知識講解 獨立重復試驗與二項分布(理)(提高)

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1、獨立重復試驗與二項分布 【學習目標】 1．理解n次獨立重復試驗模型及二項分布． 2．能利用n次獨立重復試驗及二項分布解決一些簡單的實際問題． 【要點梳理】 要點一、n次獨立重復試驗 每次試驗只考慮兩種可能結(jié)果與，并且事件發(fā)生的概率相同。在相同的條件下重復地做次試驗，各次試驗的結(jié)果相互獨立，稱為次獨立重復試驗。 要點詮釋： 在次獨立重復試驗中，一定要抓住四點： ①每次試驗在同樣的條件下進行； ②每次試驗只有兩種結(jié)果與，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生； ③每次試驗中，某事件發(fā)生的概率是相同的； ④各次試驗之間相互獨立。 總之，獨立重復試驗，是在同樣的條件下重復

2、的，各次之間相互獨立地進行的一種試驗，在這種試驗中，每一次的試驗結(jié)果只有兩種，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的。 要點二、獨立重復試驗的概率公式 1.定義 如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為P，那么n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為： （k=0，1，2，…，n）． 令得，在n次獨立重復試驗中，事件A沒有發(fā)生的概率為 令得，在n次獨立重復試驗中，事件A全部發(fā)生的概率為。 要點詮釋： 1. 在公式中，n是獨立重復試驗的次數(shù)，p是一次試驗中某事件A發(fā)生的概率，k是在n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生的次數(shù)，只有弄清公式中n，p，k的意義，

3、才能正確地運用公式． 2. 獨立重復試驗是相互獨立事件的特例，就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只是有“恰好”字樣的用獨立重復試驗的概率公式計算更方便． 要點三、n次獨立重復試驗常見實例： 1.反復拋擲一枚均勻硬幣 2.已知產(chǎn)品率的抽樣 3.有放回的抽樣 4.射手射擊目標命中率已知的若干次射擊 要點詮釋： 抽樣問題中的獨立重復試驗模型： ①從產(chǎn)品中有放回地抽樣是獨立事件，可按獨立重復試驗來處理； ②從小數(shù)量的產(chǎn)品中無放回地抽樣不是獨立事件，只能用等可能事件計算； ③從大批量的產(chǎn)品中無放回地抽樣，每次得到某種事件的概率是不一樣的，但由于差別太小，相當于是獨立事件，所以一般情

4、況下仍按獨立重復試驗來處理。 要點四、離散型隨機變量的二項分布 1. 定義： 在一次隨機試驗中，事件A可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)是一個離散型隨機變量．如果在一次試驗中事件A發(fā)生的概率是，則此事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生次的概率是 ，（）． 于是得到離散型隨機變量的概率分布如下： ξ 0 1 … k … n P … … 由于表中第二行恰好是二項展開式 中各對應項的值，所以稱這樣的隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布，記作． 要點詮釋： 判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關(guān)鍵有三： 其一是獨

5、立性。即每次試驗的結(jié)果是相互獨立的； 其二是重復性。即試驗獨立重復地進行了n次； 其三是試驗的結(jié)果的獨特性。即一次試驗中，事件發(fā)生與不發(fā)生，二者必居其一。 2．如何求有關(guān)的二項分布 （1）分清楚在n次獨立重復試驗中，共進行了多少次重復試驗，即先確定n的值，然后確定在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是多少，即確定p的值，最后再確定某事件A恰好發(fā)生了多少次，即確定k的值； （2）準確算出每一種情況下，某事件A發(fā)生的概率； （3）用表格形式列出隨機變量的分布列。 【典型例題】 類型一、獨立重復試驗的概率 例 1．某氣象站天氣預報的準確率為80％，計算（結(jié)果保留到小數(shù)點后第2位）：

6、 （1）5次預報中恰有2次準確的概率； （2）5次預報中至少有2次準確的概率； （3）5次預報中恰有2次準確，且其中第3次預報準確的概率． 【思路點撥】5次預報相當于做了5次獨立重復試驗．利用獨立重復試驗公式即可． 【解析】（1）5次預報中恰有2次準確的概率為 ． （2）5次預報中至少有2次準確的概率為 ． （3）5次預報中恰有2次準確，且其中第3次預報準確的概率為 ． 【總結(jié)升華】 解決此類問題，首先應明確是否是n次獨立重復試驗，其次要弄清公式中n和k的值以及p的值． 舉一反三： 【變式1】甲每次投資獲利的概率是

7、p=0.8，對他進行的6次相互獨立的投資，計算： （1）有5次獲利的概率； （2）6次都獲利的概率； （3）至少5次獲利的概率． 【答案】用X表示甲在6次投資中獲利的次數(shù)，則X服從二項分布B（6，0.8），且 ， ． （1）他5次獲利的概率約等于0.39． （2）他6次都獲利的概率約等于0.26． （3）{X≥5}表示他至少5次獲利，且{X≥5}={X=5}∪{X=6}． 由于事件{X=5}和{X=6}互斥，所以 P（X≥5）=P（X=5）+P（X=6）≈0.39+0.26=0.65．

8、 故他至少5次獲利的概率約等于0.65． 【變式2】若，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D；。 【變式3】十層電梯從低層到頂層停不少于3次的概率是多少？停幾次概率最大？ 【解析】依題意，從低層到頂層停不少于3次，應包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次 ∴從低層到頂層停不少于3次的概率 設(shè)從低層到頂層停次，則其概率為， ∴當或時，最大，即最大， 答：從低層到頂層停不少于3次的概率為，停4次或5次概率最大． 例2． 甲、乙兩隊進行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊勝的概率為，沒有平局． （1）若進行三局兩勝制比賽，

9、先勝兩局者為勝，則甲獲勝的概率是多少？ （2）若進行五局三勝制比賽，則甲獲勝的概率是多少？ 【思路點撥】本題考查概率基礎(chǔ)知識、獨立重復試驗等．（1）中應先分類，甲前兩局勝，或一、三局勝，或二、三局勝．（2）中用同樣的方法分類． 【解析】（1）甲第一、二局勝，或第二、三局勝，或第一、三局勝。則 ． （2）甲前三局勝，或甲第四局勝而前三局僅勝兩局，或甲第五局勝而前四局僅勝兩局，則 ． 【總結(jié)升華】 本題中，無論比賽幾局，只要甲獲勝，必須甲在最末一局勝，如比賽3局，甲以2：1獲勝，須前兩局中甲勝一局負一局，第三局甲勝． 舉一反三： 【變式】已知乒乓球選手

10、甲、乙進行比賽，而且他們在每一局中獲勝的概率都是，規(guī)定使用“七局四勝制”，即先贏四局者勝。 （1）試求甲分別打完四局、五局、六局、七局才獲勝的概率； （2）設(shè)比賽局數(shù)為X，求離散型隨機變量X的分布列。 【答案】（1）根據(jù)比賽規(guī)定使用“七局四勝制”，即先贏四局者勝，則： ①記事件A1=“甲連勝四局”， 所以甲打完四局就獲勝的概率為： ； ②記事件A2=“在前四局比賽中甲勝三局且第五局也勝”， 所以甲打完五局才獲勝的概率為： ； ③記事件A3=“在前五局比賽中甲勝三局且第六局也勝”， 所以甲打完六局才獲勝的概率為： ； ④記事件A4=“前六局比賽中甲勝三局且第七局也勝”，

11、 所以甲打完七局才獲勝的概率為： 。 （2）由題意可知，比賽局數(shù)X的可能取值為4，5，6，7，并且每種情況比賽總有一人獲勝， 故離散型隨機變量X的分布列為 X 4 5 6 7 P 類型二、離散型隨機變量的二項分布 例3. 一袋子中有大小相同的2個紅球和3個黑球，從袋子里隨機取球，取到每個球的可能性是相同的，設(shè)取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分。 （Ⅰ）若從袋子里一次隨機取出3個球，求得4分的概率； （Ⅱ）若從袋子里每次摸出一個球，看清顏色后放回，連續(xù)摸3次，求得分的概率分布列。 【思路點撥】有放回地依次取3次，相當于三次獨立重復試驗

12、，其得分服從二項分布，故可用n次獨立重復試驗的概率公式來計算，從而寫出分布列。 【解析】（Ⅰ）設(shè)“一次取出3個球得4分”的事件記為A，它表示取出的球中有1個紅球和2個黑球的情況，則 （Ⅱ）由題意，的可能取值為3．4．5．6。因為是有放回地取球，所以每次取到紅球的概率為 的分布列為 3 4 5 6 P 【總結(jié)升華】 ①本題的關(guān)鍵是首先確定進行了三次獨立重復試驗，然后確定每次試驗的結(jié)果相互獨立，從而可知離散型隨機變量服從二項分布，然后運用n次獨立重復試驗的概率公式計算。 ②注意n次獨立重復試驗中，離散型隨機變量X服從二項分布，即，這里

13、n是獨立重復試驗的次數(shù)，p是每次試驗中某事件發(fā)生的概率。 舉一反三： 【變式1】某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%．現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，寫出其中次品數(shù)ξ的概率分布． 【答案】依題意，隨機變量ξ～B(2，5%)．所以， P(ξ=0)=(95%)=0.9025，P(ξ=1)=(5%)(95%)=0.095， P()=(5%)=0.0025． 因此，次品數(shù)ξ的概率分布是 ξ 0 1 2 P 0.9025 0.095 0.0025 【變式2】一名學生每天騎自行車上學，從家到學校的途中有5個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率

14、都是。 （1）求這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的分布列；（2）求這名學生在首次遇到紅燈或到達目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)η的分布列；（3） 這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率． 解：（1）B(5, )，ξ的分布列為P(ξ=k)=，k=0，1，2，3，4，5； （2）η的分布列為P(η=k)=p(前k個是綠燈，第k+1個是紅燈)=，k=0，1，2，3，4；P(η=5)=P(5個均為綠燈)=； （3）所求概率=P(ξ≥1)=1－P(ξ=0)=1－≈0.8683. 【變式3】一袋中有5個白球，3個紅球，每次任取一個，取出后記下球的顏色，然后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時停止，設(shè)停止時總共取了X

15、次球，求X的分布列及P（X=12）． 【答案】由題意知，X是取球次數(shù)，X=10，11，12，…，且每次取得紅球的概率是，取得白球的概率是，所以X=k（k=10，11，12…）表示取了k次球，且第k次取到的是紅球，前（k－1）次取得9次紅球． ∴X的分布列為 （k=10，11，…）， （表格略） ． 【變式4】 某射手擊中目標的概率為0.8，現(xiàn)有4發(fā)子彈，擊中目標或打完子彈就停止射擊，求射擊次數(shù)X的概率分布． 【答案】 錯解： X的可能取值是1，2，3，4． P（X=1）=0.8；； ； ． 所以X的概率分布列為 X 1

16、2 3 4 P 0.8 0.32 0.096 0.0256 錯解分析： 錯將本題理解為二項分布，本題實質(zhì)上不是二項分布，而是求事件A首次發(fā)生出現(xiàn)在第k次試驗中的概率，要使首次發(fā)生出現(xiàn)在第k次試驗，必須而且只需在前（k－1）次試驗中都出現(xiàn)． 正解 X的可能取值是1，2，3，4． P（X=1）=0.8；P（X=2）=0.20.8=0.16； P（X=3）=0.220.8=0.032；P（X=4）=0.23=0.008． 所以X的概率分布列為 X 1 2 3 4 P 0.8 0.16 0.032 0.008 類型三、獨

17、立重復試驗與二項分布綜合應用 例4.甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是 .假設(shè)兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響； 每人各次射擊是否擊中目標，相互之間也沒有影響. （１）求甲射擊4次，至少1次未擊中目標的概率； （２）假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標，則停止射擊.問:乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？ 【思路點撥】 本題的第一問是一個獨立事件同時發(fā)生的問題，每次射中目標都是相互獨立的、可以重復射擊即事件重復發(fā)生、每次都只有發(fā)生或不發(fā)生兩種情形且發(fā)生的概率是相同的.第二問解答時要認清限制條件的意義. 【解析】（1）記“甲連續(xù)射擊4次，至少1次未擊中目標”為事件A1，

18、由題意，射擊4次，相當于4次獨立重復試驗，故P（A1）= 答：甲射擊4次，至少1次未擊中目標的概率為 ； (2) 記“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件A3，“乙第i次射擊未擊中” 為事件Di，（i=1，2，3，4，5），則 ，由于各事件相互獨立， 故 答：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是 【總結(jié)升華】 射擊問題必須弄清所求目標的含義，是否為獨立重復試驗，再用排列組合知識求解。 舉一反三： 【變式1】一名射擊愛好者每次射擊命中率為0.2，必須進行多少次獨立射擊，才能使至少擊中一次的命中率， (1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？ 【答案】已知n次獨立射擊中至

19、少擊中一次的概率為； (1)要使，,必須，即射擊次數(shù)必須不小于次. (2)要使，必須，即射擊次數(shù)必須不小于次 【變式2】某射手進行射擊訓練，假設(shè)每次射擊擊中目標的概率為，且每次射擊的結(jié)果互不影響，已知射手射擊了5次，求： （1）其中只在第一、三、五次擊中目標的概率； （2）其中恰有3次擊中目標的概率； （3）其中恰有3次連續(xù)擊中目標，而其他兩次沒有擊中目標的概率。 【答案】 （1）該射手射擊了5次，其中只在第一、三、五次擊中目標， 相當于射擊了5次，在第一、三、五次擊中目標，在第二、四次沒有擊中目標，所以只有一種情況， 又因為各次射擊的結(jié)果互不影響， 故所求概率為； （

20、2）法一：該射手射擊了5次，其中恰有3次擊中目標。 相當于5次當中選3次擊中，其余兩次未擊中，共有種情況。 故所求概率為； 法二：因為各次射擊的結(jié)果互不影響，所以符合n次獨立重復試驗概率模型。 該射手射擊了5次，其中恰有3次擊中目標的概率為 ； （3）該射手射擊了5次，其中恰有3次連續(xù)擊中目標，而其他兩次沒有目標， 把3次連續(xù)擊中目標看成一個整體，可得共有種情況。 故所求概率為。 【變式3】某種有獎銷售的飲料，瓶蓋內(nèi)印有“獎勵一瓶”或“謝謝購買”字樣，購買一瓶若其瓶蓋內(nèi)印有“獎勵一瓶”字樣即為中獎，中獎概率為.甲、乙、丙三位同學每人購買了一瓶該飲料。 （Ⅰ）求甲中獎且乙

21、、丙都沒有中獎的概率； （Ⅱ）求中獎人數(shù)ξ的分布列. 【答案】（1）設(shè)甲、乙、丙中獎的事件分別為A、B、C，那么 P(A)=P(B)=P(C)= P()=P(A)P()P()= 答：甲中獎且乙、丙都沒有中獎的概率為……………………………………6分 （2）ξ的可能值為0,1,2,3 P(ξ=k)=(k=0,1,2,3) 所以中獎人數(shù)ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 例5．在一次抗洪搶險中，準備用射擊的方法引爆從河上游漂流而下的一個巨大的汽油罐。已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射擊是相互獨立的，且命中的概

22、率都是． （1）求油罐被引爆的概率； （2）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為X，求X的概率分布． 【思路點撥】 從正面去分析可知：5發(fā)子彈必須擊中2次，于是有以下幾種情況：第1槍擊中，第2槍也擊中；第3槍擊中，前兩槍只擊中1次；第4槍擊中，前3槍只擊中1次；第5槍擊中，前4槍只擊中1次．而利用對立事件去分析更好理解． 【解析】 （1）解法一：記B表示“引爆油罐”，則射擊次數(shù)符合獨立重復試驗，X=2，3，4，5． X=2表明第一次擊中，第二次也擊中， ； X=3表明前2次擊中一次，第3次擊中， ； X=4

23、表明前3次擊中一次，第4次擊中， ； X=5表明前4次擊中一次，第5次擊中， ． 所以，． 解法二：利用．油罐沒有引爆的情況有兩種：①射擊五次，都沒擊中；②射擊五次，只擊中一次． 所以． （2）X=2，3，4時同（1），當X=5時，擊中次數(shù)分別為0，1，2． ∴． 所以X的概率分布為 X 2 3 4 5 P 【總結(jié)升華】 要特別注意X=5的意義，當X=5時，表示5槍都未中或5槍中只中1槍或第5槍中且前4槍只中了1槍這三種情況，否則P（X=5）易出錯，也可以用概率分布的性質(zhì)間接檢驗． 舉一反三：

24、 【變式1】 假設(shè)飛機的每一臺發(fā)動機在飛行中的故障率都是1－p，且各發(fā)動機互不影響．如果至少50％的發(fā)動機能正常運行，飛機就可以順利飛行，問對于多大的P而言，四發(fā)動機比二發(fā)動機更安全？ 【答案】四發(fā)動機飛機成功飛行的概率為 ， 二發(fā)動機飛機成功飛行的概率為 ． 要使四發(fā)動機飛機比二發(fā)動機飛機安全，只要， 化簡整理，得． ∴當發(fā)動機不出故障的概率大于時，四發(fā)動機飛機比二發(fā)動機飛機安全． 【變式2】廠家在產(chǎn)品出廠前，需對產(chǎn)品做檢驗，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時，商家按合同規(guī)定也需要隨即抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗，以決定是否接收這批產(chǎn)品。 （I）若

25、廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格率為0.8，從中任意取出4件進行檢驗，求至少有1件是合格的概率。 （Ⅱ）若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任意取2件進行檢驗，只有2件產(chǎn)品都合格才接收這批產(chǎn)品，否則拒收，求該商家檢驗出不合格產(chǎn)品數(shù)X的分布列，并求該商家拒收這批產(chǎn)品的概率。 【答案】 （I）記“廠家任意取出4件產(chǎn)品檢驗，其中至少有一件是合格品“為事件A， 則 （Ⅱ）的可能取值為0，1，2， 所以的概率分布為 0 1 2 例6．某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%．現(xiàn)從一大批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，寫出其中次品

26、數(shù)ξ的概率分布． 【思路點撥】 由于產(chǎn)品數(shù)量較大，從中任意連續(xù)抽取2件產(chǎn)品，相當于是2次獨立重復試驗。抽取的次品件數(shù)ξ服從二項分布，即ξ～B(2，0.05)，算出相應的概率即可得其概率分布。 【解析】依題意，隨機變量ξ～B(2，5%)．所以， P()=(95%)=0.9025， P()=(5%)(95%)=0.095， P()=(5%)=0.0025． 因此，次品數(shù)ξ的概率分布是 ξ 0 1 2 P 0.9025 0.095 0.0025 【總結(jié)升華】 ①從產(chǎn)品中有放回地抽取是獨立事件； ②從小數(shù)量的產(chǎn)品中無放回地抽取不是獨立事件，只能用等可能事件計算； ③從大批量的產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出n件產(chǎn)品可近似地看成是n次獨立重復試驗。 舉一反三： 【變式】在某批很大數(shù)量的產(chǎn)品中，有20%為二等品，從中任意地抽取產(chǎn)品二次，求取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品的概率。 【答案】從大數(shù)量的產(chǎn)品中任意地抽取產(chǎn)品二次，相當于2次獨立重復試驗， 抽出的二等品的件數(shù)， 所以取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品的概率： 。 第12頁 共12頁