高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列 2.3.3 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和課件 蘇教版必修5.ppt

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2.3.3 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,目標(biāo)導(dǎo)航,預(yù)習(xí)引導(dǎo),目標(biāo)導(dǎo)航,預(yù)習(xí)引導(dǎo),預(yù)習(xí)交流1 若等比數(shù)列{an}的公比為q,求其前n項(xiàng)和時(shí)要注意什么? 提示:應(yīng)討論q=1還是q≠1. 預(yù)習(xí)交流2 若一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列,它的前n項(xiàng)和寫成Sn=Aqn+B(q≠1),則A與B有何關(guān)系? 提示:A+B=0,,,目標(biāo)導(dǎo)航,預(yù)習(xí)引導(dǎo),,,,,,,,目標(biāo)導(dǎo)航,預(yù)習(xí)引導(dǎo),預(yù)習(xí)交流3 什么樣的數(shù)列可采用“錯(cuò)位相減法”求前n項(xiàng)和? 提示:如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是公比不為1的等比數(shù)列,則數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和可用“錯(cuò)位相減法”求解.,目標(biāo)導(dǎo)航,預(yù)習(xí)引導(dǎo),預(yù)習(xí)交流4 (1)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,公比q=2,則S6= . 答案:63 提示:S6= =26-1=64-1=63. (2)設(shè)首項(xiàng)為a的數(shù)列{an}既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列,則此數(shù)列的前n項(xiàng)和為 . 答案:na 提示:由題意,此數(shù)列公比為1,所以Sn=na.,提示:2-,一,二,三,一、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及應(yīng)用 活動(dòng)與探究 例1在等比數(shù)列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求Sn; (2)a1+a3=10,a4+a6= ,求S5. 思路分析:根據(jù)條件列方程組,然后再求所要求的量.,一,二,三,一,二,三,遷移與應(yīng)用 1.等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),若a1=81,a5=16,則它的前5項(xiàng)和是 . 答案:211 解析:∵a1=81,a5=16,,一,二,三,一,二,三,名師點(diǎn)津 1.已知a1,an,n或a1,q,n可求得等比數(shù)列的前n項(xiàng)和. 2.在a1,an,q,n,Sn五個(gè)量中已知其中三個(gè)量,可以求得其余兩個(gè)量. 3.在等比數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1與公比q是兩個(gè)最基本的元素;有關(guān)等比數(shù)列的問題,均可化成關(guān)于a1,q的方程或方程組求解.解題過程中,要注意:(1)選擇適當(dāng)?shù)墓?(2)利用等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì);(3)注意在使用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),要考慮q是否等于1.,一,二,三,二、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用 活動(dòng)與探究 例2各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若S10=10,S20=30,求S30. 思路分析:可以利用解方程組處理,也可以利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)來解決. 解:解法一:設(shè){an}的公比為q,顯然q≠1.,一,二,三,一,二,三,一,二,三,2.等比數(shù)列{an}中,已知a1=1,且{an}共有偶數(shù)項(xiàng),若其奇數(shù)項(xiàng)之和為85,偶數(shù)項(xiàng)之和為170,則公比q= ,共有 項(xiàng). 答案:2 8 解析:設(shè)項(xiàng)數(shù)為2k(k∈N*), 則(a1+a3+a5+…+a2k-1)q =a2+a4+a6+…+a2k. 又a1=1, ∴S2k=22k-1,即22k-1=170+85. ∴k=4,即共有8項(xiàng).,一,二,三,名師點(diǎn)津 1.在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時(shí),求“基本量”是常見的解題思路,但有時(shí)靈活運(yùn)用性質(zhì),可使運(yùn)算變得簡(jiǎn)便. 2.由于等比數(shù)列中,無論是通項(xiàng)公式還是前n項(xiàng)和公式,均與q的若干次冪有關(guān),所以在解決等比數(shù)列問題時(shí),經(jīng)常出現(xiàn)高次方程,為達(dá)到降冪的目的,在解方程組時(shí)經(jīng)常利用兩式相除,達(dá)到整體消元的目的.,一,二,三,三、數(shù)列求和問題 活動(dòng)與探究 例3求和Sn=x+2x2+3x3+…+nxn. 思路分析:討論x的取值,根據(jù)x的取值情況,選擇恰當(dāng)方法.,一,二,三,一,二,三,遷移與應(yīng)用 1.數(shù)列{(-1)nn}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2 014等于 . 答案:1 007 解析:S2 014=-1+2-3+4+…+(-2 013)+2 014 =(-1+2)+(-3+4)+…+(-2 013+2 014) =1 007.,一,二,三,一,二,三,3.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)令bn=2nan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解:(1)設(shè)公差為d,由已知a1=2,a1+a2+a3=3a1+3d=12得d=2, ∴an=a1+(n-1)d=2n. (2)bn=2nan=2n2n. ∴Sn=221+422+623+…+2n2n,① 2Sn=222+423+624+…+2n2n+1.② 將①②錯(cuò)位相減得, -Sn=2(21+22+23+…+2n)-2n2n+1 =4(2n-1)-2n2n+1, ∴Sn=(n-1)2n+2+4.,一,二,三,名師點(diǎn)津 1.一般地,若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列且公比為q,求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和時(shí),可采用錯(cuò)位相減法. 2.運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),必須注意公比q是否為1,若不能確定公比q是否為1,應(yīng)分類討論. 3.在寫Sn和qSn表達(dá)式時(shí),應(yīng)特別注意“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”,以便于下一步準(zhǔn)確寫出Sn. 4.分組求和法,它適用通項(xiàng)由兩部分組成,并且能拆分成一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列和的形式的數(shù)列求和.,2,3,4,5,1,6,1.已知等比數(shù)列的公比為2,且前5項(xiàng)和為1,那么前10項(xiàng)的和等于( ) A.31 B.33 C.35 D.37 答案:B 解析:∵S5=1,,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,4.數(shù)列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n項(xiàng)和為 . 答案:2n+1-n-2 解析:根據(jù)等比數(shù)列的求和公式得an=2n-1, 則Sn=(2+22+…+2n)-n=2n+1-n-2.,2,3,4,5,1,6,5.在等比數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和Sn=3n+1+r,求r. 解:當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=3n+1+r-(3n+r),2,3,4,1,5,6,6.求數(shù)列{n3n}的前n項(xiàng)和Sn. 解:Sn=3+232+333+…+n3n.① 3Sn=32+233+334+…+(n-1)3n+n3n+1.② 由②-①,得2Sn=n3n+1-(3+32+33+…+3n),,