《分解因式》中考熱點透視

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1、精品資源 《分解因式》中考熱點透視 《分解因式》一章中，我們主要學(xué)習(xí)了分解因式的概念、會用兩種方法分解因式，即提公因式法、平 方差公式和完全平方公式（直接用公式不超過兩次）進行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)） .具體要求有： 1、經(jīng)歷探索分解因式方法的過程，體會數(shù)學(xué)知識之間的整體（整式乘法與因式分解）聯(lián)系 ^ 2、了解因式分解的意義，會用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超過兩次） 進行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)） ^ 3、通過乘法公式：（a + b ） （a - b ） =a - b 2, （ab） 2= a2 + 2ab + b 2的逆向變形，進一步發(fā)展觀 察、歸納、類

2、比、概括等能力，發(fā)展有條理思考及語言表達能力 ^ 在中考中，除了考查對一個整式進行分解因式等常規(guī)題型外， 因式分解作為一種重要的解題方法和工 具，經(jīng)常出現(xiàn)于各種題型中，以下幾種就值得引起注意 ^ 一、構(gòu)造求值型 1 2 1 2 例1 （2004山西）已知x+y=1,那么一x +xy+—y的值為 ^ 2 2 分析：通過已知條件，不能分別求出 x、y的值，所以要考慮把所求式進行變形，構(gòu)造出 x+y的整體 形式.在此過程中我們要用完全平方公式對因式分解中的 ^ 1 2 12 1/2 2、1 212 1 1 —x + xy + — y = — （x+2xy+y ） = — （x+

3、y） =—父1= 一父1 = 一. 2 2 2 2 2 2 2 1 在此過程中，我們先提取公因式 1,再用完全平方公式對原式進行因式分解，產(chǎn)生 x+y的整體形式， 2 最后將x+y=1代入求出最終結(jié)果. 例 2 （2004 廣西桂林）計算：2 —22 -23 — ,,-218 -219 + 220 =. 分析：為了便于觀察，我們將原式“倒過來” ，即 原式=220 _219 _218 一 …一23 一22 ? 2 =219(2 -1) -218 - -23 -22 2 =219 -218 - -23 - 22 2 =218(2 -1)- -23 - 2 2 2 218

4、―…-23 -22 2 =22 + 2 = 4+2 = 6. 此題的解題過程中，巧妙地用到了提公因式法進行分解因式，使結(jié)構(gòu)特點明朗化，規(guī)律凸現(xiàn)出來 題解法很多，比如，我們還可以采用整體思想，把原式看作一個整體，利用方程與提公因式法分解因式相 結(jié)合的方法解答此題. 2 3 18 19 20 2 3 18 19 20 設(shè) M = 2 —2 — 2 一…—2 -2 +2 ，則-M = -2+2 +2 + ,,,+2 +2 - 2 M =2(1 -2 -22 - -218 219) =2[1 -(2 22 - ^218 -219)] =2[1 -(-M 4- 2 219 220)] = 2M

5、 -6 即 解得 M = 2M -6. M = 6. 二、探索規(guī)律型 例3(2002福建福州)觀察下列各式：12+1=1 X 2, 22+2=2X 3, 32+3= 3X 4,…… 請你將猜想到的規(guī)律用自然數(shù) n(n > 1)表示出來. 分析：根據(jù)題意，不難猜想到規(guī)律： n2+n=n(n+1). 這個結(jié)論就是用提公因式法把 n2+n進行了因式分解. 例4 (2003青海)請先觀察下列算式，再填空： 32 -12 =8乂1 , 52 -32 =8x2 . (1) 72 -52 =8X; ，一、 2 2 一 ⑵ 9 — (—) =8X4； (3) () 2 —92

6、= 8X5； (4) 132 — (—) 2=8X;…… 通過觀察歸納，寫出反映這種規(guī)律的一般結(jié)論： . 分析：類比各式，可以發(fā)現(xiàn)： (1) 72 -52 =8X 3 : ，一、 2 2 一 (2) 9 —())=8X4; (3) ( 11 ) 2 -92=8X5； (4) 132 - ( 11 ) 2 = 8X 7 ；…… 通過觀察歸納，得到這種規(guī)律的一般結(jié)論是兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被 8整除(或說是8的倍數(shù)) 如果我們分別用2n+1和2n-1表示兩個相鄰的奇數(shù)，則利用平方差公式，有 (2n+1)2 - (2n-1)2 = [(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-

7、(2n-1)] = 4n x 2 = 8n. 三、開放創(chuàng)新型 例5 (2003福建南平)請寫出一個三項式，使它能先提公因式，在運用公式來分解 ^ 你編寫的三項式是,分解因式的結(jié)果是. 分析：利用整式乘法與因式分解的互逆關(guān)系， 可以先利用乘法公式中的完全平方公式， 寫出一個等式, 在它的兩邊都乘一個因式，比如 2m(m+n)2 = 2m(m 2+2mn+K)=2m3+2n2n+2mr2, 3a(2x-5y) 2=3a[(2x) 2-2 x 2xX 5y+(5y) 2]=3a(4x 2-20xy+25y 2)=12ax2-60axy+75ay 2,等等. 于是編寫的三項式可以是 2

8、n3+2m!n+2mr2，分解因式的結(jié)果是 2m(m+n)2; 或者編寫的三項式可以是 12ax2-60axy+75ay 2,分解因式的結(jié)果是 3a(2x-5y) 2,等等. 例6 (2003四川)多項式9x2 + 1加上一個單項式后，使它能成為一個整式的完全平方，那么加上的 單項式可以是(填上二個你認為正確的即可). 分析：根據(jù)完全平方公式 a22ab+b2= （a b）2的特點，若9x2 +1表示了 a2+b2的話，則有a=3x, b=1 , 所以，缺少的一項為土 2ab=2 （3x） ? 1=6x,此時，9x2 + 1 6x=（3x1）2;如果認為 9x2 + 1 表示了 2a

9、b+b2 的話，貝 U有 a=4.5x2, b=1 ,所以，缺少的一項為 a2=（4.5x） 2= 20.25x4,此時，20.25x4+9x2+ 1=（4.5x2+1）2. 從另外一個角度考慮，“一個整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多項式，也 可以是單項式.注意到9x2=（3x）2, 1=12,所以，保留二項式 9x2 + 1中的任何一項，都是“一個整式的完 全平方”，故所加單項式還可以是-1或者-9x2,此時有9x2 + 1 -1=9x2=（3x）2,或者9x2 + 1 -9x2=12. 綜上分析，可知所加上的單項式可以是土 6x、20.25x4、-1或者-9x2.

10、 四、數(shù)形結(jié)合型 例7 （2002陜西）如圖1,在長為a的正方形中挖掉一個邊長為 b的小正方形（a >b）把余下的部分剪 拼成一個矩形（如圖2）,通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，則這個等式是（D ） ? ? ? ? 2 歡下載 A . B . C . D . a2 — b2 = (a 十 b)(a — b) (a + b)2 = a2 + 2ab 十 b2 (a — b) 2 = a2— 2ab+ b2 (a 十 2b)(a — b) = = a2+ ab — 2b2 分析：圖1表示白是a2- b2,圖2表示的是（a十b）（

11、a—b）,兩者面積相等，所以a2—b2= （a十b）（a —b）. 故選A . 3,依據(jù)圖形面積間的關(guān)系，不需要添加輔助線，便 例8 （2002年山東省濟南市中考題）請你觀察圖 可得到一個你非常熟悉的公式，這個公式是 圖3 分析：圖中所表示的整個正方形的面積是 x2,兩個小正方形的面積分別是 y2與（x-y） 2,利用這些數(shù) 據(jù)關(guān)系，結(jié)合圖形便可以寫出以下公式： x -2xy+y = （x-y）,或者 x -y = （x+y）（x-y）. 當(dāng)然，在沒有限定的情況下，也能寫成乘法公式 ^ 根據(jù)幾何圖形的特征，研究其中蘊含的數(shù)學(xué)公式，是“數(shù)形結(jié)合思想”的具體體現(xiàn) ^ 例9 （

12、2003山西）有若干張如圖 4所示的正方形和長方形卡片， ⑴ b b (2) b a ⑶ 表中所列四種方案能拼成邊長為 （a +b ）的正方形的是（ \數(shù)量G"7 力殺\ (1) (2) (3) A 1 1 2 B 1 1 1 C 1 2 1 D 2 1 1 ) 分析：此題的本意就是判斷哪些卡片的面積之和是（ a+b） 2. 因為 a2+2ab+b2= （a+b） 和ab,它們分別需要1張、 例10 （2003山西太原） 不同表示方法寫出一個關(guān)于 2,對照圖4所示的正方形和長方形卡片，可知三種卡片的面積分別為 1張、2張.由此可選出正確答案為 A. 如圖 5是用四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請利用圖中空白部分的面積的 a、b的恒等式 a2、b2 b 圖5 分析：外框圍成的大正方形面積為 （a+b）2,4個矩形的面積之和為 4ab,中間的空白部分的面積為（a-b） 2. 于是，可以列出等式（a+b） 2-4ab = （a-b） 2. 對于它的正確性，可以用因式分解的方法證明： （a+b） 2-4ab =a 2+2ab+b2-4ab = a 2-2ab+b2 = （a-b） 2.