北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊 1.2 直角三角形 同步練習(xí)

1.2　直角三角形同步練習(xí) 一、選擇題 1. 在Rt△ABC中，D為斜邊AB的中點，且BC=3，AC=4，則線段CD的長是（　?。? A. 2 B. 3 C. 52 D. 5 2. 下面說法正確的是個數(shù)有（　　） ①如果三角形三個內(nèi)角的比是1：2：3，那么這個三角形是直角三角形； ②如果三角形的一個外角等于與它相鄰的一個內(nèi)角，則這個三角形是直角三角形； ③如果一個三角形的三條高的交點恰好是三角形的一個頂點，那么這個三角形是直角三角形； ④如果∠A=∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形； ⑤若三角形的一個內(nèi)角等于另兩個內(nèi)角之差，那么這個三角形是直角三角形； ⑥在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，則此三角形是直角三角形． A. 3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個 3. 如圖，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M為BC的中點，EF=7，BC=10，則△EFM的周長是（　?。? A. 17 B. 21 C. 24 D. 27 4. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，D、E分別為AC、AB的中點，連DE、CE．則下列結(jié)論中不一定正確的是（　?。? A. ED//BC B. ED⊥AC C. ∠ACE=∠BCE D. AE=CE 5. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠A=60，AC=6，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABC，此時點A恰好在AB邊上，則點B與點B之間的距離為（　　） A. 12 B. 6 C. 62 D. 63 6. 在直角三角形中，如果有一個角是30，這個直角三角形的三邊之比最有可能的是（　?。? A. 3：4：5 B. 1：1：2 C. 5：12：13 D. 1：3：2 7. 在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，則下列結(jié)論一定成立的是（　?。? A. BC=EC B. EC=BE C. BC=BE D. AE=EC 8. 如圖，△ABC是直角三角形，AB⊥CD，圖中與∠CAB互余的角有（） A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 二、填空題 9. 如圖，在Rt△ABC中，E是斜邊AB的中點，若AB=10，則CE=______． 10. 如圖，Rt△ABC中，∠C=90，AB=10，AC=6，D是BC上一點，BD=5，DE⊥AB，垂足為E，則線段DE的長為______． 11. 在一個直角三角形中，斜邊上的中線長為5，一條直角邊長為8，則另一條直角邊的長為______． 12. 在下列條件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90-∠B，④∠A=∠B=∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有______（填序號） 13. 在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于點D，若AB=10，則BD=______． 三、解答題 14. 如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，D是BC的中點，AE=BF．求證： （1）DE=DF； （2）△DEF為等腰直角三角形． 15. 如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點P，BQ⊥AD于點Q，PQ=3，PE=1． （1）求證：AD=BE； （2）求AD的長．  答案和解析 1.【答案】C 【解析】 解：∵AC=4cm，BC=3， ∴AB==5， ∵D為斜邊AB的中點， ∴CD=AB=5=． 故選：C． 2.【答案】C 【解析】 解：①三角形三個內(nèi)角的比是1：2：3， 設(shè)三個內(nèi)角的度數(shù)分別為x、2x、3x， 由題意得，x+2x+3x=180， 解得，x=30， 則3x=90， 這個三角形是直角三角形，①正確； ②三角形的一個外角等于與它相鄰的一個內(nèi)角，又三角形的一個外角與與它相鄰的一個內(nèi)角互補， ∴這個角為90， 這個三角形是直角三角形，②正確； ③如果一個三角形的三條高的交點恰好是三角形的一個頂點，那么這個三角形是直角三角形，③正確； ④如果∠A=∠B=∠C，那么△ABC是等邊三角形，④錯誤； ⑤若三角形的一個內(nèi)角等于另兩個內(nèi)角之差，那么這個三角形是直角三角形，⑤正確； ⑥在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180， 則此三角形是直角三角形，⑥正確， 故選：C． 3.【答案】A 【解析】 解：∵CF⊥AB，M為BC的中點， ∴MF是Rt△BFC斜邊上的中線， ∴FM=BC=10=5， 同理可得，ME=BC=10=5， 又∵EF=7， ∴△EFM的周長=EF+ME+FM=7+5+5=17． 故選A． 4.【答案】C 【解析】 解：A、因為D、E分別為AC、AB的中點，所以ED∥BC．故正確； B、因為∠ACB=90，ED∥BC，所以ED⊥AC．故正確； C、只有在△ABC是等腰直角三角形時才成立，故錯誤； D、CE為Rt△ABC斜邊上的中線，所以CE=BE=AE，故正確． 故選C． 5.【答案】D 【解析】 解：連接BB， ∵將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABC， ∴AC=AC，AB=AB，∠A=∠CAB=60， ∴△AAC是等邊三角形， ∴∠AAC=60， ∴∠BAB=180-60-60=60， ∵將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABC， ∴∠ACA=∠BAB=60，BC=BC，∠CBA=∠CBA=90-60=30， ∴△BCB是等邊三角形， ∴∠CBB=60， ∵∠CBA=30， ∴∠ABB=30， ∴∠BBA=180-60-30=90， ∵∠ACB=90，∠A=60，AC=6， ∴AB=12， ∴AB=AB-AA=AB-AC=6， ∴BB=6， 故選：D． 6.【答案】D 【解析】 解：如圖，設(shè)30角所對的直角邊BC=a， 則AB=2BC=2a， ∴AC==a， ∴三邊之比為a：a：2a=1：：2． 故選D． 7.【答案】C 【解析】 解：∵∠ACB=90，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD=90，∠ACD+∠A=90， ∴∠BCD=∠A． ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠DCE． 又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE， ∴∠BEC=∠BCE， ∴BC=BE． 故選：C． 8.【答案】B 解：∵CD是Rt△ABC斜邊上的高， ∴∠A+∠B=90，∠A+∠ACD=90， ∴與∠A互余的角有∠B和∠ACD共2個． 故選B． 9.【答案】5 【解析】 解：由直角三角形的性質(zhì)，得 CE=AB=5， 故答案為：5． 10.【答案】3 【解析】 解：∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90， ∴∠C=∠DEB， ∵∠B=∠B， ∴△BED∽△BCA， ∴， 即=， ∴DE=3， 故答案為：3． 11.【答案】6 【解析】 解：∵直角三角形斜邊上的中線長為5， ∴直角三角形斜邊為10， ∴另一條直角邊的長==6， 故答案為：6． 12.【答案】①②③ 【解析】 解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180，∴2∠C=180，∠C=90，則該三角形是直角三角形； ②∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180，∴∠C=90，則該三角形是直角三角形； ③∠A=90-∠B，則∠A+∠B=90，∠C=90．則該三角形是直角三角形； ④∠A=∠B=∠C，則該三角形是等邊三角形． 故能確定△ABC是直角三角形的條件有①②③． 13.【答案】2.5 【解析】 解：根據(jù)題意，設(shè)∠A、∠B、∠C為k、2k、3k， 則k+2k+3k=180， 解得k=30， 2k=60， 3k=90， ∵AB=10， ∴BC=AB=5， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD=∠A=30， ∴BD=BC=2.5． 故答案為：2.5． 14.【答案】證明：（1）連接AD， ∵Rt△ABC中，∠BAC=90，AB=AC， ∴∠B=∠C=45． ∵AB=AC，DB=CD， ∴∠DAE=∠BAD=45． ∴∠BAD=∠B=45． ∴AD=BD，∠ADB=90． 在△DAE和△DBF中， AE=BF∠DAE=∠B=45AD=BD. ?∴△DAE≌△DBF（SAS）． ∴DE=DF； （2）∵△DAE≌△DBF ∴∠ADE=∠BDF，DE=DF， ∵∠BDF+∠ADF=∠ADB=90， ∴∠ADE+∠ADF=90． ∴△DEF為等腰直角三角形 ? 15.【答案】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形， ∴AB=CA=BC，∠BAE=∠ACD=60； 在△ABE和△CAD中， AB=CA∠BAE=∠ACD=60AE=CD， ∴△ABE≌△CAD（SAS）， ∴AD=BE； （2）解：∵△ABE≌△CAD， ∴∠CAD=∠ABE， ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60； ∵BQ⊥AD， ∴∠AQB=90， ∴∠PBQ=90-60=30， ∵PQ=3， ∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6， 又∵PE=1， ∴AD=BE=BP+PE=6+1=7． 第11頁，共11頁