高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明章末復(fù)習(xí)提升課件 北師大版選修1-2.ppt

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第三章——,推理與證明,,1,知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 整體構(gòu)建,,2,要點(diǎn)歸納 主干梳理,,3,題型探究 重點(diǎn)突破,章末復(fù)習(xí)提升,1.歸納和類比都是合情推理,前者是由特殊到一般,部分到整體的推理,后者是由特殊到特殊的推理,但二者都能由已知推測(cè)未知,都能用于猜想,推理的結(jié)論不一定為真,有待進(jìn)一步證明.,2.演繹推理與合情推理不同,是由一般到特殊的推理,是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式.也是公理化體系所采用的推理形式,另一方面,合情推理與演繹推理又是相輔相成的,前者是后者的前提,后者論證前者的可靠性.,3.直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本證明方法.直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法,在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),常把它們結(jié)合起來使用,間接證法的一種方法是反證法,反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā),推出矛盾的證明方法.,題型一 歸納推理和類比推理,歸納推理和類比推理是常用的合情推理,兩種推理的結(jié)論“合情”但不一定“合理”,其正確性都有待嚴(yán)格證明.盡管如此,合情推理在探索新知識(shí)方面有著極其重要的作用. 運(yùn)用合情推理時(shí),要認(rèn)識(shí)到觀察、歸納、類比、猜想、證明是相互聯(lián)系的.在解決問題時(shí),可以先從觀察入手,發(fā)現(xiàn)問題的特點(diǎn),形成解決問題的初步思路,然后用歸納、類比的方法進(jìn)行探索、猜想,最后用邏輯推理方法進(jìn)行驗(yàn)證.,例1 觀察下列各式：a＋b＝1,a2＋b2＝3,a3＋b3＝4,a4＋b4＝7,a5＋b5＝11,…,則a10＋b10等于( ) A.28 B.76 C.123 D.199 解析 記an＋bn＝f(n), 則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4； f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7； f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.,通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N＋,n≥3), 則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18； f(7)＝f(5)＋f(6)＝29； f(8)＝f(6)＋f(7)＝47； f(9)＝f(7)＋f(8)＝76； f(10)＝f(8)＋f(9)＝123. 所以a10＋b10＝123. 答案 C,跟蹤訓(xùn)練1 自然數(shù)按下表的規(guī)律排列,則上起第2 014行,左起第2 015列的數(shù)為( ) A.2 0142 B.2 0152 C.2 0132 014 D.2 0142 015,解析 經(jīng)觀察可得這個(gè)自然數(shù)表的排列特點(diǎn)： ①第一列的每個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù),并且恰好等于它所在行數(shù)的平方,即第n行的第1個(gè)數(shù)為n2； ②第一行第n個(gè)數(shù)為(n－1)2＋1；,③第n行從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞減1； ④第n列從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞增1. 故上起第2 014行,左起第2 015列的數(shù),應(yīng)是第2 015列的第 2 014個(gè)數(shù),即為[(2 015－1)2＋1]＋2 013＝2 0142 015. 答案 D,題型二 直接證明,高考題對(duì)直接證明的考查,各種題型均有體現(xiàn),尤其是解答題,一直是考查證明方法的熱點(diǎn)與重點(diǎn). 綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法,也是解決數(shù)學(xué)問題常用的思維方式.如果從解題的切入點(diǎn)的角度細(xì)分,直接證明方法可具體分為：比較法、代換法、放縮法、判別式法、構(gòu)造函數(shù)法等,應(yīng)用綜合法證明問題時(shí),必須首先想到從哪里開始起步,分析法就可以幫助我們克服這種困難,在實(shí)際證明問題時(shí),應(yīng)當(dāng)把分析法和綜合法結(jié)合起來使用.,而上述不等式顯然成立,故原不等式成立.,跟蹤訓(xùn)練2 如圖,在四面體B－ACD中,CB＝CD,AD⊥BD,且E,F分別是AB,BD的中點(diǎn),求證： (1)直線EF∥平面ACD； 證明 要證直線EF∥平面ACD, 只需證EF∥AD且EF 平面ACD. 因?yàn)镋,F分別是AB,BD的中點(diǎn), 所以EF是△ABD的中位線,所以EF∥AD, 所以直線EF∥平面ACD.,(2)平面EFC⊥平面BCD. 證明 要證平面EFC⊥平面BCD, 只需證BD⊥平面EFC,,又因?yàn)镃B＝CD,F為BD的中點(diǎn), 所以CF⊥BD.所以平面EFC⊥平面BCD.,題型三 反證法,如果一個(gè)命題的結(jié)論難以直接證明時(shí),可以考慮反證法.通過反設(shè)結(jié)論,經(jīng)過邏輯推理,得出矛盾,從而肯定原結(jié)論成立. 反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法,在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到,在高考題中也經(jīng)常體現(xiàn),它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要.反證法主要證明：否定性、唯一性命題；至多、至少型問題；幾何問題.,例3 如圖所示,已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi),M,N分別為AB、DF的中點(diǎn). (1)若平面ABCD⊥平面DCEF,求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值；,解 如圖所示,取CD的中點(diǎn)G,連接MG,NG,設(shè)正方形ABCD,DCEF的邊長(zhǎng)為2,,∵平面ABCD⊥平面DCEF, ∴MG⊥平面DCEF, ∴∠MNG是MN與平面DCEF所成的角.,(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線. 證明 假設(shè)直線ME與BN共面,則AB平面MBEN,且平面MBEN與平面DCEF交于EN, ∵兩正方形不共面,∴AB 平面DCEF. 又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線, ∴AB∥EN.又AB∥CD∥EF, ∴EN∥EF,這與EN∩EF＝E矛盾,故假設(shè)不成立. ∴ME與BN不共面,即它們是異面直線.,證明 假設(shè)a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,,∵π－3＞0,且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0,,∴a＋b＋c＞0,這與a＋b＋c≤0矛盾,因此假設(shè)不成立,∴a,b,c中至少有一個(gè)大于0.,課堂小結(jié),1.合情推理主要包括歸納推理和類比推理 (1)歸納推理的基本模式：a,b,c∈M且a,b,c具有某屬性,結(jié)論任意d∈M,d也具有某屬性. (2)類比推理的基本模式：A具有屬性a,b,c,d；B具有屬性a′,b′,c′；結(jié)論：B具有屬性d′.(a,b,c,d與a′,b′, c′,d′相似或相同).,2.使用反證法證明問題時(shí),常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”列表如下：,