高中數(shù)學 第二章 空間向量與立體幾何 5.1-5.2 直線間的夾角、平面間的夾角課件 北師大版選修2-1.ppt
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第二章 5 夾角的計算,5.1 直線間的夾角 5.2 平面間的夾角,1.理解兩條異面直線的夾角、兩平面的夾角的概念. 2.能夠利用向量方法解決線線、面面的夾角問題. 3.掌握用空間向量解決立體幾何問題的基本步驟.,,學習目標,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,知識點一 直線間的夾角 當兩條直線l1與l2共面時,我們把兩條直線交角中,范圍在 內(nèi)的角叫作兩直線的夾角. 當直線l1與l2是異面直線時,在直線l1上任取一點A作AB∥l2,我們把直線l1和直線AB的夾角叫作 . 空間直線由一點和一個方向確定,所以空間兩條直線的夾角由它們的方向向量的夾角確定. 已知直線l1與l2的方向向量分別為s1,s2. 當0≤〈s1,s2〉≤ 時,直線l1與l2的夾角等于 ; 當 〈s1,s2〉≤π時,直線l1與l2的夾角等于 .,,答案,π-〈s1,s2〉,異面直線l1與l2的夾角,〈s1,s2〉,,答案,知識點二 平面間的夾角 如圖,平面π1與π2相交于直線l,點R為直線l上任意一點,過點R,在平面π1上作直線l1⊥l,在平面π2上作直線l2⊥l,則l1∩l2=R.我們把直線l1和l2的夾角叫作平面π1與π2的夾角. 已知平面π1和π2的法向量分別為n1和n2. 當0≤〈n1,n1〉≤ 時,平面π1與π2的夾角等于 ; 當 〈n1,n2〉≤π時,平面π1與π2的夾角等于 .,π-〈n1,n2〉,〈n1,n2〉,,返回,答案,思考 (1)異面直線的夾角范圍是什么?,(2)兩平面的夾角范圍是什么?,題型探究 重點突破,題型一 兩條異面直線所成角的向量求法 例1 如圖,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,點D是BC的中點.求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值.,,解析答案,反思與感悟,,反思與感悟,解 以A為坐標原點,分別以AB,AC,AA1為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz,,反思與感悟,,建立空間直角坐標系要充分利用題目中的垂直關系;利用向量法求兩異面直線所成角的計算思路簡便,要注意角的范圍.,,解析答案,跟蹤訓練1 如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點E是棱AB上的動點.若異面直線AD1與EC所成角為60,試確定此時動點E的位置. 解 以DA所在直線為x軸,以DC所在直線為y軸,以DD1所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示. 設E(1,t,0)(0≤t≤2),,所以t=1,所以點E的位置是AB的中點.,,解析答案,題型二 平面間的夾角的向量求法 例2 如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都 相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四邊形ACC1A1 和四邊形BDD1B1均為矩形. (1)證明:O1O⊥底面ABCD; 證明 因為四邊形ACC1A1為矩形,所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因為CC1∥DD1,所以CC1⊥BD. 而AC∩BD=O,且AC底面ABCD,BD底面ABCD, 因此CC1⊥底面ABCD. 由題意知,O1O∥C1C,故O1O⊥底面ABCD.,,解析答案,(2)若∠CBA=60,求平面C1OB1與平面BDD1B1的夾角的余弦值.,反思與感悟,,解析答案,解 因為四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,所以四邊形ABCD是菱形,因此AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD,從而OB,OC,OO1兩兩垂直. 如圖,以O為坐標原點,OB,OC,OO1所在直線 分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系Oxyz. 不妨設AB=2.,反思與感悟,易知,n1=(0,1,0)是平面BDD1B1的一個法向量. 設n2=(x,y,z)是平面OB1C1的一個法向量,,,反思與感悟,反思與感悟,,設n1,n2分別是平面α,β的法向量,則向量n1與n2的 夾角(或其補角)就是兩個平面夾角的大小,如圖.用 坐標法的解題步驟如下: (1)建系:依據(jù)幾何條件建立適當?shù)目臻g直角坐標系. (2)求法向量:在建立的空間直角坐標系下求兩個面的法向量n1,n2. (3)計算:求n1與n2所成銳角θ,cos θ= . (4)定值:平面間的夾角就是θ.,,解析答案,跟蹤訓練2 如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1的中點,求平面AA1D與平面A1BD的夾角的余弦值.,解 如圖所示,取BC中點O,連接AO.因為△ABC是正三角形,所以AO⊥BC,因為在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1.,,解析答案,,解析答案,又BD∩BA1=B,BD平面A1BD,BA1平面A1BD, 所以AB1⊥平面A1BD,,,解析答案,題型三 兩夾角的綜合問題 例3 如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分別是線段AB、BC上的點,且EB=FB=1. (1)求平面CDE與C1DE夾角的正切值;,,解析答案,D(0,3,0),D1(0,3,2),E(3,0,0),F(xiàn)(4,1,0), C1(4,3,2).,設向量n=(x,y,z)與平面C1DE垂直,則有,取n=(-1,-1,2),則n是平面C1DE的一個法向量.,設平面CDE與C1DE的夾角為θ. 由圖知所求夾角為銳角,,,解析答案,反思與感悟,(2)求直線EC1與FD1夾角的余弦值. 解 設EC1與FD1夾角為β,則,,利用空間向量解題,大致可分采用基底法和坐標法.利用向量坐標解決立體幾何問題的關鍵在于找準位置,建立適當、正確的空間坐標系.難點是在已建好的坐標系中表示出已知點(或向量)的坐標.只有正確表達出已知點(或向量)的坐標,才能通過向量的坐標運算,實現(xiàn)幾何問題的代數(shù)化解法.,反思與感悟,,(1)求證:DE⊥EC;,解析答案,設A(x,0,0)(x0),,,解析答案,返回,(2)求平面EPC與平面DPC夾角的大小.,,解 作DG⊥PC交PC于點G,可設G(0,y,z),,解析答案,,返回,,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.若直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角是150,則l1與l2這兩條異面直線的夾角等于( ) A.30 B.150 C.30或150 D.以上均錯,A,答案,1,2,3,4,5,,解析答案,2.已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面的夾角的大小為( ) A.45 B.135 C.45或135 D.90,A,∴二面角的大小為45.,1,2,3,4,5,,解析答案,A.60 B.90 C.105 D.75 解析 建立如圖所示的空間直角坐標系,設BB1=1,則A(0,0,1),,B,即AB1與C1B所成角的大小為90.,,解析答案,1,2,3,4,5,4.已知點A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),則平面ABC與平面xOy夾角的余弦 值為____.,1,2,3,4,5,,解析答案,5.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,則異面 直線A1B與B1C所成角的余弦值為_____. 解析 如圖,建立空間直角坐標系. 由已知得A1(4,0,0),B(4,4,3),B1(4,4,0),C(0,4,3).,,課堂小結,利用空間向量求角的基本思路是把空間角轉(zhuǎn)化為求兩個向量之間的關系.首先要找出并利用空間直角坐標系或基向量(有明顯的線面垂直關系時盡量建系)表示出向量;其次理清要求角和兩個向量夾角之間的關系.,,返回,- 配套講稿:
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- 高中數(shù)學 第二章 空間向量與立體幾何 5.1-5.2 直線間的夾角、平面間的夾角課件 北師大版選修2-1 第二 空間 向量 立體幾何 5.1 5.2 直線 夾角 平面 課件 北師大 選修
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