小 與 網(wǎng) 架 節(jié) 點(diǎn) 編 號(hào) 有 關(guān) ，

9、進(jìn) 行 網(wǎng) 架 節(jié) 點(diǎn) 編 號(hào) 時(shí) ， 應(yīng) 盡 可 能 使 各 相 關(guān) 節(jié) 點(diǎn)號(hào) 差 值 縮 小 。 3.4.4總 剛 矩 陣 中 邊 界 條 件 的 處 理 方 法 未 引 入 邊 界 條 件 前 ， 總 剛 矩 陣 K是 奇 異 的 ， 不能 進(jìn) 行 求 解 。 引 入 結(jié) 構(gòu) 邊 界 條 件 消 除 剛 體 位 移后 ， 總 剛 矩 陣 為 正 定 矩 陣 。 位 移 為 零 彈 性 約 束 指 定 位 移 處 理 方 法 3.4.5網(wǎng) 架 的 邊 界 條 件 及 對(duì) 稱 性 利 用 u (1)對(duì) 稱 性 利 用 當(dāng) 網(wǎng) 架 結(jié) 構(gòu) (包 括 支 座 )和 外 荷 載 有 n個(gè) 對(duì) 稱

10、面 時(shí) ，可 利 用 對(duì) 稱 條 件 只 分 析 網(wǎng) 架 的 1 2n。 計(jì) 算 時(shí) ， 對(duì) 稱 面 內(nèi) 各 桿 件 的 截 面 積 應(yīng) 取 原 截 面面 積 的 一 半 ， n個(gè) 對(duì) 稱 面 交 線 上 的 中 心 豎 桿 ， 其截 面 面 積 應(yīng) 取 原 截 面 面 積 的 1 2n。 對(duì) 稱 面 內(nèi) 節(jié) 點(diǎn) 荷 載 亦 應(yīng) 按 相 同 原 則 取 值 。 在 對(duì)稱 荷 載 作 用 下 ， 對(duì) 稱 面 內(nèi) 網(wǎng) 架 節(jié) 點(diǎn) 的 反 對(duì) 稱 位移 為 零 ， 計(jì) 算 時(shí) 應(yīng) 在 相 應(yīng) 方 向 予 以 約 束 。 與 對(duì) 稱 面 相 交 的 桿 件 ， 分 析 時(shí) 可 將 該 交 點(diǎn) 作 為一

11、 個(gè) 節(jié) 點(diǎn) ， 并 在 三 個(gè) 方 向 予 以 約 束 。 交 叉 腹 桿 或 人 字 形 腹 桿 的 交 叉 點(diǎn) ， 位 于 對(duì) 稱 面時(shí) ， 亦 應(yīng) 作 為 一 個(gè) 節(jié) 點(diǎn) ， 并 在 兩 個(gè) 水 平 方 向 予以 約 束 。 在 反 對(duì) 稱 荷 載 作 用 下 ， 對(duì) 稱 面 內(nèi) 網(wǎng) 架 節(jié) 點(diǎn) 的 對(duì)稱 位 移 應(yīng) 取 為 零 。 u (2)邊 界 條 件 有 限 元 計(jì) 算 中 ， 邊 界 條 件 將 對(duì) 網(wǎng) 架 結(jié) 構(gòu) 內(nèi) 力 及變 形 產(chǎn) 生 較 大 影 響 。 網(wǎng) 架 支 承 處 的 邊 界 條 件 既 和 支 座 節(jié) 點(diǎn) 構(gòu) 造 有 關(guān) ，也 和 支 承 結(jié) 構(gòu) 的 剛 度

12、 有 關(guān) ， 支 座 可 以 是 無(wú) 側(cè) 移 、單 向 可 側(cè) 移 和 雙 向 可 側(cè) 移 的 鉸 接 支 座 ， 支 承 結(jié)構(gòu) (柱 、 梁 等 )可 以 是 剛 性 或 彈 性 的 。 當(dāng) 支 承 結(jié) 構(gòu) 剛 度 很 大 可 忽 略 其 變 形 時(shí) ， 邊 界 條件 完 全 取 決 于 支 座 構(gòu) 造 。 無(wú) 側(cè) 移 鉸 接 支 座 ， 支 承 節(jié) 點(diǎn) 在 豎 向 ， 邊 界 線 切 線和 法 向 都 無(wú) 位 移 。 單 向 可 側(cè) 移 支 座 ， 豎 向 和 邊 界 切 線 方 向 位 移 為 零 ，而 邊 界 法 向 為 自 由 。 雙 向 可 側(cè) 移 的 鉸 接 支 座 ， 只 有

13、豎 向 位 移 為 零 ， 兩個(gè) 水 平 方 向 都 為 自 由 。 在 網(wǎng) 架 的 四 角 處 ， 至 少 一 個(gè) 角 上 的 支 座 必 須 是 無(wú)側(cè) 移 的 ， 相 鄰 的 兩 角 可 以 是 單 向 可 側(cè) 移 的 ， 相 對(duì)的 角 可 以 是 雙 向 可 側(cè) 移 的 。 這 種 做 法 既 防 止 網(wǎng) 架 的 剛 體 移 動(dòng) ， 又 提 供 了 不 少于 6根 的 約 束 鏈 桿 數(shù) 。 在 工 程 實(shí) 踐 中 ， 如 果 溫 度應(yīng) 力 不 大 ， 也 可 考 慮 四 角 都 用 無(wú) 側(cè) 移 鉸 支 座 。 當(dāng) 網(wǎng) 架 支 承 在 獨(dú) 立 柱 上 時(shí) ， 由 于 它 的 彎 曲 剛

14、度不 是 很 大 ， 在 采 用 無(wú) 側(cè) 移 鉸 支 座 時(shí) 除 豎 向 仍 然看 作 無(wú) 位 移 外 ， 兩 個(gè) 水 平 方 向 應(yīng) 看 成 彈 性 支 承 ，支 承 的 彈 簧 剛 度 由 懸 臂 柱 的 撓 度 公 式 得 出 ： Ec 支 承 柱 的 材 料 彈 性 模 量 ； Icy、 Icx 分 別 為 支 承 柱 繞 截 面 y、 x軸 的 截 面 慣性 矩 ； H 支 承 懸 臂 柱 長(zhǎng) 度 。3cyccx HI3EK 3cxccy HI3EK u (3)斜 邊 界 處 理 斜 邊 界 是 指 與 整 體 坐 標(biāo) 斜 交 的 方 向 有 約 束 的 邊 界 。 建 筑 平 面

15、為 圓 形 或 多 邊 形 的 網(wǎng) 架 會(huì) 存 在 斜 邊 界 (圖3.27a)。 矩 形 平 面 網(wǎng) 架 利 用 對(duì) 稱 性 時(shí) ， 對(duì) 稱 面 也 存 在 斜 邊 界(圖 3.27b， c)。圖 3.27 網(wǎng) 架 的 斜 邊 界 約 束 斜 邊 界 有 兩 種 處 理 方 法 ， 一 種 是 根 據(jù) 邊 界 點(diǎn) 的位 移 約 束 情 況 設(shè) 置 具 有 一 定 截 面 積 的 附 加 桿 ，如 節(jié) 點(diǎn) 沿 邊 界 法 線 方 向 位 移 為 零 ， 則 該 方 向 設(shè)一 剛 度 很 大 的 附 加 桿 ， 截 面 積 A=106108(圖3.27b)； 如 該 節(jié) 點(diǎn) 沿 邊 界 法 線

16、方 向 為 彈 性 約 束 ，則 調(diào) 節(jié) 附 加 桿 的 截 面 積 ， 使 之 滿 足 彈 性 約 束 條件 。 這 種 處 理 方 法 有 時(shí) 會(huì) 使 剛 度 矩 陣 病 態(tài) 。 另 一 種 方 法 是 對(duì) 斜 邊 界 上 的 節(jié) 點(diǎn) 位 移 做 坐 標(biāo) 變換 (圖 3.27c)， 將 在 整 體 坐 標(biāo) 下 的 節(jié) 點(diǎn) 位 移 向 量變 換 到 任 意 的 斜 方 向 ， 然 后 按 一 般 邊 界 條 件 處理 。 3.4.6 桿 件 內(nèi) 力 引 入 邊 界 條 件 后 ， 求 解 公 式 ， 得 出 各 節(jié) 點(diǎn) 的 位移 值 ， 由 公 式 和 公 式 可 得 出 ij桿 端 內(nèi) 力

17、 為 將 公 式 展 開(kāi) 并 代 入 公 式 整 理 可 得 桿 件 內(nèi) 力 表 達(dá)式 為 式 中 N 桿 件 軸 力 ， 以 拉 為 正 。 eeTe KT=F )(cos)(cos)cos( ijijijij wwvvuulEAN 3.4.7 空 間 桿 系 有 限 元 法 計(jì) 算 步 驟 (1)根 據(jù) 網(wǎng) 架 結(jié) 構(gòu) 、 荷 載 對(duì) 稱 性 選 取 計(jì) 算 簡(jiǎn) 圖 ，并 對(duì) 其 節(jié) 點(diǎn) 和 桿 件 進(jìn) 行 編 號(hào) ， 為 減 小 總 剛 矩 陣帶 寬 ， 節(jié) 點(diǎn) 編 號(hào) 應(yīng) 遵 循 相 鄰 節(jié) 點(diǎn) 號(hào) 差 最 小 的 原則 。 (2)計(jì) 算 桿 件 單 元 長(zhǎng) 度 及 桿 件 與 整 體

18、 坐 標(biāo) 軸 夾 角余 弦 ； (3)初 選 各 桿 的 截 面 積 ； (4)建 立 局 部 和 整 體 坐 標(biāo) 系 下 的 單 元 剛 度 矩 陣 ； (5)集 合 總 剛 矩 陣 ， 為 減 小 矩 陣 容 量 ， 宜 采 用 變帶 寬 一 維 存 貯 方 式 ； (6)建 立 荷 載 列 陣 ； (7)引 入 邊 界 條 件 對(duì) 總 剛 度 方 程 進(jìn) 行 處 理 ； (8)求 解 總 剛 度 方 程 ， 得 出 各 節(jié) 點(diǎn) 位 移 值 ； (9)根 據(jù) 節(jié) 點(diǎn) 位 移 計(jì) 算 桿 件 內(nèi) 力 ； (10)按 桿 件 內(nèi) 力 調(diào) 整 桿 件 截 面 ， 并 重 新 計(jì) 算 ，迭 代 次 數(shù) 宜 不 超 過(guò) 4 5次 。