高中數(shù)學 第二章 空間向量與立體幾何 1 從平面向量到空間向量課件 北師大版選修2-1.ppt

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第二章 空間向量與立體幾何,1 從平面向量到空間向量,1.了解空間向量的概念. 2.經歷向量的有關概念由平面向空間推廣的過程. 3.了解空間中直線的方向向量，平面的法向量，共面向量與不共面向量的概念.,,學習目標,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,知識點一 空間向量 (1)在空間中，既有 又有 的量，叫作空間向量. (2)向量用 表示，如：a，b.也可用大寫字母表示， 如： ，其中 叫作向量的起點， 叫作向量的終點. (3)數(shù)學中所討論的向量與向量的 無關，稱之為自由向量. (4)與平面向量一樣，空間向量的大小也叫作向量的長度或模，用 或 表示.,,答案,|a|,大小,方向,小寫字母,A,B,起點,,答案,(6)向量夾角的范圍：規(guī)定 .,當〈a，b〉＝0或π時，向量a與b ，記作 .,〈a，b〉,0≤〈a，b〉≤π,a⊥b,a∥b,∠AOB,垂直,平行,知識點二 向量、直線、平面 (1)所謂直線的方向向量是指和這條直線 或 的向量，一條直線的方向向量有 個. (2)如果直線l垂直于平面α，那么把直線l的 ， 叫作平面α的法向量. 平面α有 個法向量，平面α的所有法向量都 . (3)空間中，若一個向量所在直線 一個平面，則稱這個向量平行于該平面. (4)把 的一組向量稱作共面向量， 的一組向量稱為不共面向量. (5)平行于一個平面的向量 于該平面的法向量.,,答案,垂直,平行,重合,無數(shù),方向向量,無數(shù),平行,平行于,平行于同一平面,不平行于同一個平面,,答案,返回,題型探究 重點突破,題型一 空間向量的概念 例1 判斷下列命題的真假. (1)空間中任意兩個單位向量必相等； 解 假命題.因為兩個單位向量，只有模相等，但方向不一定相同. (2)方向相反的兩個向量是相反向量； 解 假命題.因為方向相反的兩個向量模不一定相等. (3)若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b； 解 假命題.因為兩個向量模相等時，方向不一定相同或相反，也可以是任意的.,,解析答案,,解析答案,反思與感悟,反思與感悟 空間向量的概念與平面向量的概念相類似，平面向量的其他相關概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的相關概念.,,解析答案,跟蹤訓練1 如圖所示，以長方體ABCD－A1B1C1D1的八個頂點的兩點為始點和終點的向量中，,,解析答案,反思與感悟,題型二 直線的方向向量與平面的法向量,,解析答案,反思與感悟,∴∠PDB＝90， ∴BD⊥PD，BD⊥AD， ∴BD⊥平面PAD.,,反思與感悟,∴∠PEB＝90，∴PE⊥BE， 又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD，,反思與感悟,,(1)搞清直線的方向向量、平面的法向量和直線、平面的位置關系之間的內在聯(lián)系； (2)要熟練掌握判斷向量共線、垂直的方法，在把向量問題轉化為幾何問題時，注意其等價性.,,解析答案,跟蹤訓練2 如圖所示，四棱錐P－ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD為正方形且PD＝AD＝CD，E、F分別是PC、PB的中點. (1)試以F為起點作直線DE的方向向量； 解 ∵E、F分別是PC、PB的中點，,取AD的中點M，連接MF， 則由EF綊DM知四邊形DEFM是平行四邊形，,,解析答案,(2)試以F為起點作平面PBC的法向量. 解 ∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BC， 又BC⊥CD，∴BC⊥面PCD， ∵DE面PCD，∴DE⊥BC， 又PD＝CD，E為PC中點， ∴DE⊥PC，從而DE⊥面PBC，,,解析答案,題型三 空間向量的夾角 例3 如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，求：,,解析答案,反思與感悟,解 連接BC1，A1C1，A1B，,反思與感悟 本題研究了三個特殊的夾角，在數(shù)學中所研究的向量是與向量的起點無關的自由向量，可以設法將向量平移到同一起點上，然后再研究向量之間的夾角問題.,,解析答案,跟蹤訓練3 在正方體ABCD－A1B1C1D1中求下列向量的夾角：,解 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱DD1⊥底面ABCD，AC面ABCD，,解 連接AD1，則AC＝CD1＝AD1，,,解析答案,又AC＝CB1＝AB1，,,解析答案,返回,解 方法一 連接BD，則AC⊥BD， 又AC⊥DD1，BD∩DD1＝D.∴AC⊥面BD1D，,方法二 連接BD交AC于點O，取DD1的中點M，,在△MAC中，MA＝MC，O為AC的中點，∴MO⊥AC.,,當堂檢測,1,2,3,4,5,解析答案,1.兩個非零向量的模相等是兩個向量相等的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 a＝b?|a|＝|b|；|a|＝|b|?a＝b.,B,1,2,3,4,5,,解析答案,2.在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，各條棱所在的向量中，模與向量 的模相等的向量有( ) A.7個 B.3個 C.5個 D.6個,A,1,2,3,4,5,,解析答案,3.下列說法中正確的是( ) A.若|a|＝|b|，則a，b的長度相等，方向相同或相反 B.若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b| C.空間向量的減法滿足結合律,解析 若|a|＝|b|，則a，b的長度相等，方向不確定，故A不正確； 相反向量是指長度相同，方向相反的向量，故B正確； 空間向量的減法不滿足結合律，故C不正確；,B,,解析答案,4.在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，各條棱所在的向量中，與向量 相等的向量共有( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個,C,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,,解析答案,5.兩向量共線是兩向量相等的___________條件. 解析 兩向量共線就是兩向量同向或反向，包含相等的情況.,必要不充分,,課堂小結,空間兩向量的夾角 (1)計算步驟：一作，二證，三算. (2)作法 ①平移法：在一向量所在直線上選取“特殊點”，作另一向量所在直線的平行線，常常利用中位線或成比例線段引平行線. ②補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩向量所在直線的關系，從而確定兩向量的夾角.,,返回,