高中數(shù)學(xué)2_4_2拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)案新人教B版選修2-1

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1、文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持. 2.4.2 拋物線的幾何性質(zhì) 1 .掌握拋物線的幾何性質(zhì).（重點） 2 .掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問題. （重點） 3.能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點弦、弦中點等問題. （難點） ［基礎(chǔ)?初探］ 教材整理拋物線的幾何性質(zhì) 閱讀教材P61,完成下列問題 標(biāo)準(zhǔn)方程 y = 2px( p> 0) y = - 2px(p>0) x = 2py( p>0) x = - 2py( p>0) 圖形 性 質(zhì) 住日 八、八\、 準(zhǔn)線 P x--2 P x-2

2、 P y= —2 p y=2 范圍 x>0, yC R x<0, yCR — — 對稱軸 頂點 — 離心率 — 開口方向 向右 向左 向上 向卜 【答案】 y>0, xe R ywo, xCR x 軸 y 軸 （0,0） e= 1 判斷（正確的打“，”，錯誤的打“x”） （1）拋物線關(guān)于頂點對稱.（ ） （2）拋物線只有一個焦點，一條對稱軸，無對稱中心. （ ） （3）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同，但是其離心率都相同. （ ） 【答案】 （1） X （2） V （3） V ［質(zhì)疑?手記］ 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小

3、伙伴們”探討交流： 疑問1： 解惑： 疑問2: 解惑： 疑問3: 解惑： ［小組合作型］ 利用拋物線的性質(zhì)求拋物線方程 b例El 已知雙曲線 2 x -2 b2=l(a>0, b>0)的兩條漸近線與拋物線 y2 = 2px( p>0)的準(zhǔn)線 分別交于 A B兩點，O為坐標(biāo)原點.若雙曲線的離心率為 2, 4AOB勺面積為小,求拋物線 的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【精彩點撥】 由雙曲線離心率求得其漸近線方程，從而求得交點 A, B的坐標(biāo)，即可 得到三角形面積表達(dá)式，從而得到 p的值，進(jìn)而寫出標(biāo)準(zhǔn)方程. c a2b2 b 【自主解答】

4、由已知得己=2,所以一a^=4,解得a=<3, 即漸近線方程為y=43x. 而拋物線準(zhǔn)線方程為 x— p x—— 2, 一一號 B-p ,3p 2 ， 從而△ AOB勺面積為、/3P ? p=y3,可得p = 2.因為拋物線開口向右，所以其標(biāo)準(zhǔn)方 程為y2= 4x. 拋物線各元素間的關(guān)系 拋物線的焦點始終在對稱軸上， 頂點就是拋物線與對稱軸的交點, 準(zhǔn)線始終與對稱軸垂 直，準(zhǔn)線與對稱軸的交點和焦點關(guān)于頂點對稱，頂點到焦點的距離為 p 2. ［再練一題］ 1.拋物線的頂點在原點，對稱軸重合于橢圓 9x2+4y2= 36短軸所在的直線，拋物線焦 點到頂

5、點的距離為 3,求拋物線的方程及拋物線的準(zhǔn)線方程. 【解】 橢圓的方程可化為 卷=1 , 4 9 其短軸在x軸上， ?,?拋物線的對稱軸為 x軸， ，設(shè)拋物線的方程為 y2= 2px或y2= — 2px(p>0). ?.?拋物線的焦點到頂點的距離為 3, 一 p 即2= 3,  - p= 6, ，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2= 12x或y2= — 12x, 其準(zhǔn)線方程分別為 x= — 3和x=3. 拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用 》例回正三角形的-個頂點位于坐標(biāo)原點，另外兩個頂點在拋物線 y2= 2 Px(p>0) 上，求這個正三角形的邊長.

6、 【精彩點撥】 先證明x軸是它們的公共對稱軸，再求三角形邊長. 【自主解答】 如圖所示，設(shè)正三角形OAB勺頂點A, B在拋物線上，且坐標(biāo)分別為 A(xi, 2 2 yi) , B(X2, y2),貝Uyi=2pxi, y2=2px2. 又 OA OB 所以 x2+y2=x2+yl, 即 x2— x2+ 2pxi — 2Px2= 0, 整理得(xi — x2)( xi + x2 + 2p) = 0. xi>0, x2>0,2

7、p>0, ? ? xi= x2,由此可得 | yi| = | y?| , 即線段AB關(guān)于x軸對稱， 由此得/ AOx= 30 , 所以 yi = -3^xi,與 y2=2pxi 聯(lián)立， 解得 yi = 2/p, . .|AB=2yi=4/p. 拋物線的幾何性質(zhì)在解與拋物線有關(guān)的問題時具有廣泛的應(yīng)用， 但是在解題的過程中又 容易忽視這些隱含的條件.本題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的對稱性和正三角形的性質(zhì)證明 A, B 兩點關(guān)于x軸對稱.另外，拋物線方程中變量 x, y的范圍也是常用的幾何性質(zhì). ［再練一題］ 2.等腰直角三角形 AO咕接于拋物線y2=2px(p>0), O為拋物線白^頂

8、點， OALOB則 Rt^ABO勺面積是( ) 【導(dǎo)學(xué)號：】 A. 8p2 B. 4p2 C. 2p2 D. p2 【解析】 由拋物線的對稱性，可知 koA= 1,可得A, B的坐標(biāo)分別為(2p,2p), (2p, 1 -， ，2 —2p) ,Sa abo= 2 X 2 px 4 P= 4p . 【答案】 B ［探究共研型］ 拋物線的焦點弦及其它弦的 問題 探究1直線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,與拋物線交于 A(xi, yi), B(x2, y。兩 點，由拋物線的定義知，| AF=xi+p, |BF =x2+p,求|AB. …一. p p 【提本】

9、 | AB = | AF| +1 BF =xi +2+ x2+ 2 = xi + x2+ p. 探究2解決焦點弦問題需注意什么? 【提示】 解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義在其中的應(yīng)用， 通過定義將 焦點弦長度轉(zhuǎn)化為端點的坐標(biāo)問題，從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解. >例圖 過點Q4,1)作拋物線y= 8x的弦AB,恰被點Q所平分，求AB所在直線的 方程. 【精彩點撥】 法一：設(shè) A：xi, yi), B(x2, y。，用點差法求kAB；法二：設(shè)直線 AB的 方程，建立方程求解. 【自主解答】 法一 設(shè)以Q為中點的弦AB的端點坐標(biāo)為 A(xi, yi), E(x2, y

10、),則有 2 c 2 c yi = 8xi, y2= 8x2, .1. (yi + y2)( yi —y2)= 8(xi —x2). 又 yi+y2 = 2, 1- yi-y2 = 4(xi-x2), ???所求弦AB所在直線的方程為 y-i = 4(x-4), 即 4x- y- i5 = 0. y2= 8x, 法二 設(shè)弦AB所在直線的方程為 y=k(x —4) + i.聯(lián)立 消去x, y= k x-4 + i, 得 ky2-8y-32k+ 8=0, 此方程的兩根就是線段端點 A, B兩點的縱坐標(biāo)， 由根與系數(shù)得yi + y2=g. k 又 yi+y2=2, k =

11、4. ???所求弦AB所在直線的方程為 4x- y- i5 = 0. 直線與拋物線相交的弦長問題 直線和拋物線相交于 Nxi, yi) , B(x2, y。兩點，直線的斜率為 k. (i) 一般的弦長公式：| AB = 1i + k21 xi-x2|. (2)焦點弦長公式：當(dāng)直線經(jīng)過拋物線 y2= 2px(p>0)的焦點時，弦長|AB=xi + x2+p. (3) “中點弦”問題解題策略方法 ［再練一題］ 3.已知y=x+m與拋物線y2=8x交于A, B兩點. (i)若|AB =i0,求實數(shù)m的值； (2)若OAL OB求實數(shù)m的值. y= x+m, 2 2 【解】 由

12、 2 8 得 x + (2m- 8)x+m=0. 設(shè) A(xi, yi) , Rx2, y2), 則 xi+x2= 8—2m| xi - x2= m2, yi ? y2= m(xi +x2)+xi ? x2+n2 文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持 = 8m) ⑴因為|AB =5+ k2,—xi+ X2—2—4x1X2 =木? 464 — 32m= 10,所以 m=焉. 2 (2)因為 OALOB 所以 XiX2+yiy2= m+8mi= 0, 解得 mi= - 8, mi= 0(舍去)，所以 mi= — 8. ［構(gòu)建?體系］ 1 .頂點在原點，

13、對稱軸是 x軸，并且頂點與焦點的距離等于 4的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ( ) A. y2= 4 x B. x2=16y C. y2=16x D. y2=8x 2 p 【解析】 依題意知拋物線的萬程為 y=2px(p> 0),又2=4,，p=8,2p=16,故萬 程為 y2= 16x. 【答案】 C 2 .若拋物線y2=2x上有兩點 A B,且AB垂直于x軸，若|AB=2、/2,則拋物線的焦 點到直線AB的距離為( ) B. D. 1 A.2 1 C.6 1 【解析】 線段AB所在的直線的方程為 x=1,拋物線的焦點坐標(biāo)為 2, 0 ,則焦點到 , 1 1

14、直線AB的距離為1—2=；. 【答案】 A 3 .已知A呢過拋物線2x2=y的焦點的弦，若| AB =4,則AB的中點的縱坐標(biāo)是 【導(dǎo)學(xué)號：】 【解析】 設(shè) A(X1, y1), B(X2, y2), 由拋物線2x2= y,可得p = 4, | AB = y〔 + y2+p=4, 1 15 y1 + y2 = 4-4=—, 故AB的中點的縱坐標(biāo)是 y1 + y2 15 2 = 8 . 15 8 文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持. 2 4 .右直線ax—y+1 = 0經(jīng)過拋物線 y=4x的焦點，則實數(shù) a=. 【解析】

15、由題意知拋物線的焦點為(1,0)，代入直線方程得 axi- 0+1 = 0, ? ? a= 1 1. 【答案】 —1 5 .設(shè)直線y=2x + b與拋物線y2=4x交于A, B兩點，已知弦 AB的長為3^5,求b的 值. y= 2x+ b, m 由丫2_收 消去 y,得 4x2+4(b—1)x+ b2= 0. 由△ > 0,得 bv 1. 設(shè) A(x1, y1), Rx2, y2). nt b2 則 x1 + x2=1 — b, x1x2=—. 4 | x1 - x2| = yj—x[+ x2―2 — 4x1x2 = [1 — 2b. | AB = ^1+2^| x1

16、 - x2| = 5J5 , ^1 - 2b = 3-^5. ? - 1-2b=9,即 b=- 4. 我還有這些不足： ⑴ (2) 我的課下提升方案： ⑴ (2) 學(xué)業(yè)分層測評 (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1 .已知點P(6 , y)在拋物線y2=2px(p>0)上，若點P到拋物線焦點F的距離等于8,則 焦點F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于( ) A. 2 B. 1 C. 4 D. 8 【解析】 拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為x=-p,因為P(6, y)為拋物線上的點，所以 點P到焦點F的距離等于它到準(zhǔn)線的距離， 所以6+p = 8,

17、所以p=4,即焦點F到拋物線準(zhǔn) 線的距離等于4,故選C. 【答案】 C 2.拋物線y2=4x的焦點為F,點P為拋物線上的動點，點 M為其準(zhǔn)線上的動點，當(dāng)^ FPMK1等邊三角形時，其面積為 ( ) B. 4 A. 2 ：3 C. 6 【解析】 據(jù)題意知，△ FPM^等邊三角形, 2 m P 了，m ,則M — i, m),等邊三角形邊長為 | PF =| PM= | FM ，PML拋物線的準(zhǔn)線.設(shè) 2 m 「, i+ 4,又由 F(i,0), 2 ipm=i fm,得 i+m= M i + i 2+m,得m= 2。3, ???等邊三角形的邊長為 【答案

18、】 D 4, 其面積為 4故選D. 3.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為 的直線交拋物線于 A, B兩點，若 線段AB的中點的縱坐標(biāo)為 2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為 A. x= 1 B. x=- 1 C. x = 2 D. x=- 2 【解析】 設(shè)A( xi, yi), B(x2 y。，代入拋物線方程得 y2= 2pxi, 2 y2=2px2,② ①一②得, P=k=1 (yi + y2)( yi — y2)= 2p( x — x2). P .. y A . yi — y2 2P xi — x2 4 2 又.yi + y

19、2 = 4,   —— ???所求拋物線的準(zhǔn)線方程為 x=- i. 【答案】 B 4.設(shè)F為拋物線C: y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30。的直線交 C于A, B兩點，則 I AB =( ) 30 A. 丁 B 6 C. i2 D. 7 3 【解析】 焦點F的坐標(biāo)為3, 0 ,直線AB的斜率為里所以直線AB的方程為丫=坐 -43,代入 y2= 3x 得弓― 而=0， 3 2 16 21 設(shè) A(xi, yi) , B(x2, y2),則 Xi + X2=y, 3 21 3 ，… 所以 | AB| = xi +X2+5 = —~~F2=12,故選 C. 【答案

20、】 C 5.過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于 A(xi, yi) , B(X2, y),若Xi+X2=6,那 么|AB等于( ) A. i0 B. 8 C. 6 D. 4 【解析】 由題意知p=2, | AE| =xH-x2+p=8.故選B. 【答案】 B 二、填空題 6 .拋物線y2=x上到其準(zhǔn)線和頂點距離相等的點的坐標(biāo)為 . i 【解析】 設(shè)拋物線上點的坐標(biāo)為(x, 5),此點到準(zhǔn)線的距離為 x+4,到頂點的距 離為yx2z―qx―2,由題意有x+ 4=\Zx、―jx―2,，x=8，，y=乎，，此點坐標(biāo)為 i +巫 8，— 4 【答案】8, 72 7 .直

21、線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個公共點，則 k =. 【解析】 當(dāng)k=0時，直線與拋物線有唯一交點，當(dāng) kwo時，聯(lián)立方程消去 y得k2x2 + 4( k-2)x+4=0,由題意 △= i6(k—2)2—i6k2=0, .. k=i. 【答案】 0或i 8 .平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點 F(i,0)的距離和到直線x=—i的距離相 等.若機(jī)器人接觸不到過點 P(-i,0)且斜率為k的直線，則k的取值范圍是 . 【導(dǎo)學(xué)號：】 【解析】 設(shè)機(jī)器人為A(x, y),依題意得點 A在以F(i,0)為焦點，x=—i為準(zhǔn)線的 拋物線上，該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2=4x.

22、 過點R —i,0),斜率為k的直線為y=k(x+i). 2 y=4x, 2 由 得 ky—4y +4k=0. y= kx+ k, 當(dāng)k = 0時，顯然不符合題意; 2 當(dāng) kwo 時，依題意得 △ = ( — 4) -4k - 4k<0, 化簡得k2-1>0,解得k>1或k<—1,因此k的取值范圍為(一巴 —1)U(1, +8). 【答案】 (―8，—1) U(1 , +OO) 三、解答題 9.若拋物線的頂點在原點，開口向上， F為焦點，M為準(zhǔn)線與y軸的交點，A為拋物線 上一點，且| AM = #7, | AF =3,求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【解】 設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)

23、方程為 x2= 2py(p> 0), p 設(shè) A(xo, yo),由題知 M 0, — 2 . ???|AM = " 2 p 2 xo+ y+ 2 =17, ，x0=8,代入方程 x0=2pyo, p 得 8 = 2p 3-2 ,解得 p = 2 或 p=4. ，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2= 4y或x2= 8y. 2 10.已知直線l經(jīng)過拋物線y=6x的焦點F,且與拋物線相交于 A, B兩點. ⑴若直線l的傾斜角為60。，求| AB的值； (2)若|AB =9,求線段AB的中點M到準(zhǔn)線的距離. 【解】 ⑴ 因為直線l的傾斜角為60。，所以其斜率 k=tan 60

24、 = 小. 3 3 又F2, 0 ,所以直線l的方程為y=V3 x-2 . y2= 6x, 聯(lián)立 y=\3 消去 y 得 x2— 5x + ：= 0. 設(shè) A(Xi, y。，B(x2, y2),則 Xi + X2=5, 一 p p 而 | AB = | AF +| BF =X1 + 2+x2+2= X1 + X2+ p, 所以 | AB =5+3=8. (2)設(shè)a(Xi, y。，Rx2, y2),由拋物線定義知 | AB = | AF + | BF = X1 +X2+p= Xi + X2+3,所以 xi+X2=6,于是線段 AB的中點 M的橫 坐標(biāo)是3. 3

25、 3 9 又準(zhǔn)線方程是x= — 2,所以M到準(zhǔn)線的距離為3 + 1=1 ［能力提升］ 2 1 . (2016 ?荷洋期末)已知拋物線x = 2py( p>0)的焦點為F,過F作傾斜角為30的直 線與拋物線交于A, B兩點，若犒"⑴,則篙=() 1 A. 一 5 1 D- 2 【解析】 因為拋物線的焦點為 F0, P ,故過點F且傾斜角為30。的直線的方程為 y + p,與拋物線方程聯(lián)立得 x2 2^3px-p2=0,解方程得 Xa= —\3p 3 3 Xb= 3p,所以 |AF |xa| 1 麗=的=3,故選C. 2 .已知拋物線 C: y2=8x與點M

26、 —2,2),過拋物線 C的焦點且斜率為 k的直線與C交 于a, b兩點，若Ma Mb- 0,則k=( 1 A.2 B. C. 2 【解析】 D. 由題意可知拋物線的焦點坐標(biāo)為 (2,0),則過焦點且斜率為 k的直線的方程 為 y= k(x—2), 與拋物線方程聯(lián)立，消去 y化簡得k2x2-(4 k2+8)x+4k2=0,設(shè)點A(Xi, yi) , B(x2, y2), 則 xi + X2= 4+ A, xiX2=4,所以 y〔 + y2 = k(x1 + x2) — 4k = g, y1y2= k2[ X1X2 k k —2(xi+x2)+4] =— 16,因

27、為 Ma MBf 0,所以(xi+2)( x2+2) + (y1—2)( y2 —2) =0(*),將 上面各個量代入 (*),化簡得 k2 —4k+4 = 0,所以 k=2, 故選D. 2 2 3.拋物線 x2=2py(p>0)的焦點為F,其準(zhǔn)線與雙曲線 x y r 、 k— "3 — "3=1相交于A, B兩點，右/\ ABF為等邊三角形，則 p= 【導(dǎo)學(xué)號：】 【解析】 由于x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線為y = - p,由 x -y =3, 解得準(zhǔn)線與雙曲線 x2— y2= 3的交點為 3+：P： B ,所以AB= 2 3+46. 由△ ABF為等

28、邊三角形，得 p,解得p=6. 【答案】 6 4.已知拋物線x= —y2與過點(一1,0)且斜率為k的直線相交于 A, B兩點，O為坐標(biāo)原 點，當(dāng)△ OAB勺面積等于 訴時，求k的值. 【解】 過點( — 1,0)且斜率為k的直線方程為y=k(x+1), x=—y2, 2 由方程組 消去x,整理得ky2+y-k=0, y= k x+1 , 設(shè)A(xi, yi) , B(x2, y2),由根與系數(shù)之間的關(guān)系得 yi + y2=-^, yiy2=- 1. k 設(shè)直線與x軸交于點N, JE然N點的坐標(biāo)為(一1,0). ? ? Sa oaiej— Saoan+ Saobn= 2| Ot|| y1| -1- -1 10, y1+y2 — 4y1y2= =21 ON y1-y2| 1 1 解得6或6.