高等數(shù)學(xué)之傅立葉級(jí)數(shù)

單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,*,第七節(jié) 傅立葉級(jí)數(shù),三角級(jí)數(shù),由三角函數(shù)組成的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),一、三角級(jí)數(shù) 三角函數(shù)系的正交性,三角級(jí)數(shù),形如：,（1）,其中,為常數(shù).,三角函數(shù)系:,（2）,三角函數(shù)系的正交性:,（,1,）中任何不同的兩個(gè)函數(shù)之積在,上的積分等于零;,（2）中任何兩個(gè)相同函數(shù)之積在,上的積分不等于零.,1,即,為奇函數(shù),）,2,二、函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù),設(shè),是以,為周期的周期函數(shù)，,且能展開成三角級(jí)數(shù)：,（1）,問題：,怎樣確定系數(shù),1.,先求,對(duì)（1）式從,到,逐項(xiàng)積分:,3,=0,類似,(2)稱為函數(shù),的,傅立葉系數(shù),.,綜上可得,(2),2.,再求,用,乘(1)式兩邊,到,逐項(xiàng)積分:,再從,4,傅立葉系數(shù)所構(gòu)成的三角級(jí)數(shù):,(3),(3)稱為函數(shù),的,傅立葉級(jí)數(shù),.,在什么條件下,其傅立葉級(jí)數(shù)(3)收斂于,即,滿足什么條件時(shí),可以展成傅立葉級(jí)數(shù)?,問題:,5,收斂定理,（狄利克雷充分條件）,設(shè),是周期為,的周期函數(shù),若它,滿足條件,:,1).,在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);,2).,在一個(gè)周期內(nèi)至多有有限個(gè)極值點(diǎn).,則,的傅立葉級(jí)數(shù)收斂,并且,(1).,當(dāng),是,的連續(xù)點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于,(2).,當(dāng),是,的間斷點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于,只要函數(shù),在,上至多有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),并且不作無限次振動(dòng)，,則,的傅立葉級(jí)數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處,在間斷點(diǎn)處收斂于該點(diǎn)左右極限的算術(shù)平均值.,說明,收斂于,6,例1,.,設(shè),是周期為,的周期函數(shù),它在,上表達(dá)式為:,將,展開成傅立葉級(jí)數(shù).,解,顯然該函數(shù)在,處不連續(xù).,x,y,o,-1,1,該函數(shù)滿足收斂定理的條件,的圖形為:,處收斂于,的傅立葉級(jí)數(shù)在點(diǎn),所以,在其它點(diǎn)處收斂于,f,(,x,),的傅立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)圖形為:,x,y,o,-1,1,7,所以，函數(shù),的傅立葉級(jí)數(shù)展開式為：,8,例2,.,設(shè),是周期為,的周期函數(shù),它在,上表達(dá)式為:,將,展開成傅立葉級(jí)數(shù).,解,的圖形為:,顯然該函數(shù)在,處不連續(xù).,處收斂于,該函數(shù)滿足收斂定理的條件,所以,的傅立葉級(jí)數(shù)在,在其它點(diǎn)處收斂于,9,f,(,x,),的傅立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)圖形為:,10,所以，函數(shù),的傅立葉級(jí)數(shù)展開式為：,11,說明：,若,只是定義在區(qū)間,上，,則,也可以展成傅立葉級(jí)數(shù).,且滿足收斂定理的條件，,方法:,1).,將,進(jìn)行,周期延拓。,函數(shù),2).,將,展開成傅立葉級(jí)數(shù),3).,當(dāng),限制在,內(nèi),此時(shí),這樣便得到,的傅立葉級(jí)數(shù)展式.,該級(jí)數(shù)在,處收斂于,在,或,外補(bǔ)充函數(shù),的定義，,使,其拓廣成周期為,12,例3.將函數(shù),展開成傅立葉級(jí)數(shù).,解,在,上滿足收斂定理的條件,將,進(jìn)行周期延拓,延拓后的函數(shù),為周期為,的周期函數(shù),且在,內(nèi),的傅立葉級(jí)數(shù)在,內(nèi)收斂于,而在,處,收斂于,的傅立葉級(jí)數(shù)在,上收斂于,即,13,書,P303,所以，函數(shù),的傅立葉級(jí)數(shù)展開式為：,14,小結(jié),1.三角函數(shù)系及其正交性,2.周期為 2,的函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù),3.收斂定理,15,