山西大同南郊區(qū)2015屆二輪復習專題七：排列、組合、二項式定理

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1、2015專題七：排列、組合、二項式定理 一、核心知識點歸納： 一、分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 1 .分類加法計數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案， 在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法.那 么完成這件事共有 N = m+ n種不同方法. 2 .分步乘法計數(shù)原理 完成一件事需要兩個步驟，做第 1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件 事共有N = mx n種不同的方法. 注息： 1 .分類加法計數(shù)原理在使用時易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨立 的. 2 .分步乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法

2、只是完成這件事的一部分，而未完成這件事， 步步之間是相關聯(lián)的. 二、排列與組合 1 .排列與排列數(shù) (1)排列: 從n個不同元素中取出 m(m< n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n個不同元素中取出 m 個元素的一個排列. (2)排列數(shù)： 從n個不同元素中取出 m(mwn)個元素的所有不同排列的個數(shù)，口4做從 n個不同元素中取出 m個元 素的排列數(shù)，記作 Am. 2 .組合與組合數(shù) (1)組合：從n個不同元素中取出 m(mw n)個元素合成一組，叫做從 n個不同元素中取出 m個元素的 一個組合. (2)組合數(shù)：從n個不同元素中取出 m(m< n)個元素的所有不同組

3、合的個數(shù)：叫做從 n個不同元素中 取出m個元素的組合數(shù)，記作 Cmn. 3 .排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質 公 式 排列數(shù)公式 Am= n(n — 1)(n — 2) -(n —m+ 1) _ n! (n — m ) 組合數(shù)公式 m_Am Cn - A m A m n(n — 1)?(n— m+ 1) m! _ n! m! (n— m )! 性 質 (1)An=n!_; (2)0! =1 (1)C0 = 1； (2)Cm = CF_； (3)Cm+Cm1=Cm+1 備 注 n, m€ N*且 m< n 汪思： 1 .易混淆排列與組合問題，

4、區(qū)分的關鍵是看選出的元素是否與順序有關，排列問題與順序有關，組 合問題與順序無關. 2 .計算 Am時易錯算為 n(n-1)(n-2) - (n- m). 3 .易混淆排列與排列數(shù)，排列是一個具體的排法，不是數(shù)是一件事，而排列數(shù)是所有排列的個數(shù)， 是一個正整數(shù). 4 .排列問題與組合問題的識別方法： 識別方法 排列 若交換某兩個兀素的位置對結果產(chǎn)生影響，則是排列問題，即排列問題與選取兀素 順序有關 組合 若交換某兩個兀素的位置對結果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取兀素 順序無關 5 .組合數(shù)的性質中(2)的應用主要是兩個方面，一個簡化運算，當 m>2時，通常將

5、計算 Cm轉化為計 算C二m二是列等式，由 &=cy可得x=y或x+ v= n.性質⑶主要用于恒等變形簡化運算. 三、二項式定理 1 .二項式定理 (1)定理：公式(a+b)n = cnan+C1anTb+…+ dan—kbk+…+ Cnbn(nC N*)叫做二項式定理. (2)通項：Tk+i = Cnan kbk為展開式的第k+ 1項. 2 .二項式系數(shù)與項的系數(shù) (1)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù) cn(kC{0,1,…，n})叫做二項式系數(shù). (2)項的系數(shù)：項的系數(shù)是該項中非字母因數(shù)部分，包括符號等，與二項式系數(shù)是兩個不同的概念. 3 .二項式系數(shù)的性質 性質

6、 內(nèi)容 對稱性 與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等,即 Cm=Cn m 增減性 當kv *時，二項式系數(shù)逐漸增大； , n+ 1 , 一，一，，一，一，， 當女>守時，二項式系數(shù)逐漸減小 取大值 當n是偶數(shù)時，中間一項 /2+1項j的二項式系數(shù)最大，最大值為 C n2 ; 當n是奇數(shù)時，中間兩項 了1項和第n ~21+1項）的二項式系數(shù)相等，且 n—1 n+1 同時取得最大值，最大值為 Cn〒或Cn工 4 .各二項式系數(shù)的和 （a+b）n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于 2n,即C土CC土二 Cjj+…+冕=2n. 二項展開式中，偶數(shù)項的

7、二項式系數(shù)的和等于奇刎的二項式系數(shù)的和，即 儲+C：+第+…=C0+ o| +C：+…=2n 1. 一、/ 在思 1 .二項式的通項易誤認為是第 k項實質上是第k+ 1項. 2 . （a+b）n與（b+a）n雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不相同的，所以公式中的第一個量 a與第二個量b的位置不能顛倒. 3 .易混淆二項式中的“項”，“項的系數(shù)”、“項的二項式系數(shù)”等概念，注意項的系數(shù)是指非字 母因數(shù)所有部分，包含符號，二項式系數(shù)僅指 d%=0,1,…，n）. 二、典型例題講解： 一、計數(shù)原理 考點一 分類加法計數(shù)原理 防自主練透型 1 .在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)

8、字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有 （ ） A. 50 個 B. 45 個 C. 36 個 D. 35 個 解析：選C 利用分類加法計數(shù)原理： 8+7+6+ 5+ 4+3 + 2+1 = 36（個）. 2.五名籃球運動員比賽前將外衣放在休息室，比賽后都回到休息室取衣服.由于燈光暗淡，看不清 自己的外衣，則至少有兩人拿對自己的外衣的情況有 （ ） A. 30 種 B. 31 種 C. 35 種 D. 40 種 解析：選B 分類：第一類，兩人拿對： 2XC2 5= 20種；第二類，三人拿對： C35=10種；第三類， 四人拿對與五人拿對一樣，所以有 1種.故共有20+10+1 = 31

9、種. 3. （2013三門峽模擬）有4位教師在同一年級的 4個班中各教一個班的數(shù)學，在數(shù)學檢測時要求每位 教師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有 （ ） A. 8種 B. 9種 C. 10 種 D. 11 種 解析：選B 設四位監(jiān)考教師分別為 A, B, C, D,所教班分別為a, b, c, d,假設A監(jiān)考b,則余 下三人監(jiān)考剩下的三個班，共有 3種不同方法，同理 A監(jiān)考c, d時，也分別有3種不同方法，由分類加 法計數(shù)原理共有 3 + 3+3=9（種）. 考點二 分步乘法計數(shù)原理 防和生共耐型 ［典例］ P 三棱 柱 AiBiCi不涂 共有c3 x C2 （20

10、14本溪模擬）如圖所示的幾何體是由一個正三棱錐 P-ABC與正 _/弋\ ABC-AiBiCi組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面染色 （底面 色），要求相鄰的面均不同色，則不同的染色方案共有 種. 八二；二71G ［解析］先涂三棱錐P-ABC的三個側面，然后涂三棱柱的三個側面， 阻 XC：XC2=3X2X ix 2=i2種不同的涂法. ［答案］i2 ［針對訓練］ 在航天員進行的一項太空實驗中，先后要實施 6個程序，其中程序 A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步, 程序B和C實施時必須相鄰，則實驗順序的編排方法共有 （ ） A. 24 種 B. 48 種 C. 96 種 D

11、. i44 種 解析：選C 第一步安排A有2種方法；第二步在剩余的 5個位置選取相鄰的兩個排 B, C,有4種 排法，而B, C位置互換有2種方法； 第三步安排剩余的3個程序，有A3種排法，共有2X4X2X A，= 96種. 考點三 兩個原理的綜合應用 院師生共砰型 ［典例］（20i4黃?岡質檢）設集合I = {i,2,3,4,5},選擇集合I的兩個非空子集 A和B,若集合B中最小 的元素大于集合 A中最大的元素，則不同的選擇方法共有 （ ） A. 50 種 B. 49 種 C . 48 種 D . 47 種 ［解析］從5個元素中選出2個元素，小的給集合 A,大的給集

12、合B,有C2= i0種選擇方法；從5個 元素中選出3個元素，有C5 = i0種選擇方法，再把這 3個元素從小到大排列，中間有 2個空，用一個隔 板將其隔開，一邊給集合 A, 一邊2合集合 B,方法種數(shù)是2,故此時有i0X 2 = 20種選擇方法；從5個元 素中選出4個元素，有C4=5種選擇方法，從小到大排列，中間有 3個空，用一個隔板將其隔開，一邊給 集合A, 一邊給集合B,方法種數(shù)是3,故此時有5X3=i5種選擇方法；從5個元素中選出5個元素，有 C5=i種選擇方法，同理隔開方法有 4種，故此時有iX4=4種選擇方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，總計 為i0+20+i5+4 = 49種選擇方

13、法.故選 B. ［答案］B —| 本例中條件若變?yōu)椤?A={i,2,3,4} , B = {5,6,7} , C = {8,9}現(xiàn)從中取出兩個集合， 再從這兩個 題 蓼 集合中各取出一個元素，組成一個含有兩個元素的集合”，則可以組成多少個集合？ 變 解：⑴選集合A, B,有C4C3=i2; (2)選集合 A, C,有 C4C2=8； ⑶選集合B, C,有C1C2=6; 故可以組成12+ 8+6=26個集合. ［針對訓練］ 上海某區(qū)政府召集 5家企業(yè)的負責人開年終總結經(jīng)驗交流會，其中甲企業(yè)有 2人到會，其余4家企業(yè) 各有1人到會，會上推選 3人發(fā)言，則這3人來自3家不同企業(yè)

14、的可能情況的種數(shù)為 . 解析：若3人中有一人來自甲企業(yè)，則共有 C2c4種情況，若3人中沒有甲企業(yè)的，則共有 C4種情況， 由分類加法計數(shù)原理可得，這 3人來自3家不同企業(yè)的可能情況共有 C2c4+c4=16（種）. 答案：16 二、排列組合 考點一 排列問題 卜自豐練透型 1 .數(shù)列｛ an｝共有六項，其中四項為 1,其余兩項各不相同，則滿足上述條件的數(shù)列 ｛ an｝共有（ ） A. 30 個 B. 31 個 C. 60 個 D. 61 個 解析：選A 在數(shù)列的六項中，只要考慮兩個非 1的項的位置，即得不同數(shù)列，共有 A2=30個不同 的數(shù)列. 2. （2013

15、東北三校聯(lián)考）在數(shù)字1,2,3與符號“ + ”，“―”這五個元素的所有全排列中，任意兩個數(shù) 字都不相鄰的全排列方法共有 （） A. 6 種 B. 12 種 C. 18 種 D. 24 種 解析：選B本題主要考查某些元素不相鄰的問題，先排符號 “ + ”，“― ”，有A2種排列方法，此 時兩個符號中間與兩端共有 3個空位，把數(shù)字1,2,3 “插空”，有A3種排列方法，因此滿足題目要求的排 列方法共有A2A3=12種. 3. （2013西安檢測）8名游泳運動員參加男子 100米的決賽，已知游泳池有從內(nèi)到外編號依次為 1,2,3,4,5,6,7,8的8條泳道，若指定的3名運動員所在的泳

16、道編號必須是 3個連續(xù)數(shù)字（如：5,6,7）,則參加 游泳的這8名運動員被安排泳道的方式共有 （ ） A. 360 種 B. 4 320 種 C. 720 種 D. 2 160 種 解析：選B 法一：先從8個數(shù)字中取出3個連續(xù)的數(shù)字共有 6種方法，將指定的3名運動員安排在 這3個編號的泳道上，剩下的 5名運動員安排在其他編號的 5條泳道上，共有6A3A5= 4 320種安排方式. 法二：先將所在的泳道編號是 3個連續(xù)數(shù)字的3名運動員全排列，有A3種排法，然后把他們捆綁在一 起當作一名運動員，再與剩余 5名運動員全排列，有 A6種排法，故共有 A3A6=4 320種安排方式. ［類題

17、通法］ 求解排列應用題的主要方法 直接法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計算 優(yōu)先法 優(yōu)先安排特殊兀素或特殊位置 捆綁法 把相鄰兀素看作一個整體與其他兀素一起排列，同時注意捆綁兀素的內(nèi)部排列 插空法 對不相鄰問題，先考慮/、受限制的兀素的排列，再將不相鄰的兀素插在前面兀 素排列的空檔中 先整體 后局部 “小集團”排列問題中先整體后局部 定序問題 除法處理 對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 間接法 正難則反，等價轉化的方法 考點二 組合問題 ＞幣生共研型 ［典例］（2013重慶高考）從3名骨科、4名腦外科

18、和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派 5人組成一個抗震救災醫(yī)療小 組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有 1人的選派方法種數(shù)是 （用數(shù)字作答）. ［解析］直接法分類，3名骨科，內(nèi)科、腦外科各 1名；3名腦外科，骨科、內(nèi)科各 1名；3名內(nèi)科， 骨科、腦外科各1名；內(nèi)科、腦外科各 2名，骨科1名；骨科、內(nèi)科各 2名，腦外科1名；骨科、腦外科 各 2 名,內(nèi)科 1 名.所以選派種數(shù)為 c3 c4 C1+C3 c3 c5+c3 c1 c4+c4 c2c3+c3 c2 c4+c2 c2 c5= 590. ［答案］590 ［針對訓練］ （2013四平質檢）從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求

19、其中男、女醫(yī)生 都有，則不同的組隊方案共有 （ ） A. 70 種 B. 80 種 C. 100 種 D. 140 種 解析：選A 法一（間接法）：當選擇的3名醫(yī)生都是男醫(yī)生或都是女醫(yī)生時，共有 C3+C4=14種組隊 方案.當從9名醫(yī)生中選擇3名醫(yī)生時，共有 C3= 84種組隊方案，所以男、女醫(yī)生都有的組隊方案共有 84—14= 70 種. 法二（直接法）：當小分隊中有1名女醫(yī)生時，有 C4c2= 40種組隊方案；當小分隊中有 2名女醫(yī)生時， 有C2c5 =30種組隊方案，故共有 70種不同的組隊方案. 考點三 分組分配問題 ＞多維探究型 角度一整體均分問題 1

20、.國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分 到相應的地區(qū)任教.現(xiàn)有 6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到 3所學校去任教，有 種 不同的分派方法. 8 。2。2。2 0 解析：先把6個畢業(yè)生平均分成 3組，有 方法，故6個畢業(yè)生平均分到 3所學校，共有 C6C3C2種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學校，有a3=6種 A3 「20202 一 3— A 3 = 90種分派方法. A3 答案：90 角度二 部分均分問題 2 .將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁 4個人，每人至少1本的不同分法共有 種.（用數(shù)字 作答）

21、 解析：把6本不同的書分成 4組，每組至少1本的分法有2種. 「301010！ ①有1組3本，其余3組每組1本，不同的分法共有 C6C3C2C1 = 20種; A3 ②有2組每組2本，其余 2組每組1本，不同的分法共有 C6C2 c2c 2 A2 A2 1 1=45 種. 所以不同的分組方法共有 20+45=65 種. 11 然后把分好的4組書分給 4個人，所以不同的分法共有 65XA4= 1 560種. 答案：1 560 角度三不等分問題 3 .將6名教師分到3所中學任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有 種不同的分法. 解析：將6名

22、教師分組，分三步完成: 第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有 C1種取法； 第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有 C5種取法; 第3步，余下的3名教師作為一組，有 C3種取法. 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有 c6c5c3 = 60種取法. 再將這3組教師分配到3所中學，有a3=6種分法， 故共有60X 6 = 360種不同的分法. 答案：360 三、二項式定理 考點一二項式中的特定項或特定項的系數(shù)A自主填透型 1 . （2013江西高考）卜2—3」5展開式中的常數(shù)項為（） A. 80 B. — 80 C. 40 D. — 40 解析：選 C Tr+1 =

23、C5（x2）"r F j J=C5 （―2）r x10-5「，令 10—5r=0,彳# r= 2,故常數(shù)項為 C5x（— 2）2= 40. 2. （2014浙江五校聯(lián)考）在卜2+：，5的展開式中x的系數(shù)為（） C. 20 D. 40 解析：選 B ???「+〔 = C5(x2)"re；r=C5x10—3r,，X 的系數(shù)為 c5=10,故選 B. 3. (2013安徽高考)若 的展開式中 x4的系數(shù)為7,則實數(shù)a = 解析：二項式x+f-f展開式的通項為 8 4r Tr+i = Cfarx -3,，令 8-^r=4,可得 r=3,故 C3a3 = 7,易得

24、 3 1 a = 2. , 1 答案：2 ［類題通法］ 求二項展開式中的指定項，一般是利用通項公式進行化簡通項公式后， 令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù) 項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等 )，解出項數(shù)r+1,代回通項公式即可. 考點二 二項式系數(shù)和或各項系數(shù)和問題 ＞網(wǎng)生共研理 (3x_^\A__ 1 ［典例］(1)(2014北京西城一模)若3x 3卜m的展開式中二項式系數(shù)之和為 128,則展開式中y的系 I 電x J x 數(shù)是( ) A. 21 B. -21 C. 7 D. —7 (2)(2013 成都診斷)若(1—2x)4=aO + aix+ a2+a3x3

25、+a4x4,則 a1 + a2+a3+a4=. (_ 7 包 ［解析］(1)--2m=128,，m=7, ???展開式的通項 Tr+i=C7(3x)7- g r= C73 (—1)rx 3,令 7 -|r=-3,解得 r = 6, .?弓的系數(shù)為 C637 6(- 1)6= 21,故選 A. 3 x (2)令 x=1 可得 a0+ai+a2+a3+a4=1,令 x=0,可得 a0=1,所以 a1 + a2 + a3+a4=0. ［答案］(1)A (2)0 一題 多能 在本例(2)中條件不變，問題變?yōu)椤扒?同+必1|+忸2|+咫|+忸4|的值”. 解：由題意知(1 + 2x)4

26、= aO+|ai|x+|a2|x2+|a3|x3+|a4|x4,令 x= 1 得 a+|ai|+|a2|+|a3|+|a4|= 34=81. ［針對訓練］ 口" s2 013 2 2 013 a1 , a2 32013 右(1—2x) = a0+a［x+ a2x + …+ a2 0i3x ,則？ + ??+…+ 22013 =. 解析：當x= 0時，左邊=1,右邊=a。，，a0=1. 當x=2時，左邊=0,右邊=ap+al+al?+…+界建， --- o= i+a21"+ a?+ …+!2^. 即 a1■+ a2+ …+ a2 013 = — 1 2 2 2 答案：—1

27、考點三 多項式展開式中的特定項（系數(shù)問題）〉多維探究型 在高考中，常常涉及一些多項式二項式問題，主要考查學生的化歸能力, 歸納起來常見的命題角度有： （1 "個多項式和的展開式中的特定項 （系數(shù) 戶題； （2肘個多項式積的展開式中的特定項 （系數(shù) 列題； （3『項展開式中的特定項（系數(shù)劉題. 角度一 幾個多項式和的展開式中的特定項問題 1 .g—2 4+j+X）的展開式中的常數(shù)項為（） A. 32 B. 34 C. 36 D. 38 解析：選 D E3—2 4 的展開式的通項為 Tm+1=CT（x3）4—m 1— X ,m=cm（-2）mx12 4m,令 12 —4m= 0,

28、解 得m=3, k+XI8的展開式的通項為 Tn+1=Cnx8—ng；n=C8x8-2n,令8-2n=0,解得n=4,所以所求常數(shù) 項為 C3（ —2）3+c8 = 38. 角度二 幾個多項式積的展開式中的特定項 （系數(shù)）問題 2. （2013全國課標卷H ）已知（1+ax）（1+x）5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a=（ ） A. —4 B.-3 C. —2 D. - 1 解析：選D 展開式中含x2的系數(shù)為c2+aC5=5,解得a=-1,故選D. 角度三三項展開式中特定項（系數(shù)）問題 3. j|+1+42｝的展開式中的常數(shù)項為 .（用數(shù)字作答） 解析：原式=：+2產(chǎn)+2尸點[（x+啦）2]5=32%（x+V2）10. 求原式的展開式中的常數(shù)項，轉化為求 （x+，2）10的展開式中含x5項的系數(shù)，即c1o《/2）5. 所以所求的常數(shù)項為 C50 ( .2)5= 63 2 32 — 2 答案：歲